高等代数 · 第 P101 集 · 十六：不变子空间

提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。

☰本集目录

◎学习目标

理解并掌握不变子空间（T-invariant subspace）的定义：设 \(A\) 是线性空间 \(V\) 上的线性变换，\(W\) 是 \(V\) 的子空间，若 \(A(W)\subseteq W\)，则称 \(W\) 为 \(A\) 的不变子空间；
掌握三类平凡不变子空间：零子空间 \(\{\mathbf{0}\}\) 与整个空间 \(V\)；
会识别线性变换的特征子空间、核（Ker \(A\)）、象（Im \(A\)）都是它的不变子空间；
理解并会证：若线性变换 \(B\) 与 \(A\) 可交换，则 \(B\) 的核、\(B\) 的象、\(B\) 的特征子空间都是 \(A\) 的不变子空间；
掌握限制 \(T\mid_W\) 的定义与“商空间上的诱导变换 \(\bar T\)”思想，理解限制矩阵与分块对角矩阵的关系。

1引出不变子空间 ⏱ 00:17

本集承接上一集关于“可对角化”的讨论。回顾：若 \(V\) 能分解为 \(A\) 的属于不同特征值的特征子空间之直和，即

V = V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_s},

其中 \(\lambda_1,\dots,\lambda_s\) 是 \(A\) 的所有不同特征值，则 \(A\) 可对角化。⏱ 00:66

但由作业题可知，并非每个线性变换都能对角化：在 \(n\) 维空间中，\(A\) 可能只有 \(n\) 个线性无关特征向量中的若干个（例如 3 维空间中仅有 2 个或 1 个），此时 找不到使 \(A\) 成为对角矩阵的基。⏱ 01:10

思路起点既然不能直接对角化，丘老师提出退而求其次：尝试在 \(V\) 中找一组“较好的基”，使 \(A\) 在该基下的矩阵虽不是对角阵，但较简单（例如分块对角阵）。分析特征子空间可得一条“性质”——特征子空间中的向量经 \(A\) 作用后仍留在其中。由此抽象出“不变子空间”这一概念，作为研究的突破口。⏱ 02:30

2不变子空间的定义 ⏱ 03:20

定义 · 不变子空间设 \(A\) 是数域 \(F\) 上（有限维或无限维）线性空间 \(V\) 上的一个线性变换，\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。若对任意 \(\alpha\in W\)，都有 \(A\alpha\in W\)（即 \(A(W)\subseteq W\)），则称 \(W\) 为线性变换 \(A\) 的一个不变子空间。

直观理解：把 \(W\) 中任意向量经 \(A\) “运过去”（作用）后，结果没有“跑出” \(W\)，仍在 \(W\) 内，故称“不变”。⏱ 04:40

注意维数限制定义中 \(V\) 可以是有限维，也可以是无限维；\(A\) 为 \(V\) 上的线性变换。后续性质对有限维、无限维均成立，本集先不强调有限维限制。⏱ 03:50

3平凡不变子空间 ⏱ 05:46

除了即将讨论的非平凡例子，每个线性变换都有两个“平凡”的不变子空间：

平凡不变子空间

零子空间 \(\{\mathbf{0}\}\)：\(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\in\{\mathbf{0}\}\)，故为 \(A\) 的不变子空间；
整个空间 \(V\)：\(A(V)\subseteq V\)，显然为 \(A\) 的不变子空间。

两者被称为“平凡的不变子空间”（平凡解）；后续要寻找的是非平凡不变子空间。⏱ 06:00

4典型不变子空间：特征子空间 / 核 / 象 ⏱ 06:30

特征子空间是 \(A\) 的不变子空间

设 \(V_{\lambda}\) 是 \(A\) 属于特征值 \(\lambda\) 的特征子空间，即 \(V_{\lambda}=\{\alpha\in V: A\alpha=\lambda\alpha\}\)。若 \(\alpha\in V_{\lambda}\)，则

A\alpha=\lambda\alpha\in V_{\lambda}

因为特征子空间是子空间，对数乘封闭，故 \(A\alpha\in V_{\lambda}\)。因此 \(V_{\lambda}\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 06:42

核（Ker \(A\)）是 \(A\) 的不变子空间

核 \(\mathrm{Ker}\,A=\{\alpha\in V: A\alpha=\mathbf{0}\}\)。对任意 \(\alpha\in\mathrm{Ker}\,A\)，有 \(A\alpha=\mathbf{0}\)，而零向量属于任何子空间，故 \(A\alpha=\mathbf{0}\in\mathrm{Ker}\,A\)。因此 \(\mathrm{Ker}\,A\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 07:18

象（Im \(A\)）是 \(A\) 的不变子空间

象 \(\mathrm{Im}\,A=\{A\beta: \beta\in V\}\)。任取 \(\eta\in\mathrm{Im}\,A\)，则 \(\eta=A\beta\) 对某个 \(\beta\in V\)。考虑 \(A\eta=A(A\beta)=A^{2}\beta=A(A\beta)\)，仍为 \(A\) 作用到 \(V\) 中某向量上的结果，故 \(A\eta\in\mathrm{Im}\,A\)。因此 \(\mathrm{Im}\,A\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 08:12

小结 · 三类“典型”不变子空间特征子空间、核、象，都是线性变换 \(A\) 的不变子空间。这三类是本节反复强调的典型对象。⏱ 09:39

5可交换变换的核、象、特征子空间 ⏱ 09:46

设 \(A,B\) 都是 \(V\) 上的线性变换，且可交换：\(AB=BA\)。丘老师强调一个重要结论：

结论若 \(AB=BA\)，则 \(B\) 的核 \(\mathrm{Ker}\,B\)、\(B\) 的象 \(\mathrm{Im}\,B\)、以及 \(B\) 的特征子空间，都是 \(A\) 的不变子空间。

证明：以 \(B\) 的核为例（其余同理）

取 \(\delta\in\mathrm{Ker}\,B\)，则 \(B\delta=\mathbf{0}\)。要证 \(A\delta\in\mathrm{Ker}\,B\)，即证 \(B(A\delta)=\mathbf{0}\)。由可交换 \(AB=BA\)，

B(A\delta)=(BA)\delta=(AB)\delta=A(B\delta)=A\mathbf{0}=\mathbf{0}.

故 \(A\delta\in\mathrm{Ker}\,B\)，\(\mathrm{Ker}\,B\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 12:00

象：任取 \(\eta=B\beta\in\mathrm{Im}\,B\)，则 \(A\eta=A(B\beta)=B(A\beta)\in\mathrm{Im}\,B\)（因为 \(AB=BA\)）。故 \(\mathrm{Im}\,B\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 13:18

特征子空间：设 \(V_{\mu}^{B}\) 是 \(B\) 属于特征值 \(\mu\) 的特征子空间，\(\gamma\in V_{\mu}^{B}\)，则 \(B\gamma=\mu\gamma\)。要证 \(A\gamma\in V_{\mu}^{B}\)，即证 \(B(A\gamma)=\mu(A\gamma)\)。由可交换与线性保持数乘：

B(A\gamma)=A(B\gamma)=A(\mu\gamma)=\mu(A\gamma).

故 \(A\gamma\in V_{\mu}^{B}\)，\(V_{\mu}^{B}\) 是 \(A\) 的不变子空间。⏱ 15:48

特别提醒结论只适用于 \(B\) 的核、\(B\) 的象、\(B\) 的特征子空间这三种“特殊类型”的 \(B\) 的不变子空间。并非“\(B\) 的任意不变子空间都是 \(A\) 的不变子空间”。切勿把“可交换”误用为“\(B\) 的任一不变子空间都保持为 \(A\) 的不变子空间”——该结论不成立，务必小心。⏱ 18:00

其他平凡结论

不变子空间的交：\(A\) 的不变子空间的交集仍是 \(A\) 的不变子空间；
生成子空间：设 \(W=\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\)。若 \(A\) 把每个 \(\alpha_i\) 运过去都仍属于 \(W\)，则 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间（因 \(W\) 对加法、数乘封闭，线性组合也留在 \(W\) 中）。

丘老师指出：判断“由某向量组生成的子空间”是否不变，只需验证该向量组中每个向量在 \(A\) 下仍在 \(W\) 中即可，无需用到验证 \(W\) 中所有向量。⏱ 20:30

6限制 \(T\mid_W\) 与商空间诱导变换 \(\bar T\) ⏱ 21:00

设 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间。由于 \(W\) 中任意向量在 \(A\) 下仍留在 \(W\) 中，原定义域为 \(V\) 的 \(A\) 可以限制到 \(W\) 上：

定义 · 限制 \(A\) 在 \(W\) 上的限制，记作 \(A\mid_W\)，即把定义域由 \(V\) 缩小到 \(W\)。它是 \(W\) 上的一个线性变换（因为 \(A\) 保持加法、数乘，且 \(W\) 为 \(A\) 的不变子空间）。对任意 \(\alpha\in W\)，\((A\mid_W)\alpha=A\alpha\)。

定义 · 商空间上的诱导变换设 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间，则可定义商空间 \(V/W\) 上的诱导变换 \(\bar A\)：

\bar A(\alpha+W)=A\alpha+W.

该映射是良定的（well-defined）：若 \(\alpha+W=\alpha'+W\)，则 \(\alpha'-\alpha\in W\)，因 \(W\) 不变，\(A(\alpha'-\alpha)\in W\)，故 \(A\alpha+W=A\alpha'+W\)。\(\bar A\) 是 \(V/W\) 上的线性变换，称为 \(A\) 在商空间 \(V/W\) 上诱导的变换。

限制矩阵与分块对角矩阵的关系（本集主线）

设 \(V\) 的基分组为 \(\alpha_{11},\dots,\alpha_{1r_1}\mid \alpha_{2r_1+1},\dots,\alpha_{2r_2}\mid\cdots\mid\alpha_{s\,r_s}\)，令 \(W_i\) 为第 \(i\) 组生成的子空间。若 \(V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_s\) 且每个 \(W_i\) 都是 \(A\) 的非平凡不变子空间，则 \(A\) 在此基下的矩阵是分块对角阵：

[A] = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_s \end{pmatrix},

其中 \(A_i\) 是 \(A\) 在 \(W_i\) 上的限制 \(A\mid_{W_i}\) 在 \(W_i\) 的基下的矩阵。反过来，若 \(V\) 能分解为 \(A\) 的非平凡不变子空间的直和，则必可找到使 \([A]\) 为分块对角阵的基。⏱ 23:00

丘老师强调：这是对“对角化”的弱化——对角化要求分解为特征子空间的直和；分块对角化只要求分解为不变子空间的直和，因此适用范围更大，是后续研究“可对角化失败情形”的第一步。⏱ 25:40

主线收束本集以“不变子空间”为突破口：先建立定义、识别典型不变子空间，再引入限制 \(A\mid_W\) 与商空间诱导变换 \(\bar A\)，为下一节（线性变换的多项式）及后续“约当标准形、可对角化”研究奠基。

★重点回顾

不变子空间定义：\(W\le V\) 为 \(A\) 的不变子空间 \(\iff A(W)\subseteq W\)。

平凡不变子空间：\(\{\mathbf{0}\}\) 与 \(V\) 本身；此外特征子空间、核 \(\mathrm{Ker}\,A\)、象 \(\mathrm{Im}\,A\) 均为 \(A\) 的不变子空间。

可交换引理：若 \(AB=BA\)，则 \(\mathrm{Ker}\,B\)、\(\mathrm{Im}\,B\)、\(B\) 的特征子空间都是 \(A\) 的不变子空间；但 \(B\) 的任意不变子空间不一定如此。

生成子空间判据：\(W=\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\) 为 \(A\) 的不变子空间，当且仅当每个 \(\alpha_i\) 在 \(A\) 下仍属于 \(W\)。

限制与商：\(A\mid_W\) 是 \(W\) 上的线性变换；不变子空间 \(W\) 给出商空间 \(V/W\) 上的诱导变换 \(\bar A(\alpha+W)=A\alpha+W\)；分块对角矩阵正对应 \(A\) 在各非平凡不变子空间上的限制矩阵。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆“不变子空间”与“特征子空间”：不变子空间 \(A(W)\subseteq W\)；特征子空间还要求 \(A\alpha=\lambda\alpha\)。特征子空间是不变子空间的特例，反之不然。
“可交换 ⇒ \(B\) 的任意不变子空间都是 \(A\) 的不变子空间”：这是错误结论。可交换只保证 \(B\) 的核、象、特征子空间这三类特殊的 \(B\) 的不变子空间是 \(A\) 的不变子空间。
象是不变子空间的证明中“双重作用”：证 \(\mathrm{Im}\,A\) 不变需对 \(\eta=A\beta\) 再施加一次 \(A\)，得 \(A\eta=A^{2}\beta=A(A\beta)\in\mathrm{Im}\,A\)，切忌把 \(A\eta\) 直接写成 \(\eta\)。
限制 \(A\mid_W\) 存在的前提：只有当 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间（\(A(W)\subseteq W\)）时，\(A\) 才能限制为 \(W\) 上的线性变换；若 \(A(W)\not\subseteq W\)，则 \(A\mid_W\) 不是 \(W\) 上的自映射。
商空间诱导变换的良定性：\(\bar A(\alpha+W)=A\alpha+W\) 成立依赖于 \(W\) 不变（保证 \(A(\alpha'-\alpha)\in W\)）；缺少不变条件时该映射可能不 well-defined。
“分块对角化”不等于“对角化”：分块对角阵主对角线上的 \(A_i\) 仍可以是任意矩阵，未必对角；只有当每个不变子空间进一步可“对角化”时才真正对角化。

✎自测与作业

设 \(A\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 上的旋转 \(90^\circ\) 变换：\(A(x,y)=(-y,x)\)。判断 \(W=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)（\(x\)-轴）是否为 \(A\) 的不变子空间，并说明理由。
证明：线性变换 \(A\) 的核 \(\mathrm{Ker}\,A\) 与象 \(\mathrm{Im}\,A\) 都是 \(A\) 的不变子空间。
设 \(A,B\) 为 \(V\) 上的线性变换且 \(AB=BA\)，\(\mu\) 为 \(B\) 的特征值。证明 \(B\) 属于 \(\mu\) 的特征子空间是 \(A\) 的不变子空间。
设 \(W=\langle\alpha_1,\alpha_2\rangle\)，已知 \(A\alpha_1=2\alpha_1+\alpha_2\)，\(A\alpha_2=3\alpha_1\)。判断 \(W\) 是否为 \(A\) 的不变子空间，并求 \(A\mid_W\) 在基 \(\{\alpha_1,\alpha_2\}\) 下的矩阵。
（思考）设 \(V=W_1\oplus W_2\)，\(W_1,W_2\) 均为 \(A\) 的不变子空间。说明 \(A\) 在基 \(\{\alpha_{11},\dots\}\cup\{\alpha_{21},\dots\}\) 下的矩阵具有怎样的分块结构？其中各分块与 \(A\mid_{W_i}\) 有何关系？
（选做）设 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间。验证商空间 \(V/W\) 上的诱导变换 \(\bar A(\alpha+W)=A\alpha+W\) 是良定的线性变换（重点验证“若 \(\alpha+W=\alpha'+W\) 则 \(A\alpha+W=A\alpha'+W\)”）。

下一集预告第 P102 集 · 十七：线性变换的多项式与不变子空间、线性变换的限制、零化多项式。引入 \(A\) 的多项式 \(f(A)\)、线性变换多项式构成的交换环 \(F[A]\)，并用 Bézout 恒等式把 \(A\) 的不变子空间分解为互不相交的子空间，为最小多项式（P103 集）做铺垫。