高等代数 · 第 P107 集 · 二十二：相似矩阵、最小多项式

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◎学习目标

掌握相似矩阵有相同的最小多项式这一核心定理，并能借助"线性变换在不同基下矩阵"的桥接思路给出证明；
熟悉五个相似不变量：行列式、迹、特征多项式、特征值（按重数计算）、最小多项式；
理解相似矩阵 = 同一线性变换在不同基下的矩阵这一等价刻画，掌握"由矩阵 \(A\) 构造线性变换 \(\mathcal{A}\)"的标准手法；
掌握限制最小多项式的概念：当 \(V\) 分解为 \(A\)-不变子空间的直和 \(V = \bigoplus_{j=1}^{s} W_j\) 时，\(m_{\mathcal{A}} = \operatorname{lcm}(m_1, \dots, m_s)\)（其中 \(m_j\) 是 \(\mathcal{A}\) 在 \(W_j\) 上的限制的最小多项式）；
为下一集（P108）"首一最小公倍式、幂零变换、最小多项式"打下铺垫。

1相似矩阵有相同的最小多项式 ⏱ 02:30

紧接上一集（P106）的矩阵版本最小多项式定义。本集的核心结论：

命题 · 相似矩阵有相同的最小多项式设 \(A, B\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵，若 \(A \sim B\)（即存在可逆矩阵 \(S\) 使 \(B = S^{-1} A S\)），则

m_A(\lambda) = m_B(\lambda).

最小多项式是相似不变量。

证明思路（借助线性变换桥接）

关键桥梁（教材上仅一句带过，课堂上反复强调要记下来 ⏱ 03:58）：设 \(V\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal{A}\) 是 \(V\) 上的线性变换，若 \(\mathcal{A}\) 在某组基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 下的矩阵是 \(A\)，则 \(A\) 的最小多项式 = \(\mathcal{A}\) 的最小多项式（P106 已建立）。

第一步：由矩阵 \(A\) 构造线性变换。取 \(V\) 上任意一组基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)，令 \(\mathcal{A}\) 为唯一满足 \(\mathcal{A}(\alpha_j) = \sum_i a_{ij}\alpha_i\) 的线性变换，则 \(\mathcal{A}\) 在 \(\alpha\) 基下的矩阵就是 \(A\)（利用第一章第一节的"线性变换由基上像唯一确定"定理）。⏱ 04:20

第二步：证明 \(B\) 也是 \(\mathcal{A}\) 的矩阵（在另一组基下）。取可逆矩阵 \(S\)（\(B = S^{-1}AS\)），定义新基 \(\beta_j = \sum_i \alpha_i s_{ij}\)（即 \((\beta_1, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \dots, \alpha_n) S\)）。计算 \(\mathcal{A}\) 在 \(\beta\) 基下的矩阵：

\mathcal{A}(\beta_j) = \sum_k b_{kj}\beta_k,

而 \(\mathcal{A}((\alpha) S) = (\mathcal{A}(\alpha)) S\)（线性映射与矩阵乘法可交换），即 \((\alpha) A S = (\beta) B\)。利用 \((\alpha) S = (\beta)\) 与 \(S^{-1} S = I\)，最终得 \(B = S^{-1} A S\)，故 \(\mathcal{A}\) 在 \(\beta\) 基下的矩阵正是 \(B\)。⏱ 06:13

第三步：\(A\) 和 \(B\) 都是同一 \(\mathcal{A}\) 的矩阵（在不同基下），由 P106"线性变换与其矩阵有相同的最小多项式"，得 \(m_A = m_{\mathcal{A}} = m_B\)。证毕。⏱ 11:30

2五个相似不变量 ⏱ 11:42

相似不变量清单（本集核心列表）若 \(A \sim B\)（\(B = S^{-1}AS\)），则下列五个量在 \(A, B\) 上分别相等：

序号	不变量	表达式	来源
1	行列式	\(\det A = \det B\)	\(\det(S^{-1}AS) = \det S^{-1} \det A \det S = \det A\)
2	迹	\(\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} B\)	循环移位 \(\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)\)
3	特征多项式	\(f_A(\lambda) = f_B(\lambda)\)	\(\det(\lambda I - B) = \det S \det(\lambda I - A) \det S^{-1}\)
4	特征值（按重数计算）	\(\{\text{roots of } f_A\} = \{\text{roots of } f_B\}\)	由特征多项式相同
5	最小多项式	\(m_A(\lambda) = m_B(\lambda)\)	本集命题（线性变换桥接）

重要警示：五个不变量相等 ≠ 相似 "相似的矩阵五个不变量分别相等"是必要条件，不是充分条件。丘老师原话（⏱ 12:10）："就这五个都一样的两个矩阵，还不见得相似。所以这个很麻烦的事……五个都一样的两个矩阵，还不见得相似。" 相似的判定还需要更精细的不变量（下一集引入的"首一最小公倍式"以及后续的 Jordan 标准形理论）。

3相似矩阵 = 同一线性变换在不同基下的矩阵 ⏱ 04:20

定理 · 相似与基变换的等价设 \(A, B\) 是 \(F\) 上 \(n\) 阶矩阵。则

A \sim B \iff \exists \text{ 线性变换 } \mathcal{A} \text{ 与两组基 } \alpha, \beta, \text{ 使 } [\mathcal{A}]_\alpha = A,\; [\mathcal{A}]_\beta = B.

证明思路（⏱ 04:20 – 11:30）：由 \(B = S^{-1}AS\)（\(S\) 可逆），构造 \(\mathcal{A}\) 使其在 \(\alpha\) 基下矩阵为 \(A\)；令 \(\beta = \alpha S\)，则 \(\mathcal{A}\) 在 \(\beta\) 基下的矩阵为 \(B\)。反向由"两组基过渡矩阵"得 \(S = P_{\alpha \to \beta}\) 即 \(B = S^{-1}AS\)。

标准手法（教材一句带过，课堂上反复强调要记） "有了矩阵 \(A\)，怎么找一个线性变换 \(\mathcal{A}\)，使得它在 \(V\) 的某组基下的矩阵正好是 \(A\)"——这是本集以及后续所有矩阵理论的反复使用的手法。丘老师原话："这一段话我们以后要经常用的，就不再详细说了，一次说清楚了。" ⏱ 11:02

4限制最小多项式与整个最小多项式：公倍式关系 ⏱ 12:36

本节为下一集（P108）的核心内容预热。回顾前几集（P103–P105）："零化多项式"指导我们做不变子空间分解。现在把思路进一步精细化——用最小多项式 \(m_{\mathcal{A}}\) 替代特征多项式 \(f_{\mathcal{A}}\)（\(m_{\mathcal{A}} \mid f_{\mathcal{A}}\)，且"临界"状态更精细）。我们需要回答：当 \(V\) 已分解为若干 \(A\)-不变子空间的直和时，\(\mathcal{A}\) 在每一块上的限制的最小多项式，与整个 \(m_{\mathcal{A}}\) 是什么关系？

定义 · 限制最小多项式设 \(\mathcal{A}\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维空间 \(V\) 上的线性变换，\(V = W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s\) 是 \(\mathcal{A}\) 的不变子空间的直和（每个 \(W_j\) 都非平凡）。则 \(\mathcal{A}\) 在 \(W_j\) 上的限制 \(\mathcal{A}|_{W_j}\) 是 \(W_j\) 上的线性变换，其最小多项式记作 \(m_j(\lambda)\)（\(j = 1, 2, \dots, s\)），称为限制最小多项式。

定理（本集核心）

m_{\mathcal{A}}(\lambda) = \operatorname{lcm}\bigl( m_1(\lambda), m_2(\lambda), \dots, m_s(\lambda) \bigr),

即整个最小多项式 \(m_{\mathcal{A}}\) 等于各限制最小多项式 \(m_1, \dots, m_s\) 的首一最小公倍式。

证明（两个方向的包含关系）

方向一：先证明"任何 \(\mathcal{A}\) 的非零零化多项式 \(q(\lambda)\) 都是 \(m_1, \dots, m_s\) 的公倍式"。取 \(W_j\) 上任意向量 \(\xi_j\)，由于 \(q(\mathcal{A})\) 是零变换（在全空间 \(V\) 上），故 \(q(\mathcal{A})|_{W_j}\) 也是 \(W_j\) 上的零变换，即 \(q\) 是 \(\mathcal{A}|_{W_j}\) 的零化多项式。由 P106 命题一（\(m_j \mid q\)），\(m_j \mid q\) 对所有 \(j\) 成立，即 \(q\) 是 \(m_1, \dots, m_s\) 的公倍式（common multiple，指"公共的倍式"）。⏱ 16:30

方向二：取 \(m_1, \dots, m_s\) 的任意非零公倍式 \(k(\lambda)\)，则存在 \(s_1, \dots, s_s \in F[\lambda]\) 使 \(k(\lambda) = s_j(\lambda) m_j(\lambda)\)（对所有 \(j\)）。要证 \(k(\mathcal{A})\) 是零变换：取任意 \(\xi \in V\)，把 \(\xi\) 唯一分解为 \(\xi = \xi_1 + \cdots + \xi_s\)（\(\xi_j \in W_j\)），则

k(\mathcal{A})(\xi) = \sum_{j=1}^{s} k(\mathcal{A})(\xi_j) = \sum_{j=1}^{s} s_j(\mathcal{A}|_{W_j}) m_j(\mathcal{A}|_{W_j})(\xi_j) = 0,

（其中 \(m_j(\mathcal{A}|_{W_j})\) 是 \(W_j\) 上的零变换，故每项都是 0。）故 \(k(\mathcal{A})\) 是零变换，即 \(k\) 是 \(\mathcal{A}\) 的零化多项式。⏱ 18:00

两个集合相等：\(\{ \mathcal{A}\) 的非零零化多项式 \(\} = \{ m_1, \dots, m_s\) 的非零公倍式 \(\}\)。两边取"次数最低、首项系数为 1"者，左边即 \(m_{\mathcal{A}}\)，右边即 \(m_1, \dots, m_s\) 的首一最小公倍式。证毕。⏱ 19:30

直观理解证明的核心是"两个集合互相包含 → 集合相等 → 两边取首一最低次"。这个集合论语言 + 整除关系的组合技巧，是本集最值得记住的论证模式。后续 P108 的矩阵版本（分块对角矩阵最小多项式 = 各块最小多项式首一最小公倍式）用的是完全相同的论证框架。

★重点回顾

相似矩阵有相同的最小多项式：\(A \sim B \Rightarrow m_A = m_B\)。证明借助"线性变换在不同基下的矩阵"桥接。

五个相似不变量：行列式、迹、特征多项式、特征值（按重数）、最小多项式。相似是充分的，但这五个相等是必要不充分条件。

桥接定理：相似矩阵 \(A, B\) 可看作同一线性变换 \(\mathcal{A}\) 在不同基下的矩阵。这是后续 Jordan 标准形理论反复使用的标准手法。

限制最小多项式与整个最小多项式：若 \(V = \bigoplus_{j=1}^{s} W_j\)（\(W_j\) 是 \(\mathcal{A}\)-不变子空间），则 \(m_{\mathcal{A}} = \operatorname{lcm}(m_1, \dots, m_s)\)（首一最小公倍式）。

证明技术："集合论语言 + 整除关系"——证明"两个集合（\(\mathcal{A}\) 的非零零化多项式集合 = \(m_1, \dots, m_s\) 的非零公倍式集合）相等，再取首一最低次"。

⚠易错点提醒

常见错误

"五个不变量相等"不等于"相似"：五个不变量相等只是相似的必要条件。实际判定需要更精细的不变量（如 Jordan 标准形本身），不能凭五个量就下"相似"的结论。
\(m_j\) 是"限制最小多项式"，不是"矩阵 \(A\) 的子块最小多项式"：\(m_j\) 是 \(\mathcal{A}|_{W_j}\)（\(W_j\) 上的线性变换）的最小多项式，与"矩阵 \(A\) 的某个子块"是有区别的（虽然最终可以对应到矩阵版本的分块对角结构）。
\(V = \bigoplus W_j\) 必须是 \(A\)-不变子空间的直和：若 \(W_j\) 不是 \(\mathcal{A}\)-不变子空间，则 \(\mathcal{A}|_{W_j}\) 未定义，\(m_j\) 也不存在。这是定理的前提。
"公倍式"是公共的"倍式"（multiple）：注意是"公倍式"（common multiple），不是"公因式"（common divisor）。\(m_j \mid q\) 表示 \(q\) 是 \(m_j\) 的倍式。
最小公倍式是"首一"的：两个一元多项式的首一最小公倍式是唯一确定的。"非首一"的公倍式集合不唯一（可乘任意非零标量），故必须用首一限制。

✎自测与作业

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)（二者相似，\(B = S^{-1} A S\)，\(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 或任意与 \(B\) 相似的可逆矩阵）。验证 \(m_A = (\lambda-1)(\lambda-2)\)，\(m_B = (\lambda-1)(\lambda-2)\)，二者相等。
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)（相似，过渡矩阵 \(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 的逆调整）。验证 \(m_A = (\lambda-1)^2 = m_B\)。
设 \(V = \mathbb{R}^4\)，\(\mathcal{A}\) 在基 \(e_1, e_2, e_3, e_4\) 下的矩阵是分块对角 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)，不变子空间分解为 \(W_1 = \operatorname{span}(e_1, e_2)\)，\(W_2 = \operatorname{span}(e_3)\)，\(W_3 = \operatorname{span}(e_4)\)。分别求 \(m_1, m_2, m_3\)，并验证 \(m_{\mathcal{A}} = \operatorname{lcm}(m_1, m_2, m_3)\)。
（思考）为什么"相似矩阵有相同的最小多项式"不能反过来用？即"两个矩阵有相同的最小多项式"推不出"相似"。给出反例提示（考虑不同 Jordan 块结构）。
（选做）证明：若 \(m_1, m_2\) 在 \(F[\lambda]\) 中互素（\((m_1, m_2) = 1\)），则 \(\operatorname{lcm}(m_1, m_2) = m_1 m_2\)（利用多项式唯一因式分解）。

下一集预告第 P108 集 · 二十三：首一最小公倍式、幂零变换、最小多项式——首一最小公倍式的标准定义与性质、矩阵版本的限制最小多项式定理（分块对角矩阵的最小多项式 = 各对角块最小多项式的首一最小公倍式）、幂零变换与幂零矩阵的定义与最小多项式 \(m_A = \lambda^L\)（\(L\) 为幂零指数）、以及可对角化充要条件中"最小多项式为互异一次因式乘积"的刻画。