高等代数 · 课程学习笔记

第 P102 集 · 十七：线性变换的多项式与不变子空间、零化多项式

Polynomials of a Linear Operator, Restriction & Annihilating Polynomials
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P102 / 151 集 核心概念：线性变换的多项式 · 交换环 F[A] · 限制 · 零化多项式
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◎学习目标

  1. 理解线性变换的多项式 \(f(A)\) 的含义：把一元多项式 \(f(x)\) 的不定元 \(x\) 代之以线性变换 \(A\)（保持加法、数乘、乘法运算）；
  2. 掌握 \(A\) 的所有多项式构成的集合 \(F[A]\) 是一个带单位元的交换环，且通过“数乘变换”子环与数域 \(F\) 有环同构映射；
  3. 理解多项式通用性（通用性原理）：对一元多项式环成立的等式，把不定元 \(x\) 代之以 \(A\) 后仍然成立；
  4. 掌握零化多项式（annihilating polynomial）的概念：存在一元多项式 \(g(x)\) 使 \(g(A)=0\)（零变换）；
  5. 利用 Cayley–Hamilton 定理说明有限维线性变换必有零化多项式（特征多项式即为一个零化多项式）；
  6. 明确限制 \(A\mid_W\) 与不变子空间的关系：\(W\) 是 \(A\) 的不变子空间时，\(A\) 才能限制为 \(W\) 上的线性变换。

1线性变换的多项式 \(f(A)\) ⏱ 21:30

设 \(A\) 是 \(F\) 上线性空间 \(V\) 上的线性变换。由于 \(A\) 有加法、数乘与乘法（复合），可以构造 \(A\) 的幂 \(A^m\)。形如

\[ f(A)=c_mA^m+c_{m-1}A^{m-1}+\cdots+c_1A+c_0I \]

的表达式（其中 \(c_0,\dots,c_m\in F\)，\(I\) 为恒等变换），称为线性变换 \(A\) 的多项式。⏱ 22:15

注意区分 \(f(A)\) 是“给定 \(A\)”的表达式，不是“不定元 \(x\) 的多项式”。二者外形相似但本质不同：前者是线性空间 \(V\) 上的一个线性变换，后者是多项式环 \(F[x]\) 中的一个元素。⏱ 22:40

2集合 \(F[A]\) 是一个交换环 ⏱ 23:20

把所有 \(A\) 的多项式（即 \(f(A)\)）构成的集合记作 \(F[A]\)。由 \(F[A]\subseteq\mathrm{End}(V)\)（\(V\) 上的线性变换全体）且对加法、减法、乘法封闭，它构成 \(\mathrm{End}(V)\) 的一个子环。关键在于它还有如下性质：

命题 · \(F[A]\) 的结构
  • 有单位元：取 \(c_0=1,\ c_1=\cdots=0\)，即恒等变换 \(I\)；
  • 交换环：因为所有元素都是“同一个 \(A\)”的多项式，而 \(A^m\cdot A^\ell=A^{m+\ell}=A^\ell\cdot A^m\)，故 \(F[A]\) 中任意两个多项式相乘可交换；
  • \(F[A]\) 对减法、乘法封闭，是 \(\mathrm{End}(V)\) 的带单位元的交换子环。
⏱ 24:00

3数乘变换子环与环同构 ⏱ 25:00

\(F[A]\) 中“只有常数项非零”的元素，即 \(cI\)（\(c\in F\)），是数乘（数量）变换。这些构成 \(F[A]\) 的一个子环，记作 \(F\cdot I\)（数乘变换全体）。⏱ 25:20

环同构映射 定义映射 \(\tau:F\to F\cdot I\)，\(\tau(c)=cI\)（数乘变换）。显然 \(\tau\) 是双射且保持加法、数乘与乘法，故 \(\tau\) 是环同构：
\[ F \cong F\cdot I \subseteq F[A]. \]
⏱ 26:10
意义 \(F[A]\) 是一个带单位元的交换环，并且存在一个来自数域 \(F\) 的“嵌入子环”（通过环同构 \(\tau\) 映到数乘变换子环）。这正是应用一元多项式通用性的两大前提条件：⏱ 26:40
  1. \(F[A]\) 是带单位元的交换环；
  2. 存在 \(F\to F[A]\)（通过数乘变换）的环同构映射。

4多项式通用性：把线性变换代入多项式 ⏱ 27:00

由一元多项式环 \(F[x]\) 的通用性（universal property），结合上一条的两个条件，可得：

通用性原理 对一元多项式环 \(F[x]\) 中成立的任何等式（关于加法、乘法），把不定元 \(x\) 代之以 \(F[A]\) 中任意元素（特别是线性变换 \(A\)）后，所得的等式仍然成立。 ⏱ 27:30
举例 取 \(f(x)=c_mx^m+\cdots+c_0\)，把 \(x\) 代之以 \(A\)，得 \(f(A)=c_mA^m+\cdots+c_0I\)。例如若 \(f(x)=g(x)h(x)\)，则 \(f(A)=g(A)h(A)\)（保持乘法）；若 \(f(x)=g(x)+h(x)\)，则 \(f(A)=g(A)+h(A)\)（保持加法）。这再次印证了“不定元 \(x\) 的通用性”——它以前可代入矩阵，现在可代入线性变换。⏱ 28:00

5不变子空间与限制 \(A\mid_W\) ⏱ 29:00

承上集，设 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间，则 \(A\) 可限制到 \(W\) 上：

限制（restriction） \(A\mid_W\) 是 \(W\) 上的线性变换，定义域由 \(V\) 缩小为 \(W\)：对 \(\alpha\in W\)，\((A\mid_W)\alpha=A\alpha\)。由于 \(W\) 不变，\(A\alpha\in W\)，故 \(A\mid_W\) 是 \(W\to W\) 的线性变换。⏱ 29:30

丘老师强调：限制与不变子空间是“一对”的概念——有不变子空间 \(W\)，才有 \(A\) 在 \(W\) 上的限制 \(A\mid_W\)；反之 \(A\) 能限制到 \(W\) 上（作为 \(W\) 的自映射），等价于 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间。本集及后续研究“可对角化失败”时，将反复利用这一关系，在每个不变子空间上“限制 \(A\)”并寻找更简单的矩阵形式。⏱ 30:10

主线衔接 上一集（P101）给出不变子空间、限制与分块对角阵的关系；本集引入 \(A\) 的多项式 \(f(A)\) 与通用性，用以把 \(A\) 的不变子空间分解为若干互不相交的子空间（借助 Bézout 恒等式），并为“零化多项式 / 最小多项式”（P103）做准备。

6零化多项式的存在性 ⏱ 31:00

定义 · 零化多项式（annihilating polynomial） 设 \(A\) 是 \(V\) 上的线性变换。若存在一元多项式 \(g(x)\in F[x]\)，使得 \(g(A)=\mathbf{0}\)（即 \(g(A)\) 为零变换），则称 \(g(x)\) 为线性变换 \(A\) 的一个零化多项式。

存在性：用 Cayley–Hamilton 定理

设 \(V\) 为 \(n\) 维，\(A\) 的特征多项式为 \(\chi_A(x)=\det(xI-A)\in F[x]\)。由 Cayley–Hamilton 定理（P105 集）：

\[ \chi_A(A)=\det(A I-A)\,\big|_{\text{CH}} = \mathbf{0}. \]

即特征多项式 \(\chi_A(x)\) 本身就是一个零化多项式。因此有限维线性变换必有零化多项式。⏱ 32:00

说明 零化多项式不唯一（例如 \(\chi_A\)、\(x\chi_A\)、\((x-1)\chi_A\) 等都是零化多项式）。后续 P103 集将引出“次数最低（首一）的零化多项式”，即最小多项式，并给出其性质 1、2。本集仅先建立“零化多项式存在”这一事实。⏱ 33:00

★重点回顾

1
线性变换的多项式 \(f(A)=c_mA^m+\cdots+c_0I\)，是把 \(f(x)\) 的不定元代之以 \(A\)；\(f(A)\) 本身是 \(V\) 上的线性变换，而非 \(F[x]\) 中元素。
2
\(F[A]\) 是带单位元的交换环，其中 \(cI\)（数乘变换）构成子环 \(F\cdot I\)，且 \(F\to F\cdot I\)，\(c\mapsto cI\) 是环同构。
3
多项式通用性：\(F[x]\) 中成立的等式，代入 \(A\)（任意 \(F[A]\) 元素）后仍成立（保持加、乘）。
4
限制与不变子空间：\(W\) 是 \(A\) 的不变子空间 \(\iff A\) 可限制为 \(W\) 上的线性变换 \(A\mid_W\)。
5
零化多项式：存在 \(g(x)\in F[x]\) 使 \(g(A)=\mathbf{0}\)；有限维情形由 Cayley–Hamilton 定理保证特征多项式 \(\chi_A\) 即是一个零化多项式。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把 \(f(A)\) 当作 \(F[x]\) 中多项式：\(f(A)\) 是线性变换（\(V\) 上），不是多项式。只有“代之前”的 \(f(x)\) 才在 \(F[x]\) 中。
  2. 误以为 \(F[A]\) 可交换是“一般”性质：\(F[A]\) 交换是因为所有元素都由同一个 \(A\) 生成；而一般的两个线性变换 \(A,B\) 不一定可交换（\(AB\ne BA\)）。
  3. “限制到 \(W\)”的前提：必须 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间（\(A(W)\subseteq W\)），否则 \(A\mid_W\) 不是 \(W\) 上的线性变换（\(W\) 上自映射不封闭）。
  4. 零化多项式不唯一：若 \(g(A)=0\)，则 \(m(x)g(A)=0\) 对任意 \(m(x)\in F[x]\) 也成立，故零化多项式有无穷多个；需“次数最低（首一）”的才谈得上最小多项式。
  5. Cayley–Hamilton 适用条件：\(\chi_A(A)=0\) 只适用于有限维线性空间；无限维情形不能直接由特征多项式得到零化多项式（需另证）。
  6. 通用性代入时保持运算：代入 \(A\) 后，加法、数乘、乘法分别对应线性变换的加、数乘、复合运算；切勿把“多项式乘法”误用为“点乘”。

✎自测与作业

  1. 设 \(A\) 为 \(V\) 上线性变换，\(f(x)=x^3-2x+1\)。写出 \(f(A)\)，并说明它为何是 \(V\) 上的线性变换。
  2. 证明 \(F[A]\) 对减法封闭：若 \(f(A),g(A)\in F[A]\)，则 \(f(A)-g(A)\in F[A]\)。
  3. 设 \(I\) 为恒等变换。验证 \(F\to F\cdot I\)，\(c\mapsto cI\) 保持加法与乘法（即环同构）。
  4. 设 \(A\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 上的变换，\(A(x,y)=(y,x)\)（换轴）。求一个一元多项式 \(g(x)\) 使 \(g(A)=0\)，并说明 \(A\) 的零化多项式与特征多项式的关系。
  5. 设 \(W\) 是 \(A\) 的不变子空间，\(\alpha\in W\)。说明 \((A\mid_W)\alpha=A\alpha\)，并验证 \(A\mid_W\) 是 \(W\) 上的线性变换。
  6. （思考）设 \(g(x)\) 是 \(A\) 的零化多项式（\(g(A)=0\)），\(m(x)\in F[x]\) 任意。证明 \(m(x)g(x)\) 也是 \(A\) 的零化多项式。由此说明零化多项式不唯一。
  7. （选做）设 \(V\) 是 \(n\) 维，\(A\) 的特征多项式为 \(\chi_A(x)\)。由 Cayley–Hamilton 定理验证 \(\chi_A(A)=0\)，即 \(\chi_A\) 是 \(A\) 的一个零化多项式（提示：结合 P105 集）。
下一集预告 第 P103 集 · 十八：最小多项式性质 1、性质 2。引入最小多项式（次数最低的零化多项式）概念，并证明：性质 1——最小多项式整除每个零化多项式；性质 2——\(A\) 可对角化等价于最小多项式为若干互异一次因式之积。