提示：数学公式渲染组件（KaTeX）加载失败，公式以源码形式显示，不影响阅读内容。联网后刷新即可正常渲染。
☰本集目录
◎学习目标
- 理解 \(F[\lambda]\) 上矩阵的唯一表示：任何 \(F[\lambda]\) 上的 \(n\) 阶矩阵可唯一写成 \(\lambda^m B_m + \cdots + \lambda B_1 + B_0\)，其中 \(B_i\) 是 \(F\) 上矩阵；
- 掌握特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵性质：\(\operatorname{adj}(\lambda I - A)(\lambda I - A) = f_A(\lambda) I\)，其中 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\)；伴随矩阵可唯一写成 \(\lambda^{n-1}B_{n-1} + \cdots + B_0\)（每个 \(B_i\) 是 \(F\) 上矩阵）；
- 完整证明Cayley-Hamilton 定理：对任意 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，\(f_A(A) = O\)；核心思想是"比较 \(\lambda\) 的各次幂系数"；
- 理解特征多项式在 \(F[\lambda]\) 中的不可约因式分解：\(f_A(\lambda) = \lambda^{r_0} p_1(\lambda)^{r_1} \cdots p_s(\lambda)^{r_s}\)（\(p_i\) 两两不等的不可约多项式）；
- 掌握根子空间（Generalized Eigenspace / Root Subspace）定义：\(\ker(\lambda - \lambda_i)^{r_i}(\mathcal{A} - I\lambda_i)\) 以及其直和分解定理：若特征多项式分解为一次因式幂次乘积，则 \(V = \ker(\mathcal{A}-\lambda_1 I)^{r_1} \oplus \cdots \oplus \ker(\mathcal{A}-\lambda_s I)^{r_s}\)。
1\(F[\lambda]\) 上矩阵的唯一表示 ⏱ 00:00
紧接上一集（P104）的铺垫。本集的核心技术准备：
\(F[\lambda]\) 上矩阵的结构
\(F[\lambda]\) 上 \(n\) 阶矩阵 \(M(\lambda)\) 可唯一写成：
\[ M(\lambda) = B_m \lambda^m + B_{m-1}\lambda^{m-1} + \cdots + B_1\lambda + B_0, \]
其中 \(B_0, B_1, \dots, B_m\) 是 \(F\) 上矩阵，且这种表示是唯一的（因为 \(F[\lambda]\) 中多项式的唯一表示定理 + 矩阵加法）。⏱ 00:15
两个关键事实
- \(F[\lambda]\) 上矩阵有伴随矩阵（\(\operatorname{adj}\)）；
- 行列式按一行展开定理对 \(F[\lambda]\) 上矩阵照样成立（因为 \(F[\lambda]\) 是交换环，行列式的代数性质与系数域无关）。
2特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵 ⏱ 02:00
设 \(A = (a_{ij})\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵，特征矩阵 \(\lambda I - A\) 的形式：
\[ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{pmatrix}. \]
其伴随矩阵 \(\operatorname{adj}(\lambda I - A)\) 的每个元素是 \((n-1)\) 阶行列式（\(\lambda I - A\) 的某个 \((n-1)\) 阶子式），因此每个元素是 \(\lambda\) 的至多 \(n-1\) 次多项式（因为每行每列只有一个 \(\lambda\) 项）。⏱ 03:00
伴随矩阵的结构
\(\operatorname{adj}(\lambda I - A)\) 可唯一写成
\[ \operatorname{adj}(\lambda I - A) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + B_{n-2}\lambda^{n-2} + \cdots + B_1\lambda + B_0, \]
其中 \(B_0, B_1, \dots, B_{n-1}\) 是 \(F\) 上矩阵（至多 \(n-1\) 次），表示唯一。⏱ 04:00
为什么每个元素至多 \(n-1\) 次？
\(\operatorname{adj}(\lambda I - A)_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ji}(\lambda)\)，其中 \(M_{ji}(\lambda)\) 是 \(\lambda I - A\) 划去第 \(j\) 行第 \(i\) 列后的 \((n-1)\) 阶行列式。该行列式的每个元素含 \(\lambda\) 的项至多一个（因为划掉一行后，每行每列仍只有一个对角位置含 \(\lambda\)），展开后最高次项至多 \(n-1\) 次。故每个伴随元素是至多 \(n-1\) 次多项式。⏱ 05:00
基本关系（P15 行列式按行展开的推广）
对 \(F[\lambda]\) 上矩阵同样成立：
\[ \operatorname{adj}(\lambda I - A) \cdot (\lambda I - A) = \det(\lambda I - A) \cdot I = f_A(\lambda) \cdot I. \]
其中 \(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n\) 是首一（首项系数为 1）的 \(n\) 次多项式。⏱ 06:00
3Cayley-Hamilton 定理的完整证明 ⏱ 06:30
定理 · Cayley-Hamilton（Hamilton-Cayley）
设 \(A\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵，\(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n\)。则
\[ f_A(A) = A^n + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_n I = O. \]
即：矩阵 \(A\) 满足其特征多项式。⏱ 06:30
证明（比较 \(\lambda\) 的各次幂系数）
第一步：写出伴随矩阵的表示：
\[ \operatorname{adj}(\lambda I - A) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + B_{n-2}\lambda^{n-2} + \cdots + B_1\lambda + B_0. \]
第二步：两边乘以 \(\lambda I - A\)：
\[ (B_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + B_0)(\lambda I - A) = f_A(\lambda) \cdot I. \]
展开左边：每个 \(B_k\lambda^k\) 乘以 \(\lambda I\) 得 \(B_k\lambda^{k+1}\)，乘以 \(-A\) 得 \(-B_k A \lambda^k\)（注意 \(B_k\) 是 \(F\) 上矩阵，与 \(A\) 可交换的只是系数，但 \(B_k\) 和 \(A\) 是右乘关系，\(B_k A\) 是普通矩阵乘积）。整理按 \(\lambda\) 的幂次：
\[ \lambda^n B_{n-1} + \lambda^{n-1}(B_{n-2} - B_{n-1}A) + \lambda^2(B_1 - B_2 A) + \cdots + \lambda(B_0 - B_1 A) - B_0 A. \]
第三步：右边 \(f_A(\lambda) \cdot I = (\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n) I\)
\[ = \lambda^n \cdot I + a_1\lambda^{n-1} I + a_2\lambda^{n-2} I + \cdots + a_{n-1}\lambda I + a_n I. \]
第四步（关键）：由于 \(F[\lambda]\) 上矩阵表示的唯一性，比较各次幂系数：
\[ B_{n-1} = I \]
\[ B_{n-2} - B_{n-1}A = a_1 I \Rightarrow B_{n-2} - A = a_1 I \]
\[ B_{k-1} - B_k A = a_k I, \quad k = 2, 3, \dots, n-1 \]
\[ -B_0 A = a_n I \Rightarrow B_0 A = -a_n I. \]
第五步（"斜着消掉"技巧）：丘老师强调从下往上消。对倒数第二式右乘 \(A\)：
\[ B_1 A - B_0 A^2 = a_{n-1} A \Rightarrow B_1 A = a_{n-1}A + a_n I \]
对倒数第三式右乘 \(A^2\)：
\[ B_2 A^2 = a_{n-2}A^2 + B_1 A^2 = a_{n-2}A^2 + a_{n-1}A^2 + a_n A = (a_{n-2}+a_{n-1})A^2 \ldots \]
（实际上，归纳得到：对每个 \(k\)，\(B_k A^{n-k} = a_k A^{n-k} + a_{k+1} A^{n-k-1} + \cdots + a_n I\)。）⏱ 10:00
把 \(k=0\)（即 \(B_0 A^n = a_0 A^n + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_n I\)，其中 \(a_0=1\)）代入，得：
\[ A^n + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_n I = O, \]
即 \(f_A(A) = O\)。证毕。⏱ 12:00
"斜着消掉"的直观解释
丘老师原话："这个怎么想到要右乘这个？你看，我再倒来看……这个右乘了 \(A\) 的 \(n-1\) 次方，这个就变成了 \(B\) 的 \(n-1\) 就是 \(A\) 的 \(n\) 次方……斜着这么消掉，斜着这么消掉……肯定得算。"——这是从最低次幂往上逐步右乘 \(A\)，每次消去一个 \(B_k\) 项，最终得到 \(f_A(A)=O\)。
线性变换版本的 Cayley-Hamilton 定理
设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的线性变换，\(\mathcal{A}\) 在某组基下的矩阵为 \(A\)，\(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 是 \(\mathcal{A}\) 的特征多项式（与基无关，因为相似矩阵特征多项式相同）。由矩阵版 Cayley-Hamilton，\(f_A(A) = O\)。由矩阵与线性变换的环同态关系，\(f_A(\mathcal{A}) = 0\)（零变换）。故：
定理（线性变换版）\(f_A(\mathcal{A}) = 0\)，即线性变换的特征多项式是它的零化多项式。⏱ 14:00
4特征多项式在 \(F[\lambda]\) 中的不可约因式分解 ⏱ 14:30
由多项式因式唯一分解定理，特征多项式（首一）在 \(F[\lambda]\) 中可唯一分解为：
\[ f_A(\lambda) = \lambda^{r_0} \, p_1(\lambda)^{r_1} \, p_2(\lambda)^{r_2} \, \cdots \, p_s(\lambda)^{r_s}, \]
其中 \(p_1, p_2, \dots, p_s\) 是 \(F\) 上两两不等的不可约多项式（首一），\(r_0, r_1, \dots, r_s \geq 0\)。由于 \(f_A\) 首一，各 \(p_i\) 也首一。⏱ 15:00
应用 P104 的直和分解定理
各 \(p_i(\lambda)^{r_i}\)（\(i=1,2,\dots,s\)）两两互素（因为 \(p_i\) 两两不等的不可约多项式），由 P104 的推广定理：
\[ V = \ker p_1(\mathcal{A})^{r_1} \oplus \ker p_2(\mathcal{A})^{r_2} \oplus \cdots \oplus \ker p_s(\mathcal{A})^{r_s}. \]
（这里若 \(r_0 > 0\)，则还要加上 \(\ker\mathcal{A}^{r_0}\)；即 \(\lambda^{r_0}\) 对应的核为 \(\ker\mathcal{A}^{r_0}\)。）⏱ 16:00
每一块 \(\ker p_i(\mathcal{A})^{r_i}\) 都是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，这为后续"分块对角化"（Jordan 标准形）打下基础。
5根子空间（Root Subspace）的直和分解 ⏱ 16:30
特殊情况：特征多项式分解为一次因式幂次乘积
若 \(F\) 是代数闭域（如 \(\mathbb{C}\)），或 \(f_A\) 在 \(F\) 中可分解为一次因式的幂次乘积：
\[ f_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \, \cdots \, (\lambda - \lambda_s)^{r_s}, \]
其中 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s \in F\) 两两不等，\(r_i \geq 1\)。
定义 · 根子空间
\(\ker(\mathcal{A} - \lambda_i I)^{r_i}\) 称为线性变换 \(\mathcal{A}\) 的根子空间（Root Subspace，也称广义特征子空间）对应特征值 \(\lambda_i\)。⏱ 17:00
定理 · 根子空间直和分解
若 \(f_A(\lambda)\) 在 \(F\) 中分解为一次因式幂次乘积（如上），则
\[ V = \ker(\mathcal{A} - \lambda_1 I)^{r_1} \oplus \ker(\mathcal{A} - \lambda_2 I)^{r_2} \oplus \cdots \oplus \ker(\mathcal{A} - \lambda_s I)^{r_s}. \]
即整个空间 \(V\) 分解为 \(\mathcal{A}\) 的各根子空间的直和，每个根子空间都是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。⏱ 18:00
证明思路
各 \((\lambda - \lambda_i)^{r_i}\) 两两互素（因为 \(\lambda_i\) 两两不等），由 P104 的推广定理：
\[ V = \ker f_A(\mathcal{A}) = \ker(\mathcal{A}-\lambda_1 I)^{r_1} \oplus \cdots \oplus \ker(\mathcal{A}-\lambda_s I)^{r_s}. \]
这里用到了 Cayley-Hamilton 定理：\(f_A(\mathcal{A}) = 0\)，故 \(\ker f_A(\mathcal{A}) = V\)（整个空间的核）。
丘老师说："把这些核的直和，而这些核都是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间，我们把这个给它起一个名字，就这个式子……称为这个线性变换 \(\mathcal{A}\) 的根子空间……把整个空间 \(V\) 分解成了这些根子空间的直和，这个为我们研究线性变换在某一组基的矩阵，是个分块对角的矩阵，就打下基础。"⏱ 20:00
与 P104 的联系
本定理是 P104"多个互素多项式对应不变子空间直和"定理的直接推论，只需将 \(f_i = (\lambda - \lambda_i)^{r_i}\) 代入，并利用 Cayley-Hamilton 保证 \(\ker f_A(\mathcal{A}) = V\)。
★重点回顾
1
\(F[\lambda]\) 上矩阵唯一表示：\(M(\lambda) = B_m\lambda^m + \cdots + B_0\)，系数矩阵唯一；行列式、按行展开、伴随矩阵基本关系都成立。
2
伴随矩阵性质：\(\operatorname{adj}(\lambda I - A) = B_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + B_0\)（\(B_i \in F^{n\times n}\)），且 \(\operatorname{adj}(\lambda I - A)(\lambda I - A) = f_A(\lambda)I\)。
3
Cayley-Hamilton 定理：\(f_A(A) = O\)。证明核心：把 \(\operatorname{adj}(\lambda I - A)(\lambda I - A) = f_A(\lambda)I\) 两边按 \(\lambda\) 的幂次展开，利用唯一表示比较系数，得 \(B_{n-1}=I\)，\(B_k - B_{k+1}A = a_k I\)，最后"斜着消掉"（从低次幂右乘 \(A\) 逐步消去），得 \(A^n + a_1 A^{n-1} + \cdots + a_n I = O\)。
4
特征多项式不可约分解：\(f_A(\lambda) = \lambda^{r_0} p_1(\lambda)^{r_1} \cdots p_s(\lambda)^{r_s}\)（\(p_i\) 两两不等不可约），由互素性和 P104 定理得 \(V\) 的不变子空间直和分解。
5
根子空间直和：若 \(f_A\) 分解为 \(\prod(\lambda - \lambda_i)^{r_i}\)（\(\lambda_i\) 两两不等），则 \(V = \bigoplus_i \ker(\mathcal{A} - \lambda_i I)^{r_i}\)，每块是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间。这是后续 Jordan 标准形理论的基础。
⚠易错点提醒
常见错误
- 比较系数的前提是"唯一表示"：\(F[\lambda]\) 上矩阵写成 \(\lambda\) 的幂次形式时，每个幂次的系数矩阵是唯一的，否则"比较系数"不合法。这是整个证明的核心逻辑基础。
- \(B_k A\) 是右乘：展开 \((B_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + B_0)(\lambda I - A)\) 时，\(-A\) 是右乘（\(\lambda I - A\) 在右边），所以得到的是 \(B_k \cdot A\)（\(B_k\) 左，\(A\) 右），不是 \(A \cdot B_k\)。矩阵乘法不交换，方向不能错。
- 特征多项式首一：\(f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 的最高次项是 \(\lambda^n\)（系数为 1），所以 \(B_{n-1} = I\)（而不是某个常数矩阵）。
- \(\ker(\mathcal{A}-\lambda I)^r\) 可能比特征子空间大：\(\ker(\mathcal{A}-\lambda I)\) 是特征子空间（特征值 \(\lambda\) 对应的），而 \(\ker(\mathcal{A}-\lambda I)^r\)（\(r\geq 2\)）是广义特征子空间，包含 \((\mathcal{A}-\lambda I)^{r-1}\) 的像空间中的向量，维数可以大于特征子空间。不要混淆。
- 根子空间直和分解需要 \(f_A\) 在 \(F\) 中可完全分解为一次因式：若 \(F\) 不是代数闭域且 \(f_A\) 含不可约二次因式，则只能分解到不可约多项式幂次为止，不能分解到一次因式。
✎自测与作业
- 对 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)，计算 \(\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 \\ 0 & \lambda-3 \end{pmatrix}\)，求其伴随矩阵，验证 \(\operatorname{adj}(\lambda I - A)(\lambda I - A) = (\lambda-1)(\lambda-3) \cdot I\)，并比较系数得 \(A^2 - 4A + 3I = O\)（Cayley-Hamilton）。
- 验证 \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)（旋转 \(\pi/2\)）的特征多项式 \(f_A(\lambda) = \lambda^2 + 1\)，验证 \(A^2 + I = O\)（即 \(A^2 = -I\)，与几何直觉一致：旋转 \(90°\) 两次等于 \(180°\) 旋转即取反）。
- 设 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)，特征多项式 \((\lambda-2)^2\)。验证 \((A - 2I)^2 = O\)（Cayley-Hamilton）。计算 \(A-2I = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)，\((A-2I)^2 = O\)（显然，幂零矩阵）。
- （思考）为什么 Cayley-Hamilton 定理的伴随矩阵方法称为"代数证明"而非"特征值证明"？从"不要求 \(F\) 是代数闭域、不要求 \(f_A\) 有根"的角度说明其优势。
- 设 \(V\) 是 \(\mathbb{C}\) 上 3 维空间，\(\mathcal{A}\) 的特征多项式为 \((\lambda-1)^2(\lambda-2)\)。写出根子空间直和分解 \(V = \ker(\mathcal{A}-I)^2 \oplus \ker(\mathcal{A}-2I)\)，并说明每块的维数。
- （选做）试将 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的特征多项式 \((\lambda-1)^3\) 代入 \(A\)，验证 \((A-I)^3 = O\)（3 阶 Jordan 块的幂零性），并计算 \((A-I)^2\)（非零，说明 \(A\) 不是可对角化的——预告 P105 下一集内容）。
下一集预告
第 P106 集 · 二十一：最小多项式——定义（次数最低且首项系数为 1 的零化多项式）、唯一性、整除性（\(m_A\) 整除任何零化多项式）、与特征多项式的关系（\(m_A\) 整除 \(f_A\)，两者有相同的根但重数可以不同）、矩阵最小多项式的引入。