高等代数 · 课程学习笔记

第 1 讲 · 高等代数研究对象（一）

What Does Advanced Algebra Study, Part 1
北大丘维声教授 · 清华大学物理系 2011 级 进度 1 / 151 讲 核心概念：线性方程组 · 矩阵 · 增广矩阵 · n 维向量 · 线性空间
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◎学习目标

  1. 明确本课程的出发点：从 n 元线性方程组出发，先研究它的解法，再研究解的情况判别与解集结构；
  2. 掌握 n 元线性方程组的一般形式，会用下标 \(a_{ij}, b_j\) 记系数与常数项，理解方程个数 \(s\) 与未知量个数 \(n\) 可以不相等；
  3. 理解为什么可以只写系数、不写未知量：因为未知量只起“位置”作用，真正参与运算的是系数与常数，从而引出矩阵的概念；
  4. 掌握系数矩阵与增广矩阵的定义，会把一个具体的线性方程组写成增广矩阵；
  5. 从二元一次方程的几何直观（两条直线的相交、平行、重合）理解线性方程组解的三种基本情形：唯一解、无解、无穷多解；
  6. 理解n 维向量的引入动机：系数行本身是一个有序的 n 元数组，把它当作向量来看待，2 维、3 维、4 维有几何直观，5 维及以上则来自方程组研究的“逼迫”；
  7. 知道在向量上引进加法与数量乘法两种运算，得到n 维向量空间；再抽象出一般的线性空间，它是线性代数中最核心的对象（“舞台”）。

1开场与课程定位 ⏱ 00:00

本讲是清华大学物理系 2011 级《高等代数》课程的第一课，由北京大学丘维声教授讲授。课程名为“高等代数”，很多同学从初中一年级就学过代数：用字母表示数、表示变量（未知量），找出等量关系列出方程。本讲的核心任务，是先弄清楚高等代数这门课到底研究什么，它的出发点在哪里。

本讲路线 一元方程 \(\to\) 一元高次方程 \(\to\) 多元一次方程组 \(\to\) n 元线性方程组的一般形式 \(\to\) 矩阵与增广矩阵 \(\to\) 解的情况（几何直观） \(\to\) n 维向量与向量空间 \(\to\) 抽象的线性空间。
为什么从方程组出发？ 线性方程组在实际生活中大量出现。过去没有计算机时，四元、五元、十元方程组就很难手算；现在有了电子计算机，即使有上万个未知量的线性方程组，只要给出一套统一、有规律、可执行的解法（算法），计算机就能直接解出来。因此 n 元线性方程组变得非常重要，这就是高等代数的出发点。

2方程到方程组：从一元到 n 元 ⏱ 00:42

2.1 一元方程与一元高次方程

初中一年级就开始学习一元一次方程 \(ax+b=c\)（\(a \neq 0\)），解法是：把 \(b\) 移过去，两边除以 \(a\)，得 \(x = (c-b)/a\)。⏱ 01:46 之后有一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(a \neq 0\)），有求根公式：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

再往上是一元三次、四次、五次乃至一般的高次方程。一元高次方程的研究中心是求它的根：它有哪些根，有没有像二次方程那样的求根公式。这是经典代数学研究的中心问题之一。⏱ 02:46

2.2 从一元到多元：引入方程组

从另一个方向扩充：未知量不止一个。初中学过二元一次方程组、三元一次方程组——三个未知量 \(x_1, x_2, x_3\)，每个未知量都是一次的，把若干个方程联立起来。⏱ 03:35

课堂给出的例子是三元一次方程组（4 个方程联立）：

\[ \begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 2, \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9, \\ -x_1 - 5x_2 + 4x_3 = 10, \\ 2x_1 + 7x_2 + x_3 = 1. \end{cases} \]

初中阶段通常“几个未知量就列几个方程”（二元两个方程、三元三个方程），但到了大学，方程个数不必等于未知量个数：3 个未知量可以只有 1 个方程，可以有 2 个、3 个，也可以有 4 个甚至更多。这里的 \(n\)（未知量个数）和 \(s\)（方程个数）是相互独立的。⏱ 05:09

记号约定 为了表示未知量个数可以从 2、3 一直增加到 \(n\)（任意正整数），用带下标的字母 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 表示未知量；系数用 \(a_{ij}\) 表示，常数项用 \(b_j\) 表示。系数与未知量用不同字母区分：系数是“已知”的，未知量是“要求”的。

3线性方程组的一般形式 ⏱ 06:36

3.1 为什么叫“线性”

高二学平面解析几何时知道：在平面 \(xOy\) 上，一个二元一次方程如 \(3x+2y=1\) 的图形是一条直线。一次方程对应直线，而直线是“直的”，所以 n 元的一次方程组通常不叫“n 元一次方程组”，而叫n 元线性方程组——借用几何中“直线”（linear）的含义。线性，即每个未知量都是一次的。⏱ 07:00

3.2 n 元线性方程组的一般形式

定义 · n 元线性方程组的一般形式 含 \(n\) 个未知量 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)、\(s\) 个方程的线性方程组一般写成
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \qquad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \cdots + a_{sn}x_n = b_s. \end{cases} \]
其中 \(a_{ij}\) 是第 \(i\) 个方程中第 \(j\) 个未知量的系数，\(b_i\) 是第 \(i\) 个方程的常数项。\(s\) 与 \(n\) 可以相等，也可以 \(s < n\)，还可以 \(s > n\)（本讲例子中 \(s=4, n=3\)，即方程个数比未知量个数多）。
注意 左边是未知量的“一次项”（每个未知量只以 1 次出现，且是它们的线性组合），右边是常数项（可以看作 0 次项）。“线性”就是指未知量只以一次、且以相加的形式出现，不出现 \(x_1 x_2\)、\(x_1^2\) 这样的项。

3.3 解法的基本想法

解二元、三元一次方程组时，学过代入消元法和加减消元法：把一个方程的若干倍加到另一个方程上，使某个未知量的系数变成 0，逐步消元。整个过程里，真正参与运算的是系数和常数（数字），未知量 \(x_1, x_2, \dots\) 只是标明它站在第几个位置，并没有参与加减乘除运算。⏱ 11:10

关键观察 既然未知量不“参与运算”，那我们解方程组时可以暂时不写未知量，只把系数和常数项写出来——只要大家事先约定：第 \(j\) 个位置上的数就是第 \(j\) 个未知量的系数。这样既简洁，也便于让计算机按统一规律执行。

4矩阵与增广矩阵 ⏱ 13:11

4.1 矩阵的定义

把上面的例子中 4 个方程的系数与常数项按原来的顺序排成一张表：

\[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & \vert & 2 \\ 3 & 4 & 2 & \vert & 9 \\ -1 & -5 & 4 & \vert & 10 \\ 2 & 7 & 1 & \vert & 1 \end{pmatrix} \]

四行、每行 4 个数，共 16 个数，整齐地排成 4 行 4 列的一张表。这张表就称为矩阵；四行四列的矩阵简称四级矩阵（即 4×4 矩阵）。“矩阵”就是“一张表”的意思。⏱ 13:25

定义 · 矩阵 \(s\) 乘 \(n\) 个数排成的 \(s\) 行 \(n\) 列的一张表，就叫做一个 \(s \times n\) 矩阵。矩阵通常用一个大写的拉丁字母表示，例如矩阵 \(A\)。

4.2 系数矩阵

对一般的 n 元线性方程组，同样可以只写系数，按原来的顺序排成一张表：

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix}. \]

这张表只包含各方程中未知量的系数，称为该 n 元线性方程组的系数矩阵，是 \(s \times n\) 矩阵。⏱ 15:00

4.3 增广矩阵

如果连常数项也一并填进来，就得到一张多了一列的 \(s \times (n+1)\) 表：

\[ \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} & b_s \end{array}\right). \]

比系数矩阵多出来的最后一列正是各方程的常数项。这样的矩阵称为方程组的增广矩阵（系数矩阵“增广”了常数项这一列）。⏱ 17:29

预告 增广矩阵对 n 元线性方程组的求解可能起非常好的作用——下一小节课就讲如何用增广矩阵来解线性方程组。本讲先认识矩阵本身。

5线性方程组解的情况：几何直观 ⏱ 19:49

一般 n 元线性方程组到底是否一定有解，还是可能没有解？先回到二元一次方程的直观：一个二元一次方程在平面上是一条直线；两个二元一次方程就是两条直线，它们可能相交（唯一交点，对应唯一解）、可能平行（无公共点，对应无解）、也可能重合（无穷多个公共点，对应无穷多解）。⏱ 20:18

两条直线的位置关系方程组解的情况说明
相交唯一解两条直线只有一个公共点
平行（不重合）无解没有公共点
重合无穷多解公共点有无穷多个
要研究的问题 除了“唯一解、无解、无穷多解”这三种基本情形外，有没有“恰好两个解”“恰好三个解”这样的奇怪情形？目前还不知道。因此要研究解的情况的判别——数学上希望给出一个统一的方法：最好不用把方程组完整解出来，而是直接从原来的系数和常数项（即系数矩阵、增广矩阵）稍微算一算，就能判断它有没有解、解的情况如何。

正是在“能不能不先解出答案、直接判定解的情况”这个想法的推动下，我们开始把矩阵的每一行单独拿出来看——一个有序的 n 元数组 \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1n}\)。⏱ 23:47

6n 维向量与向量空间 ⏱ 22:20

6.1 为什么要引入向量

也就是说，正是因为要研究 n 元线性方程组解的情况判别、解集结构，才刺激我们要去研究 n 维向量，进而研究 n 维向量空间。⏱ 23:32

6.2 向量上的两种运算

平面向量、空间向量我们已学过：它们有加法与数量乘法两种运算，并满足加法的交换律、结合律，存在零向量，每个向量都有相反向量；数量乘法满足四条法则（结合律、分配律等）。把这些共同性质抓住，推广到 n 维向量，就得到 n 维向量空间——一个有加法、数量乘法两种运算的“集合”。

6.3 从 n 维向量空间到抽象的线性空间

定义 · 线性空间（抽象概念） 把 n 维向量空间中向量加法和数量乘法所满足的那些共同性质再抽象一次，就得到一般的线性空间（也叫向量空间）的概念：一个集合 \(V\)，配有两个运算——加法与标量乘法，满足若干条法则（加法交换律、结合律、存在零元与负元，数乘结合律、分配律，\(1 \cdot v = v\) 等）。

数学的特点在于：不能满足于只研究某一类问题，要抽象出一个模型后，用它解决尽可能广的问题。抽象出的线性空间一旦建立，用处极大——凡是自然界中“具有线性性质”的现象（直线、平面、平展的图形等）都可以用线性空间的语言来解决；即使是“弯曲”的物体（球面、拱桥），把它局部化以后，一小片可以看成平的，也能借助线性空间的理论来分析。⏱ 26:06

容易混淆 “线性”指的是“直的、平的”那种性质；“弯曲的”（如整个球面）本身不是线性的，但把它局部化（取很小一片）后可以用平面来代替，从而用线性空间的工具来处理。

7抽象线性空间为什么重要 ⏱ 27:04

线性空间好比一个舞台 有了舞台（线性空间），才能演出各种各样的节目（各种现象、变换）。没有舞台，节目没法上演。投影（把物体或图像映到平面/屏幕）就是“舞台”上的一种典型现象；既然有舞台，接下来必然要研究“舞台”之间的映射——这正是下一讲（第 2 讲）要讲的线性映射（保持加法、数量乘法的映射）。本讲到此打住，下一讲继续。
本讲小结：高等代数研究对象的路线图（第一幅） 从 n 元线性方程组出发 \(\to\) 解法需要矩阵 \(\to\) 解的情况判别与解集结构需要 n 维向量空间 \(\to\) 抽象成一般线性空间（“舞台”） \(\to\) 下一讲将研究“舞台”上的映射（线性映射）。

★重点回顾

1
高等代数的出发点是 n 元线性方程组；计算机的普及使得“统一、有规律的解法”变得极其重要，这是整门课程的根本动机。
2
一元方程的研究方向是“次数升高”（一元高次方程求根）；多元方程的研究方向是“未知量增多”（n 元线性方程组）。高等代数主要走“未知量增多”这条主线。
3
线性 = 每个未知量都是一次的（一次方程对应平面上的直线，“线”性来自几何中直线之“线”）。方程个数 \(s\) 与未知量个数 \(n\) 可以不相等。
4
n 元线性方程组一般形式：\(a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n = b_i\)，其中 \(i = 1, 2, \dots, s\)，\(s\) 可大于、等于或小于 \(n\)。
5
解方程组时真正参与运算的是系数与常数，未知量只标明位置；因此可以只写系数与常数，排成一张表，这就是矩阵（\(s \times n\) 个数排成 \(s\) 行 \(n\) 列）。
6
系数矩阵：只含未知量系数（\(s \times n\)）；增广矩阵：系数矩阵右侧再加上常数项一列（\(s \times (n+1)\)）。增广矩阵是后续解方程组的工具。
7
二元一次方程对应平面上的直线；两条直线相交（唯一解）、平行（无解）、重合（无穷多解），这是理解线性方程组解的三种基本情形的几何原型。
8
矩阵的每一行是一个有序的 n 元数组，把它当作向量：2 维、3 维、4 维各有几何直观，5 维及以上没有直观，但方程组的研究逼我们必须研究 n 维向量。在向量上配加法与数量乘法两种运算，得到 n 维向量空间；再抽象出一般线性空间，它是线性代数的核心“舞台”。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把“线性”误解为“直线”：线性在这里指“每个未知量都是一次的”，而不是“图形必须是直线”；一次方程组的解集（当有解时）在几何上可以是直线、平面、高维平面等“平”的图形，都算线性。
  2. 认为方程个数必须等于未知量个数：初中习惯“几元就几个方程”，但大学里 \(s\) 与 \(n\) 可以任意大小关系，这是新观念，需要适应。
  3. 把增广矩阵当成系数矩阵：系数矩阵只有系数（\(s \times n\)），增广矩阵多一列常数项（\(s \times (n+1)\)），两者列数不同，不要混用。
  4. 解方程组时“忘了”未知量在参与运算：消元法里真正加减乘除的是系数和常数，未知量只起“位置标记”作用；正因如此才能“只写系数不写未知量”，引出矩阵。
  5. 把 5 维及以上向量硬套几何直观：高维（5 维及以上）空间没有直接的图形直觉，应代数化理解：它就是一个有序的 n 元数组配两种运算，不要试图“画出来”。
  6. 把“线性空间”与“n 维向量空间”等同：n 维向量空间是线性空间的一个具体例子；线性空间是抽象概念，不要求元素“是向量”本身，只要求满足两条运算的若干条法则即可。

✎自测与思考

  1. 把下面的 4 元 3 个方程的线性方程组写成系数矩阵与增广矩阵（先自己试，再对照本讲例子体会 \(s \neq n\) 的情形）：
\[ \begin{cases} 2x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 = 5, \\ x_1 - 3x_2 + x_3 + x_4 = 1, \\ 4x_1 + x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases} \]
  1. 说明“为什么解方程组时可以暂时不写未知量、只写系数与常数”，并指出未知量 \(x_1, x_2, \dots\) 在这个过程中起什么作用。
  2. 结合平面几何，说明两个二元一次方程组在几何上可能出现的三种位置关系，并对应到解的三种基本情形（唯一解、无解、无穷多解）。
  3. 思考题：本讲提到“5 维及以上的向量没有直观，但方程组研究逼我们必须研究它”。请自己举一个需要 5 个未知量的实际应用场景（例如电路、力学约束等），体会为什么要离开 3 维直观、走进纯代数的 n 维。
  4. 说明“线性空间”与“n 维向量空间”的关系：前者是抽象概念，后者是具体例子；列出你记得的线性空间应满足的几条运算法则（加法交换律、结合律、零元、负元、数乘结合律、分配律等）。
下一讲预告 第 2 讲 · 高等代数研究对象（二）：从“舞台”（线性空间）过渡到“舞台上的映射”（线性映射），讨论矩阵与线性映射的关系；引入度量（内积）与双线性函数；实内积空间、酉空间；以及一元多项式环与群等研究对象，给出整门课的“研究对象地图”。