高等代数 · 课程学习笔记

第 10 集 · n 阶行列式的定义、上三角形行列式

Definition of the \(n\)-Order Determinant and Upper-Triangular Determinants
北大丘维声教授 · 清华大学物理系 进度 P10 / 151 集 核心概念：n 阶行列式 · 逆序数定号 · n! 项和 · 上（下）三角形行列式 · 对角矩阵行列式
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◎学习目标

  1. 理解 n 阶行列式定义是如何从二阶行列式推广而来的：「二阶是 2 项代数和」\(\to\)「n 阶是 \(n!\) 项代数和」；
  2. 掌握 n 阶行列式的严格定义：按行指标自然系排列，对列指标排列求和，符号由列指标排列的逆序数决定；
  3. 能用定义写出三阶行列式的六项展开式，并了解「对角线法则」（仅用于三阶的辅助记忆法）；
  4. 证明并记住：上（下）三角形行列式的值 = 主对角线上 n 个元素的乘积；
  5. 区分行列式（竖线记号 \(|\;|\)）与绝对值（竖线记号）；知道 \(\det A\)、\(\Delta_A\) 等记号的区别；
  6. 为下一集（行列式性质）的推导打好基础：理解「行列式的每一项是不同行不同列的 n 个元素之积」这一结构。

1从二阶到 n 阶：定义的思路 ⏱ 00:13

二阶行列式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\) 是两行两列交叉的代数和，共 \(2! = 2\) 项。⏱ 00:31

n 阶行列式的定义完全类比二阶行列式的特征来推广：

为什么要这么定义？ 二阶行列式与系数矩阵 \(A\) 的二元一次方程组 \(Ax = 0\) 只有零解（即 \(A\) 可逆）的充要条件是 \(\det A \neq 0\)。我们相信，抓住二阶行列式的「主要特征」抽象成 n 阶定义后，同样可以解决 n 元一次方程组 \(Ax = 0\) 只有零解的充要条件问题（即 n 阶行列式 \(\neq 0\)）。⏱ 03:20
「解剖麻雀」 二阶行列式麻雀虽小、五脏俱全——它有「不同行不同列乘积」「按列指标排列定号」「代数和」所有特征。抓住这些特征抽象推广，就是 n 阶行列式定义的方法论。

2n 阶行列式的严格定义 ⏱ 03:58

定义 · n 阶行列式 设 \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1n}\); \(a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2n}\); \(\dots\); \(a_{n1}, a_{n2}, \dots, a_{nn}\) 共 \(n^2\) 个数。按如下规则组成一个 \(n!\) 项的代数和：
\[ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \;:=\; \sum_{(j_1, j_2, \dots, j_n)} (-1)^{\tau(j_1, j_2, \dots, j_n)} \; a_{1j_1}\, a_{2j_2}\, \cdots\, a_{nj_n} \]
其中：
  • 求和是对所有 n 元排列 \((j_1, j_2, \dots, j_n)\) 进行的（共 \(n!\) 项）；
  • 每一项 \(a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}\) 取自不同行不同列的 n 个元素（行指标固定为 \(1, 2, \dots, n\) 自然顺序，列指标为排列 \((j_1, \dots, j_n)\)）；
  • \(\tau(j_1, j_2, \dots, j_n)\) 是列指标排列的逆序数；\((-1)^\tau\) 决定该项的符号（偶排列取正、奇排列取负）。
这个代数和就称为这 \(n^2\) 个数（排成 n 行 n 列）的 n 阶行列式。

2.1 符号的确定：为什么是 \((-1)^\tau\)？

类比二阶行列式：两项 \(a_{11}a_{22}\)（列指标 \(1,2\) 是偶排列）取正号，\(a_{12}a_{21}\)（列指标 \(2,1\) 是奇排列）取负号。推广到 n 阶：列指标排列是偶排列 \(\to\) 正号；奇排列 \(\to\) 负号。而 \( (-1)^{\text{偶}} = +1 \)、\((-1)^{\text{奇}} = -1\)，所以用 \((-1)^\tau\) 统一表示。⏱ 05:55

2.2 行指标的自然顺序约定

约定 定义中行指标按自然顺序 \(1, 2, \dots, n\) 排列（即第 i 项取第 i 行）。这是因为每一项必须是「不同行不同列」的 n 个元素，行指标取遍 \(1, \dots, n\) 各一次，自然顺序最简洁。列指标则取遍所有排列。

3一阶与二阶行列式（回顾与说明） ⏱ 11:50

3.1 一阶行列式

一阶矩阵 \(A = [a_{11}]\) 的行列式只有一个元素，其值就是 \(a_{11}\) 本身：

\[ |a_{11}| = a_{11} \]
极易混淆 一阶行列式的竖线 \(|a_{11}|\) 不是绝对值！绝对值 \(|a_{11}|\) 表示数 \(a_{11}\) 的绝对值（正数不变、负数变正），而一阶行列式 \(|a_{11}|\) 就是 \(a_{11}\) 本身（可以取负值）。两者完全不是同一回事，看上下文区分。

3.2 二阶行列式（回顾）

二阶行列式就是上一节学过的：

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \]

按定义：列指标排列 \((1,2)\) 逆序数 0（偶），取正号 \(a_{11}a_{22}\)；列指标排列 \((2,1)\) 逆序数 1（奇），取负号 \(-a_{12}a_{21}\)。共 \(2! = 2\) 项。⏱ 12:47

4三阶行列式：六项与对角线法则 ⏱ 12:47

4.1 三阶行列式的展开

三阶行列式有 \(3! = 6\) 项。按定义展开：⏱ 12:49

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \]

其中带正号的三项对应偶排列 \((1,2,3)\)、\((3,1,2)\)、\((2,3,1)\)；带负号的三项对应奇排列 \((1,3,2)\)、\((2,1,3)\)、\((3,2,1)\)。⏱ 13:36

4.2 对角线法则（辅助记忆法）

三阶行列式有一个直观的「对角线法则」帮助记忆（仅限三阶）：⏱ 16:02

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \underbrace{a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}}_{\text{主对角线方向（正号）}} - \underbrace{a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}}_{\text{副对角线方向（负号）}} \]
几何直观 把三阶矩阵画出来，沿「主对角线方向」（左上到右下）的三条对角线乘积取正号，沿「副对角线方向」（右上到左下）的三条对角线乘积取负号。这是课堂作业中的辅助记忆法。四阶及以上没有对角线法则，必须用定义或后续性质。

5上（下）三角形行列式 ⏱ 18:00

5.1 上三角形行列式的定义

定义 · 上三角形行列式 一个 n 阶行列式，如果主对角线（左上到右下）下方的所有元素全为 0，即 \(a_{ij} = 0\) 对所有 \(i > j\)，就称为上三角形行列式：
\[ \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \]
类似地，主对角线上方全为 0（\(a_{ij}=0\) 对所有 \(i < j\)）的称为下三角形行列式。

5.2 定理：上（下）三角形行列式的值

定理 上三角形（或下三角形）n 阶行列式的值，等于其主对角线上 n 个元素的乘积：
\[ \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} \]
证明（按定义逐项分析）

上三角形行列式中，第 \(i\) 行只有 \(a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{ii}\) 可能非零（\(i\) 列及以右），而 \(a_{i,i+1}, \dots, a_{i,n}\) 可以非零。但关键是：第 \(n\) 行只有 \(a_{nn}\) 一个元素可能非零（因为 \(a_{n1} = a_{n2} = \cdots = a_{n,n-1} = 0\)）。⏱ 20:31

  1. 第 \(n\) 行只能取 \(a_{nn}\)（第 \(n\) 列），其他列全为 0，贡献为 0；
  2. 第 \(n-1\) 行：\(a_{n-1,n-1}\) 和 \(a_{n-1,n}\) 可能非零，但第 \(n\) 列已被 \(a_{nn}\) 占了，只能取 \(a_{n-1,n-1}\)；
  3. 依此类推，第 \(i\) 行只能取 \(a_{ii}\)（因为 \(i+1, i+2, \dots, n\) 列已被后面各行占了）；
  4. 最终只有一项 \(a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\) 可能非零，其余 \(n!-1\) 项全为 0（因为每项都含至少一个 0 元素）。

所以行列式的值就是 \(a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\)。⏱ 22:20

下三角形行列式完全类似：第 1 行只有 \(a_{11}\) 可能非零，第 2 行只有 \(a_{12}, a_{22}\) 可能非零……最终也只有 \(a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}\) 一项非零。

证毕。\(\square\)

5.3 推论：对角矩阵的行列式

推论 · 对角矩阵的行列式 对角矩阵（只有主对角线元素非零）是上三角形也是下三角形，其行列式为
\[ \left|\begin{array}{ccccc} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{array}\right| = d_1 \cdot d_2 \cdot \cdots \cdot d_n \]
特别是，单位矩阵 \(I_n\) 的行列式为 1（所有 \(d_i = 1\)）。
预告 以后计算行列式的一个基本策略：通过行（列）变换把行列式化为上三角形，然后直接取主对角线乘积。但行（列）变换过程中行列式如何变化，需要下一节（行列式性质）来讨论。⏱ 23:20

6行列式的等价记号 ⏱ 09:30

n 阶行列式可以用几种等价记号表示：

记号说明适用场景
\(\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\)标准竖线记号（把矩阵的两条竖线写出来）强调行列式结构时
\(\det A\) 或 \(\det(a_{ij})_{n\times n}\)函数式记号，把 n 阶矩阵 \(A\) 映射到其行列式抽象讨论时最常用
\(\Delta_A\) 或 \(\Delta\)希腊字母 \(\Delta\)，下标标明是矩阵 \(A\) 的行列式教材中偶尔使用
\(A = (a_{ij})_{n\times n}\)矩阵简记：只写「代表元素」\(a_{ij}\)（第 i 行第 j 列交叉位置）省略具体矩阵写法
矩阵 vs 行列式 矩阵 \(A = (a_{ij})\) 用圆括号或方括号；行列式 \(|A|\) 或 \(\det A\) 用竖线。注意：矩阵不能写竖线（竖线是行列式专属记号），这个区分在板书中常被强调。

★重点回顾

1
n 阶行列式定义：\(n!\) 项代数和，每项是不同行不同列的 n 个元素之积；行指标按自然顺序 \(1,2,\dots,n\)；列指标遍历所有 n 元排列；符号由列指标排列的逆序数 \(\tau\) 决定：\((-1)^\tau\)。
2
二阶 → n 阶的类比：二阶 2 项 \(\to\) n 阶 \(n!\) 项；二阶 2 个元素之积 \(\to\) n 阶 n 个元素之积；二阶 2 个不同行不同列 \(\to\) n 阶 n 个不同行不同列。
3
三阶行列式：6 项，可用对角线法则（3 条正对角线 + 3 条负对角线）。四阶及以上无对角线法则。
4
上（下）三角形行列式：值 = 主对角线元素乘积 \(a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\)。这是计算行列式最重要的「化简目标」。
5
对角矩阵（含单位矩阵）：行列式 = 主对角线乘积；单位矩阵 \(\det I_n = 1\)。
6
一阶行列式 \(|a_{11}| = a_{11}\)，不是绝对值！竖线记号要区分「行列式」与「绝对值」。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把一阶行列式 \(|a|\) 当成绝对值：一阶行列式 \(|a_{11}| = a_{11}\)（就是那个数本身），不是 \(|a_{11}|\)（绝对值）。负数的一阶行列式仍为负。
  2. 三阶行列式项数记错：\(3! = 6\) 项，不是 4 项。对角线法则的 6 条线（3 正 + 3 负）要记全。
  3. 四阶以上套用对角线法则：对角线法则仅对三阶有效。四阶有 24 项，六条对角线根本不够。
  4. 上三角形行列式算成「所有对角线乘积之和」：上（下）三角形行列式只有主对角线一项非零，值就是 \(a_{11}\cdots a_{nn}\)，不是「所有可能乘积之和」。
  5. 定义中列指标排列的逆序数定号搞反：偶排列（逆序数偶）取正号，奇排列取负号。不要反了。
  6. 矩阵写成竖线 \(|A|\) 时忘记它不是矩阵乘法：竖线 \(|\;\;\)\) 表示行列式（一个标量），不是把矩阵用竖线包起来。矩阵的等价写法是 \(A = (a_{ij})\)。
  7. 上三角形行列式中「主对角线下方全为 0」理解错：下方为 0 是指 \(i > j\) 时 \(a_{ij}=0\)，即第 2 行第 1 列、第 3 行第 1、2 列……全为 0；而第 1 行第 2、3、…n 列可以非零。

✎自测与作业

  1. 按定义计算二阶行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}\)，验证等于 \(2\times7 - 5\times3 = -1\)，并指出列指标排列 \((1,2)\) 和 \((2,1)\) 各自的逆序数与奇偶性。
  2. 写出三阶行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{vmatrix}\) 按定义展开的全部 6 项（标明每项的符号），用对角线法则验证结果等于 \(-3\)。
  3. 求上三角形行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}\) 的值。
  4. 求对角矩阵 \(\text{diag}(3, -2, 5, -1)\) 的行列式值。
  5. 判断：四阶上三角形行列式按定义展开有多少项？其中可能非零的有几项？值等于什么？
  6. （思考题）为什么四阶行列式不能用「对角线法则」？（提示：四阶有 \(4! = 24\) 项，只有 2 条主对角线 + 2 条副对角线 = 4 条，远不够覆盖 24 项。）
下一集预告 第 11 集 · 行列式性质 1：转置不变：讨论行列式与矩阵的对称性，引入转置矩阵 \(A^T\)（或 \(A'\)），证明 \(\det(A^T) = \det(A)\)，并给出行列式性质（两行互换变号、某行公因子可提出等）。