高等代数 · 第11集 · 行列式性质（一）：转置不变

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◎学习目标

回顾 n 阶行列式定义的两种等价写法：按行指标自然顺序排列、按列指标自然顺序排列；
理解行列式一般项中 n 个元素的乘积有交换律，因此元素的排列顺序可以任意调整；
掌握行列式一般项中「行指标排列 \(i_1, i_2, \dots, i_n\) 和列指标排列 \(j_1, j_2, \dots, j_n\)」的符号公式：\((-1)^{\tau(i_1,\dots,i_n) + \tau(j_1,\dots,j_n)}\)；
理解转置矩阵 \(A^T\)（或 \(A'\)）的定义：把矩阵的行列互换；
证明并记住性质（1）：\(\det(A^T) = \det(A)\)，即行列式转置不变；
体会性质（1）的意义：行列式中行与列的地位完全对称——凡是关于行的性质，对列也成立；反之亦然。

1回顾：n 阶行列式定义的两种形式 ⏱ 00:00

1.1 定义的第一种形式（行指标自然顺序）

上一集（第 10 集）给出 n 阶行列式的标准定义：行指标固定为自然顺序 \(1, 2, \dots, n\)，对列指标排列求和：⏱ 01:00

\det A = \sum_{(j_1, j_2, \dots, j_n)} (-1)^{\tau(j_1, \dots, j_n)} \, a_{1j_1}\, a_{2j_2}\, \cdots\, a_{nj_n}

1.2 定义的另一种形式（列指标自然顺序）

利用乘积交换律，可以把 n 个元素按列指标自然顺序排列：第一列、第二列、……、第 n 列。此时行指标形成一个排列 \((i_1, i_2, \dots, i_n)\)，符号由行指标排列的逆序数决定：⏱ 12:25

\det A = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} \, a_{i_1 1}\, a_{i_2 2}\, \cdots\, a_{i_n n}

两种形式等价这两种写法只是表达形式不同，算出来的结果完全一样。第一种按行指标自然顺序（列指标变），第二种按列指标自然顺序（行指标变）。它们等价于把同一次乘积的因子重新排序——乘积交换律保证了这一点。

1.3 一般形式：行指标和列指标都变

事实上，n 个元素 \(a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}\) 的因子顺序可以任意排列（交换律），只要保证行指标 \(i_1, \dots, i_n\) 是 \(1, \dots, n\) 的某个排列、列指标 \(j_1, \dots, j_n\) 也是 \(1, \dots, n\) 的某个排列（不同行不同列）即可。此时符号公式为：⏱ 10:08

公式 · 行列式一般项的符号 \[ \det A = \sum_{(i_1, \dots, i_n),\, (j_1, \dots, j_n)} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)} \, a_{i_1 j_1}\, a_{i_2 j_2}\, \cdots\, a_{i_n j_n} \] 其中 \((i_1, \dots, i_n)\) 和 \((j_1, \dots, j_n)\) 都是 \(1, \dots, n\) 的排列；指数是行指标排列的逆序数加上列指标排列的逆序数。

2一般项中 n 个元素的交换 ⏱ 02:29

定义中一般项是 \(a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}\)，n 个元素按行指标自然顺序排列。但乘积有交换律，我们可以任意交换这些因子的顺序。每次交换两个元素，就对应行指标排列做一次对换、列指标排列也做一次对换。⏱ 04:00

探索：交换元素后符号如何变化？

设一般项 \(a_{i_1 j_1} a_{i_2 j_2} \cdots a_{i_n j_n}\) 经过 \(S\) 次两个元素的对换后变成 \(a_{i'_1 j'_1} a_{i'_2 j'_2} \cdots a_{i'_n j'_n}\)。由于乘积交换律，数值不变，但符号可能变化。

每次两个元素对换，相当于行指标排列做一次对换（对换改变奇偶性），列指标排列也做一次对换（同样改变奇偶性）。\(S\) 次对换后：

(-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} \, (-1)^{\tau(j_1, \dots, j_n)} = (-1)^{S} \, (-1)^{\tau(i'_1, \dots, i'_n)} \, (-1)^{S} \, (-1)^{\tau(j'_1, \dots, j'_n)}

左边两因子相乘，右边 \((-1)^S \cdot (-1)^S = (-1)^{2S} = 1\)，化简后得：

(-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n) + \tau(j_1, \dots, j_n)} = (-1)^{\tau(i'_1, \dots, i'_n) + \tau(j'_1, \dots, j'_n)}

即交换前后，符号（\((-1)\) 的指数和的奇偶性）不变——因为每次交换同时改变行指标排列和列指标排列的奇偶性，两「变」相消。这正是符号公式「行指标逆序数 + 列指标逆序数」的意义。⏱ 09:30

结论一般项中 n 个元素的排列顺序不影响最终符号（只要行指标和列指标各自都是 1, …, n 的排列）。因此我们可以按列指标自然顺序重新排列因子，得到定义的第二种形式。

3行指标自然顺序 vs 列指标自然顺序 ⏱ 12:40

两种「自然顺序」写法对比：⏱ 12:40

形式	固定（自然顺序）	遍历排列	符号
按行指标自然顺序	行指标 \(1, 2, \dots, n\)（第 i 项取第 i 行）	列指标排列 \((j_1, \dots, j_n)\)	\((-1)^{\tau(j_1, \dots, j_n)}\)
按列指标自然顺序	列指标 \(1, 2, \dots, n\)（第 i 项取第 i 列）	行指标排列 \((i_1, \dots, i_n)\)	\((-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)}\)

这两种形式是完全等价的——因为每一项（不同行不同列的 n 个元素之积）在两个写法中一一对应，且对应的符号也相同（由上面的推导保证）。⏱ 13:30

对称性的直观感受注意：把「行指标自然顺序」变成「列指标自然顺序」，就恰好把行列式定义中「行」和「列」的角色互换了。这暗示了行列式关于行和列具有某种对称性——下一节（转置）将正式揭示这一对称性。

4转置矩阵 \(A^T\) 的定义与记号 ⏱ 13:50

定义 · 转置矩阵设 \(A\) 是一个 \(n\) 阶矩阵 \(A = (a_{ij})\)。把 \(A\) 的第 i 行写成第 i 列（即行与列互换），得到新矩阵

A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

称为矩阵 \(A\) 的转置（transpose），记作 \(A^T\) 或 \(A'\)。

4.1 转置的记号说明

国内高等代数教材中，转置习惯用一撇（撇号）表示：\(A'\)（读作「A 撇」）。但更规范的记号是上标 T（transpose 的首字母）：\(A^T\)。丘维声教授说：「我们国内的高数习惯用 \(A'\)，但你知道 \(A^T\) 也是一样的，我为了跟大家保持一致，还是用 \(A'\)，但你们知道 \(A^T\) 就足够了。」⏱ 15:49

注意：矩阵 vs 行列式的记号矩阵用圆括号（或方括号）\((a_{ij})\)；行列式用竖线 \(|\begin{smallmatrix} a_{11} & \cdots \\ \vdots & \ddots \end{smallmatrix}|\)。不要写成 \(|A|\) 时忘了它表示的是行列式（一个标量），不是把矩阵包在竖线里。

5性质（1）：行列式转置不变 ⏱ 16:36

定理 · 行列式性质（1） 转置不变：n 阶矩阵 \(A\) 的转置 \(A^T\)（或 \(A'\)）的行列式等于 \(A\) 的行列式：

\det(A^T) = \det(A)

等价地写为：

\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|

即：把行列式的行与列互换（转置），行列式的值不变。

证明（按列指标自然顺序展开）

按第 10 集的定义，\(\det A\) 可以按列指标自然顺序展开（列指标 \(1, 2, \dots, n\) 固定，行指标遍历排列 \((i_1, i_2, \dots, i_n)\)）：⏱ 19:20

\det A = \sum_{(i_1, i_2, \dots, i_n)} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} \, a_{i_1 1}\, a_{i_2 2}\, \cdots\, a_{i_n n}

现在计算 \(\det(A^T)\)。转置矩阵 \(A^T\) 的元素满足 \((A^T)_{ij} = a_{ji}\)，即 \(A^T\) 第 i 行第 j 列的元素就是 \(A\) 第 j 行第 i 列的元素。

按同样的公式（按列指标自然顺序），\(\det(A^T)\) 展开为：⏱ 20:30

\det(A^T) = \sum_{(i_1, \dots, i_n)} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} \, (A^T)_{i_1 1}\, (A^T)_{i_2 2}\, \cdots\, (A^T)_{i_n n}

把 \((A^T)_{ij} = a_{ji}\) 代入：

(A^T)_{i_1 1} = a_{1 i_1}, \quad (A^T)_{i_2 2} = a_{2 i_2}, \quad \cdots, \quad (A^T)_{i_n n} = a_{n i_n}

所以

\det(A^T) = \sum_{(i_1, \dots, i_n)} (-1)^{\tau(i_1, \dots, i_n)} \, a_{1 i_1}\, a_{2 i_2}\, \cdots\, a_{n i_n}

把求和指标 \(i_k\) 重新改名为 \(j_k\)（这只是记号替换，不改变求和范围）：

\det(A^T) = \sum_{(j_1, \dots, j_n)} (-1)^{\tau(j_1, \dots, j_n)} \, a_{1 j_1}\, a_{2 j_2}\, \cdots\, a_{n j_n} = \det A

这正是 \(\det A\) 按行指标自然顺序展开的公式。证毕。\(\square\)

⏱ 21:45

5.1 证明的直观解释

直观理解 \(\det A\) 按行指标自然顺序展开时，一般项是 \(a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}\)（行指标 \(1, \dots, n\) 自然顺序，列指标 \((j_1, \dots, j_n)\) 遍历排列）。转置矩阵 \(A^T\) 中，\(a_{ij}\) 变成 \(a_{ji}\)，即原来第 i 行第 j 列的元素现在变成第 j 行第 i 列。所以 \(\det(A^T)\) 的一般项是 \(a_{i_1 1} a_{i_2 2} \cdots a_{i_n n}\)（列指标 \(1, \dots, n\) 自然顺序，行指标 \((i_1, \dots, i_n)\) 遍历排列）——这正是 \(\det A\) 按列指标自然顺序展开的形式。由于两种形式等价，\(\det(A^T) = \det(A)\)。

6对称性的意义：行与列地位等价 ⏱ 22:20

推论 · 行列式的行列对称性由 \(\det(A^T) = \det(A)\) 可知：行列式中「行」和「列」的地位完全对称。

凡是关于行的性质（如「某两行互换，行列式变号」），对列也成立（「某两列互换，行列式变号」）；
凡是关于列的性质，对行也成立；
因此，后面证明行列式性质时，只需证明关于行的性质，列的相应性质直接由转置不变性自动得出，不必重复证明。

本集小结本集只证明了行列式的第一条性质（转置不变）。后续还有：

性质（2）：互换行列式中任意两行（列），行列式变号；
性质（3）：行列式某一行（列）的公因子可以提取到行列式外面。

这些将在下一集（第 12 集）继续讨论。

★重点回顾

1

n 阶行列式一般项的符号公式：\(\det A = \sum_{(i_1,\dots,i_n),(j_1,\dots,j_n)} (-1)^{\tau(i_1,\dots,i_n) + \tau(j_1,\dots,j_n)} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n}\)；行指标与列指标各自都是 1, …, n 的排列。

2

一般项中 n 个因子的顺序可任意交换（乘积交换律），每次交换同时改变行指标排列和列指标排列的奇偶性，两个变化相消，符号不变。

3

定义可按行指标自然顺序（列指标变）或按列指标自然顺序（行指标变）展开，两种形式等价。

4

转置矩阵 \(A^T\)（或 \(A'\)）：\(A = (a_{ij})\) 转置后 \((A^T)_{ij} = a_{ji}\)，即第 i 行变第 i 列。国内记号习惯 \(A'\)，国际标准 \(A^T\)。

5

性质（1）：\(\det(A^T) = \det(A)\)（转置不变）。证明：按列指标自然顺序展开 \(\det(A^T)\)，代入 \((A^T)_{ij} = a_{ji}\)，恰好得到 \(\det A\) 按行指标自然顺序展开的公式。

6

转置不变性意味着行列式中行与列的地位完全对称：关于行的性质自动对列成立，反之亦然。这为后续证明行列式性质节省了一半工作。

⚠易错点提醒

常见错误

把 \(A^T\) 记成 \(A^{-1}\)：转置 \(A^T\)（或 \(A'\)）是行列互换；逆矩阵 \(A^{-1}\) 是完全不同的概念（满足 \(AA^{-1} = I\)）。两者没有直接关系（除非是正交矩阵）。
转置后行列式会变号：错！\(\det(A^T) = \det(A)\)，转置不变（不是变号）。变号的是「两行互换」（性质 2）。
符号公式中漏掉「+」：一般项符号指数是 \(\tau(\text{行指标}) + \tau(\text{列指标})\)，两者相加。只写一个就漏了。
把行列式矩阵元素写成 \(|a_{ij}|\)：矩阵元素是 \(a_{ij}\)（普通数），不是 \(|a_{ij}|\)（绝对值）。行列式的竖线是「求行列式值」的记号，不是绝对值。
国内记号 \(A'\) 和国际记号 \(A^T\) 混淆：两者表示同一个转置，只是符号不同。看到 \(A'\) 知道就是 \(A^T\)，看到 \(A^T\) 知道就是 \(A'\)，不要当成两种不同矩阵。
以为只有方阵才有转置：非方阵 \(m \times n\) 矩阵也有转置 \(n \times m\)，只是只有方阵的转置才和原矩阵同阶。但本集讨论的是方阵的行列式，所以默认 n 阶方阵。
性质（1）证明中搞混行指标和列指标：按列指标自然顺序展开时，固定的是列指标 \(1, 2, \dots, n\)，遍历的是行指标排列 \((i_1, \dots, i_n)\)。符号是 \((-1)^{\tau(i_1,\dots,i_n)}\)（行指标排列的逆序数），不是列指标排列的。

✎自测与作业

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，写出 \(A^T\)（或 \(A'\)），验证 \(\det(A^T) = \det(A) = -2\)。
设 \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)，写出 \(B^T\)，计算 \(\det B\) 和 \(\det(B^T)\)，验证相等。
按列指标自然顺序展开三阶行列式 \(\det A = \sum_{(i_1,i_2,i_3)} (-1)^{\tau(i_1,i_2,i_3)} a_{i_1 1} a_{i_2 2} a_{i_3 3}\)，写出全部 6 项（标明每项的符号），并验证与按行指标自然顺序展开的结果一致。
证明：若 \(A\) 是对称矩阵（\(A^T = A\)），则 \(\det(A^T) = \det(A)\) 自动成立（显然，因为 \(A^T = A\)）。再证明：若 \(A\) 是反对称矩阵（\(A^T = -A\)），且 n 为奇数，则 \(\det A = 0\)。（提示：\(\det(A^T) = (-1)^n \det A\)，当 n 为奇数时 \(\det A = -\det A\)，故 \(\det A = 0\)。）
解释为什么「转置不变」（性质 1）使得后面证明行列式性质时，只需证「行」的情形、「列」的相应性质就自动成立。举一个例子说明（例如：证明「两行互换变号」后，「两列互换变号」直接由性质 1 得出）。
（思考题）设 \(A\) 是 n 阶可逆矩阵，\(\det A = d\)。问 \(\det(A^T)\) 是多少？\(\det((A^T)^{-1})\) 是多少？（提示：\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)，结合 \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\)。）

下一集预告第 12 集 · 行列式性质（二）：两行（列）互换变号（性质 2）；某一行（列）公因子可提出（性质 3）；以及性质（1）的推论（若两行相同则行列式为 0）。继续构建行列式的基本性质体系。