高等代数 · 第 P100 集 · 十五：可对角化

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◎学习目标

回顾并熟练运用线性变换可对角化的六个等价条件（上集五个 + 本集第六个）；
理解线性变换特征多项式的定义：相似矩阵的特征多项式相等，故可定义"线性变换的特征多项式"；
掌握特征值分解式 $f_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$ 中 $r_i$ 的几何意义（$r_i = \dim V_{\lambda_i}$）；
掌握矩阵可对角化的充要条件：存在可逆矩阵 $P$（列向量为特征向量）使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵；
熟练运用求相似对角化的标准步骤：求特征值 → 求特征向量 → 构造 $P$ → 写出对角矩阵。

1回顾：可对角化的五个等价条件 ⏱ 00:00

本集开头紧接上集（第 P99 集）的推导。回顾线性变换 $\mathcal{A}$（$n$ 维 $F$ 空间 $V$ 上）的五个等价条件（定义 + 五个充要条件）：

编号	等价条件	本质
1	$V$ 中存在由 $\mathcal{A}$ 的特征向量组成的一组基	定义改写
2	$\mathcal{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量	定义改写
3	各 $V_{\lambda_i}$ 的基合起来是 $V$ 的基	结构分解
4	$\sum_{i=1}^{s}\dim V_{\lambda_i} = \dim V$	维数条件
5	$V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}$	直和分解

本集新增本集将给出第六个等价条件，即涉及特征多项式与代数/几何重数的条件（见第 3 节）。⏱ 01:10

2线性变换的特征多项式 ⏱ 01:52

定义 · 线性变换的特征多项式设 $V$ 为 $n$ 维 $F$ 空间上的线性空间，$\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换。由于 $\mathcal{A}$ 在不同基下的矩阵相似（相似矩阵特征多项式相等），故可定义：$\mathcal{A}$ 在某一基下的矩阵的特征多项式称为线性变换 $\mathcal{A}$ 的特征多项式，记作 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$。⏱ 02:35

为什么与基选取无关

$\mathcal{A}$ 在基 $G$ 下的矩阵为 $A$，在基 $G'$ 下的矩阵为 $B = P^{-1}AP$（$P$ 为基变换矩阵，可逆）。由上集结论（命题 1）：$f_B(\lambda) = f_A(\lambda)$，即相似矩阵特征多项式相同。⏱ 03:30

因此 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 不依赖于基的选取，是线性变换的内在不变量。

推论 · 可对角化时特征多项式分解式若 $\mathcal{A}$ 可对角化，设 $\mathcal{A}$ 的互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$（两两不等，$\lambda_i \in F$），对应特征子空间维数 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$，则

f_{\mathcal{A}}(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s}.

即：$\mathcal{A}$ 的特征多项式等于对角矩阵 $\operatorname{diag}(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_1}_{r_1}, \underbrace{\lambda_2, \dots, \lambda_2}_{r_2}, \dots, \underbrace{\lambda_s, \dots, \lambda_s}_{r_s})$ 的特征多项式。⏱ 04:48

3特征值分解与代数/几何重数 ⏱ 05:48

定义 · 代数重数与几何重数

代数重数（algebraic multiplicity）：特征值 $\lambda_i$ 作为 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 的根的重数，即 $r_i$（上式中 $(\lambda - \lambda_i)$ 的幂次）；
几何重数（geometric multiplicity）：特征子空间的维数 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$。

⏱ 06:36

可对角化的必要且充分条件（第 6 个等价条件）线性变换 $\mathcal{A}$ 可对角化，当且仅当：

$f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为一次因子的乘积；
每个特征值 $\lambda_i$ 的代数重数等于几何重数（即 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$）。

⏱ 07:57

证明思路（双向）

必要性（可对角化 $\Rightarrow$ 条件 6 成立）：由条件 5 知 $V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}$，取各 $V_{\lambda_i}$ 的基合起来为 $V$ 的基，则 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。对角矩阵的特征多项式即为 $\prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$（$\lambda_i$ 重复 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$ 次），故一次因子分解成立且代数重数 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$ = 几何重数。⏱ 08:51

充分性（条件 6 $\Rightarrow$ 可对角化）：设 $f_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod_{i=1}^{s}(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$，且 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$。由于 $f_{\mathcal{A}}$ 为 $n$ 次多项式（$n = \dim V$），有 $r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n$，即 $\dim V_{\lambda_1} + \dim V_{\lambda_2} + \cdots + \dim V_{\lambda_s} = n$，这正是条件 4。由条件 4 $\Leftrightarrow$ 条件 5 $\Leftrightarrow$ 可对角化。证毕。⏱ 09:26

重要说明 · 可分解性条件

若 $F = \mathbb{R}$：实数域上判别式 $< 0$ 的不可约二次多项式无法分解为一次因子，故若 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 含不可约二次因子，则 $\mathcal{A}$ 不可能在 $\mathbb{R}$ 上可对角化；
若 $F = \mathbb{C}$：由代数学基本定理，任何多项式均可分，条件 1 自动满足；但仍需验证代数重数 = 几何重数——即使在复数域上，线性变换也不一定可对角化；
一般关系：对任意线性变换，几何重数 $\leqslant$ 代数重数（恒成立），这是思考题要求证明的。

⏱ 10:20

4矩阵可对角化的充要条件 ⏱ 12:43

定义 · 矩阵可对角化设 $A$ 为 $F$ 上 $n$ 阶矩阵。若 $A$ 相似于一个对角矩阵，则称 $A$ 可对角化（即 $\exists$ 可逆矩阵 $P \in M_n(F)$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵）。⏱ 12:59

定理 · 矩阵可对角化的充要条件矩阵 $A$ 可对角化，当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$。⏱ 15:10

完整证明

必要性（$A$ 可对角化 $\Rightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量）：若 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，设 $P$ 的列向量为 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$（即 $P = (\alpha_1 \mid \alpha_2 \mid \cdots \mid \alpha_n)$）。由矩阵乘法展开：⏱ 15:35

AP = P \cdot \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \] \[ \Rightarrow \quad A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1, \quad A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2, \quad \dots, \quad A\alpha_n = \lambda_n \alpha_n.

即 $\alpha_i$ 是 $A$ 属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。由于 $P$ 可逆（列向量线性无关），故 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。⏱ 16:41

充分性（$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\Rightarrow$ $A$ 可对角化）：设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $A$ 的线性无关特征向量，$\alpha_i$ 属于特征值 $\lambda_i$。构造

P = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}.

由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关，$P$ 可逆。由矩阵乘法（$A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i$）：

AP = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \lambda_1\alpha_1 & \lambda_2\alpha_2 & \cdots & \lambda_n\alpha_n \\ | & | & & | \end{pmatrix} = P \cdot \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n).

故 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，$A$ 可对角化。证毕。⏱ 17:50

结论（可记的充要条件）矩阵 $A$ 可对角化 $\Leftrightarrow$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$。

\[ P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n), \] 其中 \(P = (\alpha_1 \mid \alpha_2 \mid \cdots \mid \alpha_n)\)，\(P\) 可逆；\(\lambda_i\) 为 \(\alpha_i\) 所属的特征值（即 \(A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i\)），出现在对角矩阵第 \(i\) 个对角位上。⏱ 18:21

5求相似对角化的标准步骤 ⏱ 18:33

丘老师在作业布置中明确要求：对给定矩阵 $A$，若其有 $n$ 个线性无关的特征向量，则"可以对你做对角化"，要求求出可逆矩阵 $P$（特征向量作为列向量）以及对角矩阵（主对角线上为特征值）。

标准步骤（五步法）

求特征多项式 $f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$；
求特征值：解方程 $f_A(\lambda) = 0$，得到 $\lambda_1, \dots, \lambda_s$（注意重数）；
求特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，求齐次方程组 $(A - \lambda_i I)\mathbf{x} = 0$ 的基础解系，得到特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 的基；
检验可对角化：各特征子空间维数之和 $= r_1 + r_2 + \cdots + r_s$ 是否 $= n$。若是，则 $A$ 可对角化；
构造 $P$ 与对角矩阵：将各特征子空间的基向量按特征值分组，作为 $P$ 的列向量： $P = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \alpha_{1,1} & \cdots & \cdots & \alpha_{s,r_s} \\ | & | & & | \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_1}_{r_1}, \underbrace{\lambda_2, \dots, \lambda_2}_{r_2}, \dots, \underbrace{\lambda_s, \dots, \lambda_s}_{r_s}).$

⏱ 19:40

典型反例（不可对角化） $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$：$f_A(\lambda) = (\lambda - 1)^2$，特征值 $\lambda = 1$（代数重数 = 2）。解 $(A - I)\mathbf{x} = 0$ 得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的解空间维数为 1（几何重数 = 1）。代数重数 $\neq$ 几何重数，故 $A$ 不可对角化。 ⏱ 20:10

作业布置丘老师在课堂结尾明确布置："今天的作业题就是——如果它（矩阵）有 $n$ 个线性无关的特征向量，问你可以不可以对角化？可以的话要你求出可逆矩阵 $P$（特征向量作为列向量），并且写出对角矩阵（主对角线上为特征值）。今天的课外作业和习题课都会有这个题目。"⏱ 21:45

★重点回顾

线性变换特征多项式：$f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 与基选取无关（相似矩阵特征多项式相等），是线性变换的内在不变量。

可对角化 $\Leftrightarrow$ 特征多项式分解式：$f_{\mathcal{A}}(\lambda) = \prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$，其中 $r_i = \dim V_{\lambda_i}$（几何重数 = 代数重数）。

代数重数 vs 几何重数：一般地，几何重数 $\leqslant$ 代数重数；可对角化时两者相等。这是第 6 个等价条件的核心。

矩阵可对角化充要条件：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$，构造 $P = (\alpha_1 | \cdots | \alpha_n)$，则 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。

不可分解性注意：实数域上不可约二次因子使特征多项式无法全部分解为一次因子；即使复数域上可分，几何重数 $<$ 代数重数时仍不可对角化。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆"特征向量的个数"与"特征子空间的维数"：特征子空间 $V_{\lambda_i}$ 中特征向量有无穷多个（非零向量及其倍数），但特征向量的"最大线性无关组"的个数（即维数 $\dim V_{\lambda_i}$）才是几何重数。
特征值相同但特征向量不同的处理：同一特征值 $\lambda_i$ 对应的所有特征向量张成同一个 $r_i$ 维子空间 $V_{\lambda_i}$，取 $r_i$ 个线性无关的特征向量作为该子空间的基即可，无需取"全部"特征向量。
$P$ 的列向量顺序必须与对角矩阵对角元对应：$P$ 第 $i$ 列 $\alpha_i$ 对应的特征值 $\lambda_i$ 必须出现在对角矩阵第 $i$ 位。若调换 $P$ 的列顺序，对角矩阵的对角元顺序也必须相应调换。
"有 $n$ 个特征向量" ≠ "可对角化"：必须有 $n$ 个线性无关的特征向量；若有重特征值且对应特征子空间维数不够（几何重数 < 代数重数），则线性无关的特征向量总数 $< n$，不可对角化。
特征多项式定义符号一致性：本课程 $f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$（首项 $+\lambda^n$），某些教材用 $\det(A - \lambda I)$（首项 $(-1)^n\lambda^n$）。根相同但系数符号不同，务必与课程统一。
实数域上可对角化的必要条件：特征多项式必须能在 $\mathbb{R}[\lambda]$ 中分解为一次因子之积。若有共轭复特征值对 $(\lambda = a \pm bi, \ b \neq 0)$，则不可在实数域上对角化。

✎自测与作业

设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$，验证 $A$ 可对角化（本身已是对角矩阵），并写出 $P$ 与 $P^{-1}AP$。
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，求特征多项式 $f_A(\lambda)$，判断 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上是否可对角化，并说明原因（提示：几何重数 = 1，代数重数 = 2）。
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，求 $f_A(\lambda)$，判断 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上是否可对角化（特征值 1 几何重数 = 1，特征值 2 几何重数 = 2，代数重数 2，几何重数 2，总和 $= 3 = n$，可对角化——$A$ 本身已是对角形式）。
（综合）设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，求特征多项式，判断是否可对角化，并求出可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。
（思考题·必做）证明：对 $n$ 维 $F$ 空间上任意线性变换 $\mathcal{A}$，每个特征值 $\lambda_i$ 的几何重数 $\dim V_{\lambda_i}$ 不超过其代数重数 $r_i$（即特征值作为 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 根的重数）。（提示：$V_{\lambda_i}$ 是齐次方程组 $(\lambda_i I - A)\mathbf{x} = 0$ 的解空间，维数 $= n - \operatorname{rank}(\lambda_i I - A)$，而 $f_{\mathcal{A}}(\lambda)$ 在 $\lambda_i$ 处的重数与 $(\lambda_i I - A)$ 的零化理想维数相关。）
（选做）设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$，求 $f_A(\lambda)$，判断 $A$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否可对角化。若特征值为实数且几何重数 = 代数重数 = 1（每个特征值），则构造 $P$ 完成相似对角化。

下一集预告后续课程将继续探讨对角化相关主题，包括 Jordan 标准形（不可对角化时的一般相似标准形）以及矩阵函数等内容。

编号	等价条件	本质
1	\(V\) 中存在由 \(\mathcal{A}\) 的特征向量组成的一组基	定义改写
2	\(\mathcal{A}\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量	定义改写
3	各 \(V_{\lambda_i}\) 的基合起来是 \(V\) 的基	结构分解
4	\(\sum_{i=1}^{s}\dim V_{\lambda_i} = \dim V\)	维数条件
5	\(V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_s}\)	直和分解