高等代数 · 第 P114 集 · 二十九：幂零矩阵的 Jordan 标准形、一般线性变换的 Jordan 标准形

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◎学习目标

把上一集幂零变换的 Jordan 标准形结论“翻译”到矩阵语言：$r$ 阶幂零矩阵 $B$ 相似于由主对角线全 0 的 Jordan 块组成的分块对角矩阵（即 $B$ 的 Jordan 标准形）；各阶 Jordan 块个数 $N_t$ 满足 $N_t=\operatorname{rank} B^{t-1}+\operatorname{rank} B^{t+1}-2\operatorname{rank} B^{t}$，除去 Jordan 块排列次序外由 $B$ 唯一确定；⏱ 00:15
理解一般线性变换 $A$ 的 Jordan 标准形的讨论前提：$A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等的一次因式的幂的乘积 $m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{L_1}(\lambda-\lambda_2)^{L_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s},$ 其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 两两不等；⏱ 19:00
证明 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 就是 $A$ 的全部不同的特征值（且都在 $F$ 中）；⏱ 20:30
把 $V$ 分解为 $A$ 的不变子空间直和：$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$，其中 $V_i=\ker\bigl(A-\lambda_i I\bigr)^{L_i}$（特征值 $\lambda_i$ 对应的广义特征子空间）；⏱ 21:45
在每个 $V_i$ 上定义“平移变换” $A_i=A-\lambda_i I$（限制在 $V_i$ 上），$A_i$ 是 $V_i$ 上的幂零变换（幂零指数不超过 $L_i$）；由上一集幂零 Jordan 标准形，$A_i$ 在 $V_i$ 上有 Jordan 标准形（0 主对角线的 Jordan 块）；⏱ 22:30
把各 $V_i$ 的 Jordan 标准形“拼起来”再“加回 $\lambda_i$”：$A$ 在 $V$ 中的 Jordan 标准形由若干主对角线为 $\lambda_i$、次对角线为 1 的 Jordan 块组成；Jordan 块总数、各阶块个数由 $A$ 唯一确定，除去 Jordan 块排列次序外 Jordan 标准形唯一。⏱ 23:00

1幂零矩阵的 Jordan 标准形（矩阵版定理） ⏱ 00:15

定理（矩阵版）· 幂零矩阵的 Jordan 标准形设 $B$ 是 $F$ 上的 $r$ 阶幂零矩阵，幂零指数为 $L$，则 $B$ 相似于由若干主对角线全 0 的 Jordan 块组成的分块对角矩阵

J_B=\begin{pmatrix} J_{T_1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{T_m}\end{pmatrix},\quad J_T=\begin{pmatrix}0&1&&\\ &0&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ &&&0\end{pmatrix}_T,\quad T\le L,

称 $J_B$ 为 $B$ 的 Jordan 标准形；各阶 Jordan 块个数 $N_t$ 满足

N_t=\operatorname{rank} B^{t-1}+\operatorname{rank} B^{t+1}-2\,\operatorname{rank} B^{t}\quad(1\le t\le L),\qquad \sum_{t=1}^{L}N_t=r-\operatorname{rank} B,\qquad \text{最大阶}=L.

除去 Jordan 块的排列次序以外，$J_B$ 由 $B$ 唯一确定。

从变换语言到矩阵语言的对应

上一集（P113）已证：幂零线性变换 $B$ 在 $F$ 上 $r$ 维线性空间 $W$ 上存在 Jordan 标准形（0 主对角线 Jordan 块分块对角），且除去排列次序外唯一。现在把 $W$ 换成 $F^r$、把线性变换 $B$ 换成 $r$ 阶矩阵 $B$，两者一一对应（矩阵与线性变换在同一基下的矩阵对应）；“$B$ 在某个基下的矩阵”与“矩阵 $B$”相似（基变换 = 相似变换），故矩阵 $B$ 相似于该 Jordan 标准形。⏱ 02:20

老师念了一遍矩阵版本的定理，指出“跟后面就一样的系数了，我就不写了”——矩阵版本的表述与变换版本完全平行，只是把 $\dim W$ 换成“矩阵的阶数 $r$”、把“线性变换 $B$”换成“矩阵 $B$”、把“$B$ 的像的维数”换成 $\operatorname{rank} B$（矩阵的秩）。⏱ 03:15

承上启下“幂零矩阵说完以后，我们就可以来探讨一般线性变换的标准形”——本集后半部分开始讨论一般情形。

2一般线性变换：最小多项式分解为一次因式幂的乘积 ⏱ 19:00

设定 · 可化为 Jordan 标准形的前提设 $A$ 是 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，其最小多项式 $m_A(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等的一次因式的幂的乘积：

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{L_1}(\lambda-\lambda_2)^{L_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s},

其中 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ 是 $F$ 中两两不等的元素，$L_1,\dots,L_s$ 是正整数。

本集探讨：在此前提下，能否在 $V$ 中找一组基，使线性变换 $A$ 的矩阵具有“最简形式”（即 Jordan 标准形）。老师的思路：“探讨的过程就是我们证明的过程”——先由分解式看出 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 就是 $A$ 的全部特征值，再把 $V$ 分解为 $A$ 的不变子空间直和（各特征值的广义特征子空间），在每个子空间上把 $A-\lambda_i I$ 视为幂零变换、套用上集幂零 Jordan 标准形，最后拼成 $A$ 的 Jordan 标准形。⏱ 19:45

3$\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 是 $A$ 的全部特征值 ⏱ 20:30

命题 · 特征值由最小多项式分解式确定若 $m_A(\lambda)$ 按上节分解，则 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 是线性变换 $A$ 的所有不同的特征值（都在 $F$ 中），且没有其他特征值。

证明思路（两条）

第一句（$\lambda_i$ 是特征值）：$\lambda_i$ 是最小多项式的根，而最小多项式整除特征多项式，故 $\lambda_i$ 也是特征多项式的根，即在 $F$ 中，为 $A$ 的特征值。⏱ 20:50

第二句（无其他特征值）：设 $\mu$ 是 $A$ 的特征值，则 $\mu$ 是特征多项式的根；由 Cayley-Hamilton 定理（或最小多项式的定义），最小多项式整除特征多项式，故 $\mu$ 也是最小多项式 $m_A(\lambda)$ 的根。而 $m_A$ 的根只有 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$，故 $\mu\in\{\lambda_1,\dots,\lambda_s\}$。⏱ 21:10

说明“$A$ 的最小多项式在 $F$ 中的根也一定是特征多项式的根”（老师口述顺序）——严格说，最小多项式的每个根必为特征值（因 $m_A\mid c_A$，特征多项式的根包含最小多项式的根）；反过来特征多项式的根（特征值）也是最小多项式的根（因 $m_A(A)=0$，Cayley-Hamilton 保证特征值满足 $m_A$）。⏱ 21:20

4广义特征子空间的直和分解 ⏱ 21:45

命题 · $V$ 的不变子空间直和分解设 $m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{L_1}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s}$，令

V_i=\ker\bigl(A-\lambda_i I\bigr)^{L_i},\qquad i=1,2,\dots,s

（特征值 $\lambda_i$ 对应的广义特征子空间），则

V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s,

且每个 $V_i$ 都是 $A$ 的不变子空间。

证明要点（老师课堂版）

最小多项式 $m_A$ 是 $A$ 的零化多项式：$m_A(A)=0$（零变换）。把 $m_A$ 分解成两两互素的因式 $g_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_i)^{L_i}$，由“零化多项式的互素分解”定理（老师此前讲过的“线性变换的核的维数公式”相关内容），有

\ker m_A(A) = \ker g_1(A)\oplus\ker g_2(A)\oplus\cdots\oplus\ker g_s(A).

因 $m_A(A)=0$ 对整个空间 $V$ 成立（$V=\ker m_A(A)$），故

V=\ker g_1(A)\oplus\cdots\oplus\ker g_s(A)=\ker\bigl(A-\lambda_1 I\bigr)^{L_1}\oplus\cdots\oplus\ker\bigl(A-\lambda_s I\bigr)^{L_s}.

每个 $V_i=\ker g_i(A)$ 是 $A$ 的不变子空间（因 $A$ 与 $A-\lambda_i I$ 可交换，$A$ 把 $\ker(A-\lambda_i I)^{L_i}$ 映到自身）。⏱ 22:10

老师强调“这个我们叫……”（老师口头命名 $V_1,\dots,V_s$，并指出这些子空间都是 $A$ 的非平凡不变子空间，为下一步“每个子空间上化为幂零”做准备）。

5每个 $V_i$ 上化为幂零变换，再应用幂零 Jordan 标准形 ⏱ 22:30

在每个 $V_i$ 上定义“平移后的变换”$A_i$（老师称“把 $\lambda_i$ 用线性变换 $A$ 带进去，$A$ 减去 $\lambda_i$ 倍单位变换”）：

A_i := \bigl(A-\lambda_i I\bigr)\big|_{V_i}\;:\;V_i\longrightarrow V_i.

由 $V_i=\ker(A-\lambda_i I)^{L_i}$ 的定义，$(A_i)^{L_i}=0$，故 $A_i$ 是 $V_i$ 上的幂零变换（幂零指数不超过 $L_i$）。由 P113 幂零变换的 Jordan 标准形定理：$V_i$ 中存在一组基，使 $A_i$ 在该基下的矩阵为由 0 主对角线 Jordan 块组成的分块对角矩阵；把该基中每个基向量“加回 $\lambda_i$”（即把 Jordan 块主对角线的 0 换成 $\lambda_i$，次对角线仍为 1），即得到 $A$ 在 $V_i$ 上对应的 Jordan 块（主对角线为 $\lambda_i$ 的 Jordan 块）。⏱ 22:50

“减 $\lambda_i$ 再还原”的具体操作

设 $A_i$ 在 $V_i$ 的某组基下为 Jordan 标准形 $J_i$（0 主对角线、次对角线 1 的 Jordan 块分块对角），则 $A\big|_{V_i}=A_i+\lambda_i I$ 在该组基下的矩阵为 $J_i+\lambda_i I$——即每个 Jordan 块的主对角线由 0 加 $\lambda_i$，变成以 $\lambda_i$ 为主对角线、次对角线仍为 1 的 Jordan 块。这就是 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 对应的 Jordan 块。⏱ 23:10

把 $V_1,\dots,V_s$ 各自选出的基合起来，就是 $V$ 的一组基（因 $V$ 是它们的直和）；在这组基下，$A$ 的矩阵为

J_A=\begin{pmatrix} J_{\lambda_1} & & \\ & J_{\lambda_2} & \\ & & \ddots \\ & & & J_{\lambda_s} \end{pmatrix},

其中 $J_{\lambda_i}$ 是由主对角线为 $\lambda_i$、次对角线为 1 的若干 Jordan 块组成的分块对角矩阵。这就是 $A$ 的 Jordan 标准形。

6一般线性变换的 Jordan 标准形（定理） ⏱ 23:00

定理 · 一般线性变换的 Jordan 标准形（前提：最小多项式分解为一次因式幂的乘积）设 $A$ 是 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等一次因式的幂的乘积

m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{L_1}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s}.

则 $V$ 中存在一组基，使 $A$ 在该基下的矩阵为分块对角矩阵

J_A=\operatorname{diag}\bigl(J_{\lambda_1},\,J_{\lambda_2},\,\dots,\,J_{\lambda_s}\bigr),

其中 $J_{\lambda_i}$ 是由若干 Jordan 块

J_{\lambda_i,T}=\begin{pmatrix}\lambda_i&1&&\\ &\lambda_i&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda_i\end{pmatrix}_T,\quad T\le L_i

组成的分块对角矩阵。称 $J_A$ 为 $A$ 的 Jordan 标准形。

唯一性与块数公式（本集收尾部分）

各特征值 $\lambda_i$ 对应的 Jordan 块的总阶数（即 $V_i$ 的维数 $\dim V_i$）由 $A$ 唯一确定；
特征值 $\lambda_i$ 对应的 $T$ 阶 Jordan 块个数可由 $\operatorname{rank}\bigl(A-\lambda_i I\bigr)^{T}$ 的差分公式（上一集幂零情形的 $N_t$ 公式）算出，即把上一集的 $B$ 换成 $A-\lambda_i I$ 即可；
除去 Jordan 块的排列次序以外，$A$ 的 Jordan 标准形由 $A$ 唯一确定。

本集尚未完全展开的部分（预告）

转录文本到此（P114 音频末尾）老师正在口头叙述“一般线性变换的标准形”的框架：前提是最小多项式分解为一次因式的乘积，把 $V$ 分解为 $V_1\oplus\cdots\oplus V_s$，在每个 $V_i$ 上把 $A-\lambda_i I$ 当幂零处理。完整的“每个 $\lambda_i$ 对应的 $T$ 阶 Jordan 块个数公式”与“唯一性定理的严格陈述”在后续课程（P115 及以后）继续给出；本集重点是把幂零情形（上一集）的方法推广到一般情形（分特征值）的框架。⏱ 23:30

★重点回顾

幂零矩阵的 Jordan 标准形：$r$ 阶幂零矩阵 $B$ 相似于 0 主对角线 Jordan 块组成的分块对角矩阵；$N_t=\operatorname{rank} B^{t-1}+\operatorname{rank} B^{t+1}-2\operatorname{rank} B^t$；除去块排列次序外唯一。

一般线性变换可 Jordan 化的前提：最小多项式 $m_A(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等一次因式幂的乘积 $(\lambda-\lambda_1)^{L_1}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{L_s}$。

$\lambda_i$ 是 $A$ 的全部不同特征值：由 $m_A\mid c_A$（最小多项式整除特征多项式）与 $m_A$ 的根即 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 得证。

广义特征子空间直和分解：$V=\ker(A-\lambda_1 I)^{L_1}\oplus\cdots\oplus\ker(A-\lambda_s I)^{L_s}$，每个 $V_i$ 是 $A$ 的不变子空间。

“减 $\lambda_i$ 再还原”技巧：在 $V_i$ 上把 $A-\lambda_i I$ 视为幂零变换，套用幂零 Jordan 标准形（0 主对角线），再“加回 $\lambda_i$”得到 $A$ 在 $V_i$ 上的 Jordan 块（主对角线 $\lambda_i$、次对角线 1）。

Jordan 标准形唯一性：除去 Jordan 块的排列次序外，$A$ 的 Jordan 标准形由 $A$ 唯一确定（各阶、各特征值的 Jordan 块个数由 $A$ 唯一确定）。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆“最小多项式的一次因式”与“特征多项式的一次因式”：可 Jordan 化的前提是最小多项式（而非特征多项式）分解为两两不等一次因式的幂的乘积；特征多项式可能含 $F$ 外的根，但最小多项式若在 $F[\lambda]$ 中按此形式分解，则 Jordan 标准形（在 $F$ 上）存在。
忘记 $V_i$ 是广义特征子空间（不是特征子空间）：$V_i=\ker(A-\lambda_i I)^{L_i}$（$L_i$ 次幂的核），而非 $\ker(A-\lambda_i I)$（特征子空间）。只有 $V_i$ 的直和才覆盖整个 $V$，特征子空间一般不够。
“减 $\lambda_i$”后忘“加回 $\lambda_i$”：在 $V_i$ 上用 $A-\lambda_i I$ 求幂零 Jordan 标准形后，必须把每个 Jordan 块主对角线的 0 换成 $\lambda_i$（次对角线 1 不变），才是 $A$ 的 Jordan 块；漏掉这一步会得到错误的主对角线。
幂零指数 $L_i$ 的确定：$L_i$ 是最小多项式中 $(\lambda-\lambda_i)$ 的幂次（即 $V_i$ 上 $A-\lambda_i I$ 的幂零指数的上界，实际幂零指数可能 \(
把“Jordan 标准形”与“对角化”混淆：对角化是 Jordan 标准形的特例（所有 Jordan 块都是 1 阶）；若某特征值对应的最大 Jordan 块阶数 $>1$，则 $A$ 不可对角化，但仍可 Jordan 化（在最小多项式满足前提时）。
“相似”与“合同”“等价”混淆：本集结论是“$B$（或 $A$）相似于其 Jordan 标准形”（基变换下的矩阵，$P^{-1}BP$ 型）；不是合同（二次型意义下）、也不是矩阵等价（行/列初等变换意义下）。

✎自测与作业

设 $B$ 为 4 阶幂零矩阵，$\operatorname{rank} B=2$，$\operatorname{rank} B^2=1$，$\operatorname{rank} B^3=0$。求 $B$ 的幂零指数 $L$，计算 $N_1,N_2,N_3$，写出 $B$ 的 Jordan 标准形（分块对角，0 主对角线）。
设 $A$ 为 3 阶矩阵，最小多项式 $m_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$，特征值 $1$（代数重数 2）与 $-1$（代数重数 1）。求 $A$ 的 Jordan 标准形（提示：$\lambda=1$ 对应的 $L_1=2$，Jordan 块最大阶 2；$\lambda=-1$ 对应 $L_2=1$，Jordan 块阶 1）。
（概念）解释“最小多项式在 $F[\lambda]$ 中可分解为两两不等一次因式的幂的乘积”为什么是 $A$ 可 Jordan 化的前提。结合本集第 4 节 $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_s$ 直和分解说明：若最小多项式含 $F$ 外因式（或含不可约二次因式），直和分解会在 $F$ 上失败，Jordan 标准形（在 $F$ 上）可能不存在。
（计算）设 $V=\mathbb{R}^4$，$A$ 为线性变换，最小多项式 $m_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-3)$。求：(a) $A$ 的全部特征值；(b) $V$ 的广义特征子空间 $V_2=\ker(A-2I)^2$、$V_3=\ker(A-3I)$ 的维数之和是否为 4；(c) 若 $\dim V_2=3$，$\dim V_3=1$，$\operatorname{rank}(A-2I)=2$，求 $\lambda=2$ 对应的 Jordan 块结构（1 阶与 2 阶块各几个）。
（证明题）证明：若 $V_i=\ker(A-\lambda_i I)^{L_i}$，则 $A(V_i)\subseteq V_i$（即 $V_i$ 是 $A$ 的不变子空间）。提示：利用 $A$ 与 $A-\lambda_i I$ 可交换，说明 $(A-\lambda_i I)^{L_i}A=A(A-\lambda_i I)^{L_i}$。
（思考）本集老师说“探讨的过程就是我们证明的过程”——完整写出从“最小多项式一次因式分解”到“$A$ 的 Jordan 标准形”的证明路线图（不写细节，只写步骤）：(1) 由分解确定特征值；(2) 构造广义特征子空间直和分解；(3) 每个 $V_i$ 上化为幂零；(4) 套幂零 Jordan 标准形；(5) 加回 $\lambda_i$；(6) 拼接成 $A$ 的 Jordan 标准形。

下一集预告第 P115 集 · 三十：线性变换 Jordan 标准形定理的严格陈述与证明（含各特征值对应 Jordan 块个数的计算公式、相似判定），以及“$A$ 相似于 Jordan 标准形”的充要条件讨论；开始涉及“若 $A$ 的最小多项式在 $F$ 上不可分解为一次因式的乘积”时的 Frobenius 标准形（不变量标准形）问题。

第 P114 集 · 二十九：幂零矩阵的 Jordan 标准形、一般线性变换的 Jordan 标准形

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◎学习目标

1幂零矩阵的 Jordan 标准形（矩阵版定理） ⏱ 00:15

2一般线性变换：最小多项式分解为一次因式幂的乘积 ⏱ 19:00

3\(\lambda_1,\dots,\lambda_s\) 是 \(A\) 的全部特征值 ⏱ 20:30

4广义特征子空间的直和分解 ⏱ 21:45

5每个 \(V_i\) 上化为幂零变换，再应用幂零 Jordan 标准形 ⏱ 22:30

6一般线性变换的 Jordan 标准形（定理） ⏱ 23:00

★重点回顾

⚠易错点提醒

✎自测与作业