高等代数 · 第 P110 集 · 二十五：Jordan 约当块、约当形矩阵

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◎学习目标

理解幂零变换 \(B\)（\(B^L = 0\) 且 \(B^{L-1} \neq 0\)）的最简矩阵表示问题：找维空间 \(W\) 的一个基，使 \(B\) 在该基下矩阵最简单；
掌握幂零指数 \(L\) 不超过空间维数 \(R\) 这一结论（由线性无关组 \(\{\alpha, B\alpha, \dots, B^{L-1}\alpha\}\) 推出）；
理解Jordan 约当块（Jordan 块）\(J_m(0)\) 的定义：主对角为 0、次对角（主对角上方）为 1、其余为 0 的 \(m \times m\) 方阵；
推广到含 \(\lambda\) 的 Jordan 块 \(J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0)\)；
掌握约当形矩阵（Jordan 形矩阵）：由若干 Jordan 块组成的分块对角矩阵；
理解"约当块自然而然从幂零变换的循环子空间生成"的构造过程。

1回顾：\(W_i\) 上的幂零化记号 \(B_i\) ⏱ 00:00

紧接 P109 的过渡。设 \(A\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换，最小多项式为 \[ m_A(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)^{L_1}(\lambda-\lambda_2)^{L_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s}. \] 把 \(V\) 分解为 \(W_1 \oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_s\)，其中 \(W_i = \ker((A-\lambda_i I)^{L_i})\)。⏱ 00:00

记号简化 · 引入 \(B_i\) 把 \(A\) 在 \(W_i\) 上的限制减去 \(\lambda_i\) 倍恒等变换，记作

B_i = A\big|_{W_i} - \lambda_i I = \left(A - \lambda_i I\right)\big|_{W_i}.

则 \(B_i\) 是 \(W_i\) 上的幂零变换，幂零指数恰为 \(L_i\)，即 \(B_i^{L_i} = 0\) 且 \(B_i^{L_i-1} \neq 0\)。⏱ 01:00

老师提示"为了记号的简化，我就把这个 \(A\) 在 \(W_i\) 的限制减去 \(\lambda_i\) 倍恒等变换，记做 \(B_i\)。这样简单一点，省得老写那么多。"⏱ 01:15

2幂零变换的最简矩阵问题 ⏱ 02:00

因为 \(A\big|_{W_i}\) 的矩阵等于 \(B_i + \lambda_i I\)，而 \(B_i\) 是最简单的幂零矩阵，所以找 \(A\big|_{W_i}\) 的最简矩阵归结为找 \(B_i\) 的最简矩阵（再加上 \(\lambda_i\) 倍单位阵即可）。⏱ 02:15

问题 · 幂零变换的最简矩阵（标准形）设 \(B\) 是 \(F\) 上 \(R\) 维线性空间 \(W\) 上的幂零变换，幂零指数为 \(L\)（即 \(B^L=0\) 且 \(B^{L-1}\neq 0\)）。

\text{求 \(W\) 的一个基，使 \(B\) 在该基下的矩阵具有最简单的形式（称为幂零变换的"标准形"）}

本集的核心任务：找到这个"标准形"，即由 Jordan 块 \(J_m(0)\) 组成的分块对角矩阵。⏱ 03:00

关键思路（丘老师"旅游"比喻） "这一步的关键，我归结为求幂零变换的最简单形式矩阵表示——这可是我们上山之前最重要的景点了。你这个还没上到这样的上过去的，数学的探索，你看它这么探索下来，一环靠一环，跟你看电视连续剧一样的，一环靠一环。"⏱ 04:00

3幂零指数不超过维数 ⏱ 05:00

由幂零指数 \(L\) 的定义（\(B^L=0\) 且 \(B^{L-1}\neq 0\)），存在非零向量 \(\alpha \in W\) 使 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\)（否则 \(B^{L-1}=0\)，矛盾）。由此得到一个关键结论。

命题 · 幂零指数 \(L \le R\) 幂零变换 \(B\) 的幂零指数 \(L\) 一定不超过空间的维数 \(R\)，即 \(L \le R\)。⏱ 06:00

证明思路（构造线性无关组）

取 \(\alpha \in W\) 使 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\)。则向量组 \(\{B^{L-1}\alpha,\ B^{L-2}\alpha,\ \dots,\ B\alpha,\ \alpha\}\) 线性无关（这是丘老师引用的"下第 235 页例 8"结论）：⏱ 07:00

引理（例 8）若幂零变换 \(B\) 满足 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\) 且 \(B^L\alpha = 0\)，则

B^{L-1}\alpha,\ B^{L-2}\alpha,\ \dots,\ B\alpha,\ \alpha

线性无关。⏱ 07:30

这个线性无关组含 \(L\) 个向量。因为 \(W\) 的维数为 \(R\)，故 \(L \le R\)（\(R\) 维空间中线性无关向量数不超过 \(R\)）。证毕。⏱ 08:00

老师提示"这个结论相当重要，直接用了。" ⏱ 08:10

4构造 Jordan 约当块 ⏱ 09:00

取 \(\alpha \in W\) 使 \(B^{L-1}\alpha \neq 0\)。由引理，向量组 \[ \underbrace{B^{L-1}\alpha,\ B^{L-2}\alpha,\ \dots,\ B\alpha,\ \alpha}_{L\ \text{个}} \] 线性无关。它生成的子空间 \(U = \operatorname{span}\{B^{L-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 是 \(B\) 的不变子空间（因为 \(B\) 作用在每个生成元上都仍在子空间内）：⏱ 09:00

Jordan 约当块 \(J_L(0)\) 的出现 \(B\) 在子空间 \(U\) 上取基 \(\{B^{L-1}\alpha,\ B^{L-2}\alpha,\ \dots,\ B\alpha,\ \alpha\}\)（倒序，即"从高次到低次"）下的矩阵为

J_L(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix},

即：主对角为 0，主对角上方（次对角）为 1，其余位置为 0 的 \(L \times L\) 矩阵。这就是"主对角为 0 的 Jordan 约当块" \(J_L(0)\)。⏱ 10:00

矩阵推导（逐列计算）

取基为 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_L\}\)，其中 \(\beta_k = B^{L-k}\alpha\)（即 \(\beta_1 = B^{L-1}\alpha\)，\(\beta_2 = B^{L-2}\alpha\)，\(\dots\)，\(\beta_L = \alpha\)）。

逐列计算 \(B\) 在基向量上的作用：

B\beta_1 = B^{L}\alpha = 0 \quad \text{（第一列全 0）}, \] \[ B\beta_2 = B^{L-1}\alpha = \beta_1 \quad \text{（第二列：第 1 位为 1，其余 0）}, \] \[ B\beta_3 = B^{L-2}\alpha = \beta_2 \quad \text{（第三列：第 2 位为 1，其余 0）}, \] \[ \dots \] \[ B\beta_{L} = B\alpha = \beta_{L-1} \quad \text{（第 }L\text{ 列：第 }L-1\text{ 位为 1，其余 0）}.

把这些列按顺序排，得到的矩阵就是主对角为 0、主对角上方为 1 的 Jordan 块 \(J_L(0)\)。⏱ 11:00

老师提示"它的解释这么的简单，大家很熟悉的：主对角线上都是 0，主对角线的上方全是 1。由此受到启发，我们抽象出一个概念，水到渠成，引出这个名字。"⏱ 11:30

一般 Jordan 块 \(J_m(\lambda)\) 把主对角全部替换为 \(\lambda\)（即加上 \(\lambda I_m\)），得到含 \(\lambda\) 的 Jordan 块：

J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}.

\(J_m(\lambda)\) 是 \(m \times m\) 矩阵，主对角为 \(\lambda\)，主对角上方为 1，其余为 0。⏱ 12:00

5约当形矩阵的定义 ⏱ 13:00

定义 · 约当形矩阵（Jordan 形矩阵）由若干个 Jordan 约当块 \(J_{m_1}(\lambda_1), J_{m_2}(\lambda_2), \dots, J_{m_k}(\lambda_k)\) 组成的分块对角矩阵，称为一个约当形矩阵（Jordan 形矩阵）：

J = \begin{pmatrix} J_{m_1}(\lambda_1) & & \\ & J_{m_2}(\lambda_2) & \\ & & \ddots \\ & & & J_{m_k}(\lambda_k) \end{pmatrix},

其中 \(\lambda_1, \dots, \lambda_k\) 可以相同也可以不同；\(m_1, m_2, \dots, m_k\) 是各块的阶数（大小）。⏱ 13:30

约当块的几种情形

情形 1：\(m=1\)，\(J_1(\lambda) = (\lambda)\) 就是一个 1 阶"对角元"。整个矩阵可写为 \(J_1(\lambda_1) \oplus J_1(\lambda_2) \oplus \cdots \oplus J_1(\lambda_n)\)（即对角矩阵）——对应"可对角化"的情形。⏱ 14:00

情形 2：\(m \ge 2\) 且 \(\lambda = 0\)，即幂零 Jordan 块 \(J_m(0)\)——对应"不可对角化"的幂零部分。⏱ 14:15

情形 3：\(m \ge 2\) 且 \(\lambda \neq 0\)，即 \(J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0)\)——"不可对角化"的含 \(\lambda\) 的 Jordan 块。⏱ 14:30

老师提示"约当形矩阵也出来了，是吧？"——由若干个约当块组成（"该主对角也可以相同，也可以不一样"）的矩阵，称为约当形矩阵。 ⏱ 14:45

本集小结（承上启下）本集建立了"幂零变换 → Jordan 块 \(J_L(0)\) → 含 \(\lambda\) 的 Jordan 块 \(J_m(\lambda)\) → 约当形矩阵"的完整概念链。

幂零变换 \(B\)（幂零指数 \(L\)）在子空间 \(U = \operatorname{span}\{B^{L-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 上的限制矩阵为 \(J_L(0)\)；
\(B_i = A\big|_{W_i} - \lambda_i I\) 是 \(W_i\) 上的幂零变换，在相应基下为 \(J_{m}(0)\)；
\(A\big|_{W_i}\) 的矩阵为 \(\lambda_i I + J_m(0) = J_m(\lambda_i)\)；
整体 \(A\) 在 \(\{W_1, \dots, W_s\}\) 拼接的基下为约当形矩阵 \(\bigoplus_i J_{m_i}(\lambda_i)\)。

⏱ 15:30

★重点回顾

记号 \(B_i\)：\(B_i = (A-\lambda_i I)\big|_{W_i}\)，是 \(W_i\) 上的幂零变换，幂零指数 \(L_i\)（即 \((\lambda-\lambda_i)\) 在 \(m_A\) 中的指数）。

幂零指数 \(L \le\) 维数 \(R\)：由"线性无关组 \(\{B^{L-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\)"（例 8）推出，这是 Jordan 构造的前提。

Jordan 约当块 \(J_m(0)\)：主对角 0、次对角 1、其余 0 的 \(m\times m\) 矩阵。它来自幂零变换 \(B\) 在循环子空间（由 \(\alpha\) 生成）基 \(\{B^{m-1}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\) 下的矩阵。

含 \(\lambda\) 的 Jordan 块 \(J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0)\)：主对角 \(\lambda\)、次对角 1、其余 0。来自 \(A\big|_{W_i} = B_i + \lambda_i I\) 的矩阵结构。

约当形矩阵：由若干 Jordan 块 \(J_{m_j}(\lambda_j)\) 组成的分块对角矩阵。对角元相同/不同均可；块的顺序和大小自由。它是"不可对角化"线性变换的最简矩阵表示。

⚠易错点提醒

常见错误

次对角（"主对角上方"）的 1 写反：\(J_m(0)\) 的 1 在主对角线上方（即 \(a_{k,k+1} = 1\)），不是下方。若把 1 放在主对角下方（\(a_{k+1,k}=1\)），则需把基向量倒序排列。
基向量顺序：构造 \(J_m(0)\) 时，基取为 \(\{B^{m-1}\alpha, B^{m-2}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\)（从 \(B\) 的高次幂到低次幂，即"倒序"）。若取正序 \(\{\alpha, B\alpha, \dots, B^{m-1}\alpha\}\)，则 1 出现在主对角下方，得到的矩阵是"转置"的 Jordan 块。
幂零指数 \(L\) 的"最小性"：\(L\) 是"使 \(B^L=0\) 的最小正整数"。\(B^L=0\) 但 \(B^{L-1}\neq 0\)，两个条件缺一不可。把 \(L\) 误写成"任意满足 \(B^L=0\) 的 \(L\)"会得出错误结论。
Jordan 块的阶数 \(m\) 不必等于幂零指数 \(L\)：幂零变换 \(B\) 的幂零指数 \(L\) 是 \(B^L=0\) 的全局最小指数，但单个 Jordan 块 \(J_m(0)\) 的阶数 \(m\) 可以小于 \(L\)（多个不同大小的 Jordan 块拼在一起，最大块的阶数 = 幂零指数）。
"约当"与"Jordan"的译名：本笔记统一使用 "Jordan"（英文）+ "约当块"（中文音译）。"约当"是 Jordan 的音译，不是人名"乔当"。矩阵叫 "Jordan 形矩阵 / 约当形矩阵"。
分块对角矩阵 vs 对角矩阵：约当形矩阵是"分块对角"，每个块是 \(m\times m\) 的 Jordan 块（非 1 阶）。只有当所有 Jordan 块都是一阶 \(J_1(\lambda_i)\) 时，才退化为普通对角矩阵（即 \(A\) 可对角化）。

✎自测与作业

写出下列矩阵中"主对角为 0、次对角为 1"的 Jordan 约当块（4 阶）\(J_4(0)\)，并验证 \(J_4(0)^4 = 0\) 且 \(J_4(0)^3 \neq 0\)（幂零指数 = 4）。
设 \(J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)，验证 \(J = J_3(2)\) 是一个含 2 的 Jordan 约当块，并求 \((J-2I)^3 = 0\) 且 \((J-2I)^2 \neq 0\)。
设 \(B\) 是 5 维空间上的幂零变换，幂零指数 \(L=3\)。说明 \(B\) 的标准形（Jordan 形矩阵）应包含哪些 Jordan 块？（提示：最大块阶数 = 3，所有块阶数之和 = 5。）
写出 6 阶 Jordan 约当形矩阵 \(J = J_3(1) \oplus J_2(1) \oplus J_1(2)\)（即含两个 1 的 Jordan 块和一个 2 的对角元），并验证其最小多项式 \(m_J(\lambda) = (\lambda-1)^3(\lambda-2)\)。
（思考）为什么"线性无关组 \(\{B^{L-1}\alpha, B^{L-2}\alpha, \dots, B\alpha, \alpha\}\)"中向量个数（\(L\) 个）不超过空间维数 \(R\)？用反证法说明若 \(L > R\) 则与维数矛盾。
（选做）设 \(A\) 的最小多项式为 \(m_A(\lambda) = (\lambda-1)^2(\lambda-2)^3\)，写出 \(A\) 的约当形矩阵中可能的块结构（每个特征值对应的 Jordan 块个数和阶数约束）。

下一集预告第 P111 集 · 二十六：循环子空间——引入"循环向量（cyclic vector）"与"循环子空间 \(C(\alpha) = \operatorname{span}\{\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots\}\)"概念；"强循环子空间"（\(A^L\alpha = 0\) 的情形）与"强循环子空间的直和分解"；幂零变换的 Jordan 标准形定理的证明（用数学归纳法）。