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◎学习目标
- 理解在一般线性空间中引入度量概念的动机：几何空间中向量的长度、两向量的夹角、垂直等度量性质，都源自内积；而内积在数学抽象上正是线性空间上的双线性函数；
- 掌握双线性函数（bilinear form）的定义：映射 \(F: V\times V \to F\)，对每个变量都保持加法与数量乘法（即对每个变量都是线性的）；
- 理解固定第一个变量 \(\alpha\) 可得到一族线性函数 \(\alpha_L:V\to F\)，固定第二个变量 \(\beta\) 可得到另一族线性函数 \(\beta_R:V\to F\)，即双线性函数能"批量生产"线性函数；
- 掌握双线性函数在给定基下的表达式：\(F(\alpha,\beta)=\sum_{i,z}x_i y_z F(\alpha_i,\alpha_z)=X^{\top} A Y\)；
- 理解度量矩阵（Gram 矩阵）的定义：由双线性函数在基向量的有序对上的函数值唯一确定的 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，其元素 \(a_{iz}=F(\alpha_i,\alpha_z)\)。
1从几何空间到度量：为什么要双线性函数 ⏱ 02:07
丘老师回顾：第六章讲了线性映射（包括线性变换、线性函数）的全部内容，包括矩阵表示、特征值、不变子空间、有理标准形等。⏱ 00:25 现在要进入第七章——双线性函数，这是为线性空间引进度量概念的第一步。
动机
几何空间中的向量不仅有加法、数量乘法两种运算，还有长度（模）与夹角等度量概念。而线性空间本身只有加法与数量乘法两种运算，没有度量。为了引入度量，丘老师从几何空间中两个向量的内积入手：
\[ \alpha\cdot\beta = |\alpha|\,|\beta|\cos\theta_{\alpha\beta}, \]
其中 \(\theta_{\alpha\beta}\) 是 \(\alpha,\beta\) 的夹角。有了内积后，长度和夹角反而可以由内积计算得出，因此"定义内积"是引入度量的关键一步。
丘老师分析了几何内积的两条关键性质：⏱ 03:30
- 对称性：\(\alpha\cdot\beta = \beta\cdot\alpha\)；
- 双线性性：对第一个变量线性（保持加法与数量乘法），由对称性可知对第二个变量也线性。
因此，"抽象化"的下一步就是先研究双线性函数这一概念本身；下下周再研究如何在实数域上的线性空间中引入内积。⏱ 04:30
2双线性函数的定义 ⏱ 05:25
定义 · 双线性函数（bilinear form）
设 \(V\) 是域 \(F\) 上的线性空间，\(F:V\times V\to F\) 是 \(V\) 的有序向量对（笛卡尔积 \(V\times V\)）到 \(F\) 的映射。若对一切 \(\alpha_1,\alpha_2,\beta\in V\) 与一切 \(k_1,k_2\in F\) 有
\[ F(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2,\;\beta) = k_1 F(\alpha_1,\beta)+k_2 F(\alpha_2,\beta), \]
且对一切 \(\alpha,\beta_1,\beta_2\in V\) 与一切 \(l_1,l_2\in F\) 有
\[ F(\alpha,\;l_1\beta_1+l_2\beta_2) = l_1 F(\alpha,\beta_1)+l_2 F(\alpha,\beta_2), \]
则称 \(F\) 为 \(V\) 上的一个双线性函数（双线性型，bilinear form）。
术语要点
条件 1 表示 \(F\) 在第一个位置上是线性的；条件 2 表示 \(F\) 在第二个位置上也是线性的。二者合起来即"双线性"。
对称 / 斜对称双线性函数：
- 对称双线性函数：若 \(F(\alpha,\beta)=F(\beta,\alpha)\) 对一切 \(\alpha,\beta\in V\) 成立；
- 斜对称（交替）双线性函数：若 \(F(\alpha,\beta)=-F(\beta,\alpha)\) 对一切 \(\alpha,\beta\in V\) 成立（特别地，\(F(\alpha,\alpha)=0\)）。
老师提示
丘老师强调"对每个变量都保持加法、保持数量乘法"就是"线性"的定义本身，这正是上一章线性映射的核心思想在两个变量情形下的推广。⏱ 04:20
3固定一个变量：得到两族线性函数 ⏱ 08:58
双线性函数最重要的性质是：它"批量生产"线性函数。具体而言，⏱ 09:15
命题 1 · 固定第一个变量
固定 \(\alpha\in V\)，定义映射
\[ \alpha_L:V\to F,\quad \alpha_L(\beta)=F(\alpha,\beta). \]
由 \(F\) 在第二个位置上的线性性，\(\alpha_L\) 对 \(\beta\) 保持加法与数量乘法，故 \(\alpha_L\) 是 \(V\) 上的一个线性函数（即 \(\alpha_L\in V^*\)）。
命题 2 · 固定第二个变量
固定 \(\beta\in V\)，定义映射
\[ \beta_R:V\to F,\quad \beta_R(\alpha)=F(\alpha,\beta). \]
由 \(F\) 在第一个位置上的线性性，\(\beta_R\) 是 \(V\) 上的一个线性函数（即 \(\beta_R\in V^*\)）。
于是，给了一个双线性函数 \(F\)，就自动得到两个方向的线性函数族：\(\{\alpha_L\mid\alpha\in V\}\) 与 \(\{\beta_R\mid\beta\in V\}\)。这正是丘老师说的"双线性函数远远不断地提供线性函数"。⏱ 11:30
命名说明
\(L\) 取自英文 left（左），指给定向量放在左边；\(R\) 取自英文 right（右），指给定向量放在右边。这是丘老师特别强调的记忆法。⏱ 11:26
4双线性函数的表达式 ⏱ 12:42
设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，\(\mathcal{G}=\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基。设
\[ \alpha = x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n,\quad
\beta = y_1\alpha_1+y_2\alpha_2+\cdots+y_n\alpha_n, \]
其中 \(X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^{\top}\)、\(Y=(y_1,y_2,\dots,y_n)^{\top}\) 分别是 \(\alpha,\beta\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标列向量。由双线性性（对两个位置都线性），⏱ 15:20
命题 · 双线性函数的表达式
\[ F(\alpha,\beta) = \sum_{z=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\, y_z\, F(\alpha_i,\alpha_z). \]
只要知道 \(F\) 在基向量有序对 \((\alpha_i,\alpha_z)\) 上的函数值，就能通过坐标求出 \(F\) 在任意向量对上的函数值。
利用矩阵语言可把上式写成简洁形式。令
\[ A = \bigl(F(\alpha_i,\alpha_z)\bigr)_{i,z} =
\begin{pmatrix}
F(\alpha_1,\alpha_1) & \cdots & F(\alpha_1,\alpha_n)\\
\vdots & & \vdots\\
F(\alpha_n,\alpha_1) & \cdots & F(\alpha_n,\alpha_n)
\end{pmatrix}, \]
则
\[ F(\alpha,\beta) = X^{\top} A Y. \]
本集强调的方法
丘老师特意用"矩阵分块乘法"的视角来推导：把双重求和 \( \sum_z \sum_i x_i\, y_z\, F(\alpha_i,\alpha_z)\) 中固定 \(i\)，令 \(z\) 求和为 \(X\) 的行向量与一组列向量的点积；再对 \(i\) 求和即 \(X^{\top} A Y\)。他强调"这就是为了训练矩阵运算能力"，与教材上的方法略有不同。⏱ 18:20
5度量矩阵（Gram 矩阵） ⏱ 22:11
定义 · 度量矩阵 / Gram 矩阵
设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，\(\mathcal{G}=\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基。由双线性函数 \(F\) 与基 \(\mathcal{G}\) 唯一确定的矩阵
\[ A = \bigl(a_{iz}\bigr),\quad a_{iz}=F(\alpha_i,\alpha_z), \]
称为 \(F\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵（metric matrix），也即该基下的 Gram 矩阵。
由上一节的表达式 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\) 可知，同一双线性函数在不同基下的度量矩阵一般不同，但它们之间存在确定的合同关系（下节讲）。⏱ 23:29
术语来源
"度量矩阵"之名的由来：几何空间的内积正是"度量"概念的核心抽象。丘老师说"下个星期再讲为什么叫度量矩阵"，即度量矩阵与度量（长度、夹角、垂直）之间的桥梁会在后续集数中展开。⏱ 23:30
对称 / 斜对称与矩阵形式
若双线性函数 \(F\) 对称，则其度量矩阵 \(A\) 对称（\(A=A^{\top}\)）；若 \(F\) 斜对称，则 \(A\) 斜对称（\(A=-A^{\top}\)），且对角元 \(a_{ii}=F(\alpha_i,\alpha_i)=0\)。
★重点回顾
1
双线性函数 \(F:V\times V\to F\)：对第一个变量线性（保持加法与数量乘法），对第二个变量也线性。这是"对每个变量都线性"的推广。
2
固定一个变量得线性函数族：\(\alpha_L(\beta)=F(\alpha,\beta)\in V^*\)；\(\beta_R(\alpha)=F(\alpha,\beta)\in V^*\)。双线性函数自动"批量"产生线性函数。
3
表达式：在基 \(\mathcal{G}\) 下，\(F(\alpha,\beta)=\sum_{i,z} x_i y_z F(\alpha_i,\alpha_z)=X^{\top}AY\)，其中 \(A=(F(\alpha_i,\alpha_z))\)。
4
度量矩阵（Gram 矩阵） \(A\)：由 \(F\) 与基 \(\mathcal{G}\) 唯一确定；元素 \(a_{iz}=F(\alpha_i,\alpha_z)\)。对称 / 斜对称双线性函数对应对称 / 斜对称矩阵。
5
从几何到抽象：几何内积的对称性 + 双线性性，是"在一般线性空间引进度量"的抽象起点；双线性函数是引进度量概念的第一步，内积是第二步（下周讲）。
⚠易错点提醒
常见错误
- "线性"必须对两个位置都成立：只满足对第一个位置线性（即仿射的"半线性"）而第二个位置非线性，不是双线性函数；两个条件缺一不可。
- 固定变量的线性函数族记号方向：\(\alpha_L\) 是固定第一个（左）变量，把第二个（右）变量当作输入；\(\beta_R\) 是固定第二个（右）变量，把第一个（左）变量当作输入。不要弄反 \(L/R\) 的含义。
- 度量矩阵元素的排列顺序：\(a_{iz}=F(\alpha_i,\alpha_z)\)——行下标 \(i\) 对应第一个位置的基向量，列下标 \(z\) 对应第二个位置的基向量。若写反了（\(a_{zi}=F(\alpha_i,\alpha_z)\)）就改变了矩阵本身；对对称双线性函数这不影响，但一般情形下会出错。
- 表达式中坐标的"行 / 列"关系：\(X\) 是 \(\alpha\) 的坐标列向量，\(Y\) 是 \(\beta\) 的坐标列向量，则公式为 \(X^{\top}AY\)；\(X\) 要转置成行向量才能与 \(n\times n\) 矩阵相乘。不要写成 \(XAY\)（维度不符）。
- 对称 \(\neq\) 双线性：一个双线性函数可以对称，也可以斜对称，也可以既不对称也不斜对称（斜对称在特征 2 的域上尤其要注意，此时对称 = 斜对称）。不要把"对称"当作双线性函数的必要条件。
✎自测与作业
- 设 \(V=\mathbb{R}^3\)，定义 \(F(\alpha,\beta)=\alpha_1\beta_1-2\alpha_2\beta_2+3\alpha_3\beta_3\)。验证 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，并判断它是否对称、是否斜对称。给出其在标准基下的度量矩阵。
- 设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^2\)，基为 \(\alpha_1=(1,0),\alpha_2=(0,1)\)，双线性函数在基向量有序对上的值为：\(F(\alpha_1,\alpha_1)=1,\; F(\alpha_1,\alpha_2)=2,\; F(\alpha_2,\alpha_1)=3,\; F(\alpha_2,\alpha_2)=4\)。写出 \(F\) 在该基下的度量矩阵 \(A\)，并计算 \(F(2\alpha_1+\alpha_2,\;\alpha_1+3\alpha_2)\)。
- （概念辨析）设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，固定 \(\alpha\in V\)，定义 \(\alpha_L(\beta)=F(\alpha,\beta)\)。证明 \(\alpha_L\) 是 \(V\) 上的线性函数，并说明 \(\{\alpha_L\mid\alpha\in V\}\) 所张成的子空间是 \(V^*\) 的什么子空间？（提示：它是 \(V^*\) 的整个空间本身——由 \(F\) 的非退化性决定，非退化在下节讨论。）
- （思考）几何空间的内积 \(\alpha\cdot\beta\) 满足哪两条性质使其成为双线性函数？若把内积换成 \(F(\alpha,\beta)=|\alpha|\,|\beta|\sin\theta\)（正弦代替余弦），\(F\) 还是双线性函数吗？为什么？
- （选做）设 \(A\) 是一个对称矩阵。证明由 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\) 定义的双线性函数 \(F\) 必对称（即 \(F(\alpha,\beta)=F(\beta,\alpha)\)）；若 \(A\) 是斜对称矩阵（\(A^{\top}=-A\)，对角元全 0），证明 \(F\) 是斜对称双线性函数。
下一集预告
第 P122 集 · 双线性函数（二）：度量矩阵的合同关系。给定两个基下的度量矩阵 \(A\)、\(B\)，若过渡矩阵为 \(C\)，则 \(B=C^{\top}AC\)——这就是矩阵的合同关系；合同矩阵有相同的秩。