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◎学习目标
- 熟记对偶基特征：\(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\)，并掌握两个基本公式——公式①（向量坐标 = 对应位置的对偶基函数值）与公式②（线性函数在对偶基下的系数 = 其在 \(V\) 基向量的函数值）；
- 理解公式①的推导：\(\alpha=\sum_i x_i\alpha_i\)，两边取 \(\varphi_j\) 上的函数值，由 \(\varphi_j(\alpha_i)=\delta_{ij}\) 得 \(x_j=\varphi_j(\alpha)\)；
- 理解公式②的推导：\(\varphi=\sum_j k_j\varphi_j\)，两边取在 \(\alpha_i\) 上的函数值，由对偶性得 \(k_i=\varphi(\alpha_i)\)；
- 掌握核心定理：对偶基的过渡矩阵是原基过渡矩阵的逆的转置，即 \(B=(A^{-1})^{T}\)；
- 能独立完成基变换下对偶基坐标的推导，并理解坐标变换公式与矩阵转置的关系。
1公式①：向量坐标 = 对应位置的对偶基函数值 ⏱ 01:57
设 \(V\) 是 \(n\) 维 \(F\) 上线性空间，\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基，\(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 是其对偶基（\(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\)）。对任意向量 \(\alpha=\sum_{i=1}^{n} x_i\alpha_i\in V\)：
公式①（坐标公式）
\(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下第 \(j\) 个坐标 \(x_j\)，等于对偶基中第 \(j\) 个函数 \(\varphi_j\) 在 \(\alpha\) 上的函数值：
\[ x_j = \varphi_j(\alpha). \]
即
\[ \alpha = \sum_{i=1}^{n} \varphi_i(\alpha)\,\alpha_i. \]
⏱ 02:20
推导过程（丘老师课堂完整叙述）
考虑 \(\varphi_j(\alpha)\)。由于 \(\varphi_j\) 是线性函数（保持加法与数量乘法），
\[ \varphi_j(\alpha)=\varphi_j\Bigl(\sum_{i=1}^{n} x_i\alpha_i\Bigr)=\sum_{i=1}^{n} x_i\,\varphi_j(\alpha_i). \]
由对偶基性质 \(\varphi_j(\alpha_i)=\delta_{ji}\)，当 \(i\neq j\) 时该项为 0，只有 \(i=j\) 时 \(\varphi_j(\alpha_j)=1\)，故
\[ \varphi_j(\alpha)=x_j\cdot 1 = x_j. \]
得证。这个结果“很有意思”（丘老师原话）：坐标完全可以用对偶基上的函数值来读出。⏱ 03:40
2公式②：线性函数系数 = 其对偶基基向量上的函数值 ⏱ 05:09
设 \(\varphi\in V^*\) 是任意线性函数，把它表示为对偶基的线性组合 \(\varphi=\sum_{j=1}^{n} k_j\varphi_j\)。求系数 \(k_j\)。
公式②（系数公式）
\(\varphi\) 在对偶基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 下第 \(j\) 个系数 \(k_j\)，等于 \(\varphi\) 在原来 \(V\) 基的第 \(j\) 个向量 \(\alpha_j\) 上的函数值：
\[ k_j = \varphi(\alpha_j). \]
即
\[ \varphi = \sum_{j=1}^{n} \varphi(\alpha_j)\,\varphi_j. \]
⏱ 05:30
推导过程
考虑 \(\varphi(\alpha_i)\)（\(i\) 固定）。两边取在 \(\alpha_i\) 上的函数值（函数相等则其在 \(\alpha_i\) 上的值相等）：
\[ \varphi(\alpha_i) = \Bigl(\sum_{j=1}^{n} k_j\varphi_j\Bigr)(\alpha_i) = \sum_{j=1}^{n} k_j\,\varphi_j(\alpha_i) = \sum_{j=1}^{n} k_j\,\delta_{ji} = k_i. \]
把 \(i\) 改记为 \(j\)（指标重命名），即 \(k_j=\varphi(\alpha_j)\)。⏱ 07:40
两个公式对称对照
给定 \(V\) 的基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 与 \(V^*\) 的对偶基 \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\)，有以下两条对偶结论：
\[ \text{①}\ \alpha=\sum_{i=1}^{n}\varphi_i(\alpha)\,\alpha_i
\qquad\qquad
\text{②}\ \varphi=\sum_{i=1}^{n}\varphi(\alpha_i)\,\varphi_i \]
公式①：“向量的坐标 = 对偶基函数值”；公式②：“线性函数在对偶基下的系数 = 该函数在 \(V\) 基向量上的函数值”。⏱ 08:40
3过渡矩阵问题设定 ⏱ 10:05
设 \(V\) 是 \(F\) 上 \(n\) 维线性空间，取两组基：
| 对象 | 记号 | 说明 |
|---|---|---|
| \(V\) 的旧基 | \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) | 原基 |
| \(V\) 的新基 | \(\beta_1,\dots,\beta_n\) | 新基 |
| \(V^*\) 的旧基（对偶基） | \(\varphi_1,\dots,\varphi_n\) | \(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\) |
| \(V^*\) 的新基（对偶基） | \(g_1,\dots,g_n\) | \(g_i(\beta_j)=\delta_{ij}\) |
| 基变换过渡矩阵（旧→新） | \(A=(a_{ij})\) | \((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)，\(A\) 可逆 |
| 对偶基过渡矩阵（旧→新） | \(B=(b_{ij})\) | \((g_1,\dots,g_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)B\)，待求 \(B\) 与 \(A\) 的关系 |
问题：由旧基到新基的过渡矩阵是 \(A\)，那么对应的对偶基由旧对偶基到新对偶基的过渡矩阵 \(B\) 与 \(A\) 有什么关系？⏱ 11:50
4主定理推导：\(B=(A^{-1})^{T}\) ⏱ 13:10
定理 · 对偶基的过渡矩阵关系
设 \(V\) 是 \(n\) 维 \(F\) 上线性空间，基由 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 换成 \((\beta_1,\dots,\beta_n)\)，过渡矩阵为 \(A\)（\((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)）；对应的对偶基由 \((\varphi_1,\dots,\varphi_n)\) 换成 \((g_1,\dots,g_n)\)，过渡矩阵为 \(B\)（\((g_1,\dots,g_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)B\)）。则
\[ B = (A^{-1})^{T}. \]
即对偶基的过渡矩阵等于原基过渡矩阵的逆矩阵的转置。⏱ 13:30
证明第一步：写出 \(A^{-1}\) 的元素，得到 \(\alpha_k\) 的 \(\beta\) 基坐标
设 \(A^{-1}=(c_{ij})\)，即
\[ A^{-1}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}. \]
由 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(\beta_1,\dots,\beta_n)A^{-1}\)，得（\(k\) 固定）
\[ \alpha_k = \sum_{i=1}^{n} c_{ik}\,\beta_i. \]
即 \(\alpha_k\) 在 \(\beta\) 基下第 \(i\) 个坐标是 \(c_{ik}\)。⏱ 14:20
证明第二步：用公式①把 \(c_{ik}\) 表达为 \(g_i(\alpha_k)\)
把 \(\alpha_k\) 看作公式①中“\(V\) 中任一向量 \(\alpha\)”的特例：\(\alpha_k=\sum_{i=1}^{n} c_{ik}\,\beta_i\)，其第 \(i\) 个坐标 \(c_{ik}\) 等于对偶基中 \(g_i\) 在 \(\alpha_k\) 上的函数值（注意这里是 \(\beta\) 基的对偶基 \(g_1,\dots,g_n\)）：
\[ c_{ik} = g_i(\alpha_k),\qquad i,k=1,\dots,n. \]
（坐标唯一，故 \(c_{ik}\) 与 \(g_i(\alpha_k)\) 相等。）⏱ 16:25
证明第三步：用公式②把 \(b_{ji}\) 表达为 \(g_j(\alpha_i)\)
把 \(g_j\) 写成对偶基旧基 \((\varphi_1,\dots,\varphi_n)\) 的组合（由定义 \((g_1,\dots,g_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)B\)，\(g_j\) 的第 \(i\) 个系数是 \(b_{ij}\)）：
\[ g_j = \sum_{i=1}^{n} b_{ij}\,\varphi_i. \]
由公式②：\(g_j\) 在 \(\varphi\) 基下第 \(i\) 个系数 \(b_{ij}\)，等于 \(g_j\) 在 \(\alpha_i\)（旧 \(V\) 基的第 \(i\) 个向量，即 \(g_j\) 对应的旧对偶基的“原基”向量）上的函数值：
\[ b_{ij} = g_j(\alpha_i),\qquad i,j=1,\dots,n. \]
（指标改名：把上式的 \(j\) 改 \(i\)，\(i\) 改 \(j\)，得 \(b_{ji}=g_i(\alpha_j)\)，但保留原写法更清晰。）⏱ 18:30
证明第四步：对比两式，得出结论
第二步得 \(c_{ik}=g_i(\alpha_k)\)；第三步得 \(b_{kj}=g_k(\alpha_j)\)（把 \(b_{ij}=g_j(\alpha_i)\) 中的指标 \((i,j)\) 改为 \((k,j)\)，并注意到 \(c_{ik}=g_i(\alpha_k)\) 与 \(b_{kj}=g_k(\alpha_j)\) 其实是同一个量（把 \(i\leftrightarrow k\) 互换即可）。⏱ 20:05
严格表述：由第三步，\(b_{kj}=g_k(\alpha_j)\)。由第二步（把 \(i\) 换成 \(k\)，\(k\) 换成 \(j\)），\(c_{kj}=g_k(\alpha_j)\)。故
\[ b_{kj} = c_{kj} = (A^{-1})_{jk}. \]
即 \(b_{kj}\)（\(B\) 的第 \(k\) 行第 \(j\) 列元素）= \(A^{-1}\) 的第 \(j\) 行第 \(k\) 列元素 = \(A^{-1}\) 的转置的第 \(k\) 行第 \(j\) 列元素。所以
\[ B = (A^{-1})^{T}. \]
证毕。⏱ 21:40
老师提示“要记这个 \(B\)，比我书上写的更清晰一点……这个推出来，比那个语言来叙述，语言有个反应过程，这个表述非常清晰的。”丘老师当场表示此版本优于教材原表述。⏱ 22:15
坐标变换公式（推论）
向量 \(\alpha\) 在旧基 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 下的坐标行向量 \((x_1,\dots,x_n)\) 与在新基 \((\beta_1,\dots,\beta_n)\) 下的坐标行向量 \((y_1,\dots,y_n)\) 之间，由 \((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)，得
\[ \begin{pmatrix}y_1 & \cdots & y_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix} A. \]
而对偶基函数值（即坐标）也满足相应转置关系，体现 \(B=(A^{-1})^{T}\) 的内在一致性。⏱ 23:00
★重点回顾
1
公式①：\(\alpha=\sum_{i=1}^{n}\varphi_i(\alpha)\alpha_i\)，向量的坐标 = 对偶基函数值。证明：两边取 \(\varphi_j\) 上的值，利用 \(\varphi_j(\alpha_i)=\delta_{ij}\)。
2
公式②：\(\varphi=\sum_{i=1}^{n}\varphi(\alpha_i)\varphi_i\)，线性函数在对偶基下的系数 = 该函数在 \(V\) 基向量上的值。证明：两边取在 \(\alpha_i\) 上的值。
3
主定理：基 \(\alpha\to\beta\) 的过渡矩阵为 \(A\)，对应其对偶基 \(\varphi\to g\) 的过渡矩阵为 \(B=(A^{-1})^{T}\)。推导关键是“\(c_{ik}=g_i(\alpha_k)\)（公式①）”与“\(b_{ij}=g_j(\alpha_i)\)（公式②）”对比。
4
记住：过渡矩阵 \(A\) 一定可逆；\(A^{-1}\) 的元素 \(c_{ik}\) 是 \(\alpha_k\) 在 \(\beta\) 基下第 \(i\) 个坐标。
5
丘老师强调：此推导比教材语言叙述更清晰，考试与做题按本笔记版本掌握。
⚠易错点提醒
常见错误
- 公式①用的是“新对偶基”还是“旧对偶基”？：向量 \(\alpha=\sum_i x_i\alpha_i\) 在旧基下的坐标 \(x_i=\varphi_i(\alpha)\)，\(\varphi_i\) 是旧基 \(\alpha\) 对应的旧对偶基；若向量表成新基 \(\beta\)，则坐标 = \(g_i(\alpha)\)（\(g\) 是 \(\beta\) 的新对偶基）。推导 \(B\) 时务必区分哪个基对应的对偶基。
- \(b_{kj}\) 与 \(c_{kj}\) 的指标对应：\(b_{kj}=g_k(\alpha_j)\)（\(g\) 的第 \(k\) 个函数在 \(\alpha\) 的第 \(j\) 个向量上的值），\(c_{kj}=(A^{-1})_{jk}=g_k(\alpha_j)\)。两者相等是因为 \(c_{kj}\) 恰好就是 \(A^{-1}\) 的 \((j,k)\) 位置，而 \((A^{-1})^{T}\) 的 \((k,j)\) 位置也正好是 \((A^{-1})_{jk}\)。指标错位是最常见的错误。
- “逆的转置”≠“转置的逆”写反：\(B=(A^{-1})^{T}\)，也可写作 \(B=(A^{T})^{-1}\)（转置与逆可交换）。千万不要写成 \(B=A^{T}\) 或 \(B=(A^{T})\)。
- 坐标是行向量还是列向量：本笔记用行向量记法（坐标行 \(\times\) 过渡矩阵 = 新坐标行）。若用列向量记法，公式变为 \(\mathbf{y}=A^{T}\mathbf{x}\) 或相应转置形式，要统一。
- 0 函数取值：公式②推导中，两边取在 \(\alpha_i\) 上的值，等号右边“0 函数在 \(\alpha_i\) 上的值”是 \(F\) 中的 0，与 \(V\) 中 0 向量无关。
✎自测与作业
- 设 \(V=\mathbb{R}^2\)，旧基 \(\alpha_1=(1,0),\alpha_2=(1,1)\)，求旧对偶基 \(\varphi_1,\varphi_2\)；再令新基 \(\beta_1=\alpha_2,\beta_2=\alpha_1+\alpha_2\)，写出过渡矩阵 \(A\)，求 \(B=(A^{-1})^{T}\)，并验证 \(g_i(\beta_j)=\delta_{ij}\)。
- 验证公式①：取 \(V=\mathbb{R}^3\)，\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(1,1,1)\)，对偶基为 \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\)。对 \(\alpha=(2,3,5)\)，分别直接计算其坐标与用 \(\varphi_i(\alpha)\) 验证一致性。
- 设 \(\varphi\in V^*\)，\(\varphi=\sum_{i=1}^{n}\varphi(\alpha_i)\varphi_i\)（公式②）。若 \(n=3\)，\(\varphi(\alpha_1)=1,\varphi(\alpha_2)=-2,\varphi(\alpha_3)=4\)，写出 \(\varphi\) 在对偶基下的表达式。
- （证明）设基变换 \((\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)A\)，对偶基变换 \((g_1,\dots,g_n)=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)B\)。证明 \(B=(A^{-1})^{T}\)，完整写出本集 s4 折叠中的四步推导。
- （思考）为什么对偶基的过渡矩阵涉及“逆的转置”而非“转置”？从 \(g_i(\beta_j)=\delta_{ij}\) 与 \(\varphi_i(\alpha_j)=\delta_{ij}\) 的关系出发，用坐标变换角度给出直观解释。
下一集预告
第 P120 集 · 三十五：双重对偶空间、自然同构、互为对偶空间。引入 \(V^{**}\)（\(V^*\) 的对偶空间），定义自然同构 \(V\to V^{**}\)（\(\alpha\mapsto\alpha^{**}\)），证明 \(\alpha^{**}(\varphi)=\varphi(\alpha)\) 不依赖基的选择，从而 \(V\) 与 \(V^{**}\) 自然同构，进而 \(V\) 与 \(V^*\) 互为对偶空间。