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◎学习目标
- 掌握互构定理：给定 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，可唯一构造 \(V\) 上的双线性函数 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\)，其在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵恰为 \(A\)；反之，给定双线性函数 \(F\)，其在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵 \(A\) 唯一确定 \(F\) 在该基下的表达式。
- 推导并掌握度量矩阵在不同基下的变换公式：若 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{H}\) 的过渡矩阵为 \(C\)（\(C\) 可逆），则
\[ B = C^{\top} A C. \]
- 理解合同关系的定义：\(A,B\) 合同 \(\iff\) 存在可逆矩阵 \(C\) 使得 \(B=C^{\top}AC\)；合同是一种等价关系。
- 证明并记忆合同矩阵的秩相等：若 \(A\sim B\)（合同），则 \(\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B\)。
- 对比合同与相似：相似的矩阵是 \(B=C^{-1}AC\)（左 \(C^{-1}\) 右 \(C\)）；合同的矩阵是 \(B=C^{\top}AC\)（左 \(C^{\top}\) 右 \(C\)），"左边"可逆矩阵的角色从 \(C^{-1}\) 换成了 \(C^{\top}\)。
1互构定理：矩阵与双线性函数的一一对应 ⏱ 01:17
本集开头回顾了 P121 的表达式：\(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\)，其中 \(A\) 是 \(F\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵。⏱ 00:13 接下来丘老师给出了"反向"结论——
定理 · 矩阵到双线性函数的互构
设 \(A\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，给定 \(V\) 的基 \(\mathcal{G}=\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。定义映射
\[ F:V\times V\to F,\quad F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY, \]
其中 \(X,Y\) 分别是 \(\alpha,\beta\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标列向量。则 \(F\) 是 \(V\) 上的一个双线性函数，且 \(F\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵恰为 \(A\)。
证明：验证双线性性（关键步骤）
对第一个位置线性：设 \(\alpha_1+\alpha_2\) 对应的坐标为 \(X_1+X_2\)，则
\[ F(\alpha_1+\alpha_2,\;\beta) = (X_1+X_2)^{\top}AY = X_1^{\top}AY + X_2^{\top}AY = F(\alpha_1,\beta)+F(\alpha_2,\beta). \]
数量乘法同理（\(kX\) 的转置为 \(kX^{\top}\)）。矩阵乘法满足右分配律，这是保持加法的根源。⏱ 02:14
对第二个位置线性：完全类似，利用矩阵乘法的左分配律。故 \(F\) 是双线性函数。⏱ 02:33
度量矩阵恰为 \(A\)：度量矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为
\[ F(\alpha_i,\alpha_j) = e_i^{\top} A e_j = a_{ij}, \]
其中 \(e_i\) 是第 \(i\) 个单位列向量（\(\alpha_i\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标）。因此度量矩阵正好是 \(A\)，对一切 \(i,j\) 成立。⏱ 03:48
互构总结
"给了双线性函数 \(F\)，有度量矩阵 \(A\)；给了矩阵 \(A\)，总能构造一个双线性函数 \(F\)，其在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵恰为 \(A\)。"丘老师强调这个结论"我经常用到"——它把矩阵理论与双线性函数理论双向打通。⏱ 06:42
2度量矩阵在不同基下的变换公式 ⏱ 06:53
设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，\(\mathcal{G}=\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(\mathcal{H}=\beta_1,\dots,\beta_n\) 是 \(V\) 的两组基。由 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathcal{H}\) 的过渡矩阵为 \(C\)（\(C\) 可逆，因为基变换矩阵必可逆），\(F\) 在 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵为 \(A\)，在 \(\mathcal{H}\) 下的度量矩阵为 \(B\)。则⏱ 07:10
定理 · 度量矩阵的基变换公式
\[ B = C^{\top} A C. \]
即：同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。
证明（丘老师用的方法：矩阵分块乘法）
由基变换关系，\(\beta_j\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标列向量为 \(C\) 的第 \(j\) 列，记为 \(C_j\)。即
\[ \beta_1,\dots,\beta_n = \alpha_1,\dots,\alpha_n \cdot C, \]
其中 \(C = \begin{pmatrix} C_1 & \cdots & C_n \end{pmatrix}\)。
于是 \(\beta_i\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标为 \(C_i\)。代入双线性函数表达式 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\)（其中 \(X,Y\) 是基 \(\mathcal{G}\) 下的坐标），⏱ 12:00
\[ F(\beta_i,\beta_j) = C_i^{\top} A\, C_j. \]
将 \(i\) 作为行指标、\(j\) 作为列指标组成矩阵：
\[ B = \bigl(C_i^{\top} A\, C_j\bigr)_{i,j}. \]
把 \(C\) 的列向量视为"分块"，由矩阵分块乘法：
\[ B = \begin{pmatrix} C_1^{\top}\\ \vdots\\ C_n^{\top} \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} C_1 & \cdots & C_n \end{pmatrix}
= C^{\top} A\, C. \]
这里 \(C_i\) 是 \(C\) 的第 \(i\) 列，\(C_i^{\top}\) 是其转置（行向量）；左边"所有行块"即 \(C^{\top}\)，右边"所有列块"即 \(C\)。矩阵分块乘法在此恰好成立。⏱ 17:30
老师提示"我就是要通过这个证明来训练你们的矩阵分块乘法能力。教材上用的方法不同，我特意换一种方法，练矩阵分块乘法。"丘老师在本集反复强调矩阵分块乘法的训练。⏱ 14:38
结论（本集最重要）
同一个双线性函数 \(F\)，在 \(V\) 的两个不同基下的度量矩阵是合同的。这与"同一线性变换在不同基下矩阵相似"形成精确对照（见下节）。⏱ 20:03
3合同关系的定义 ⏱ 17:54
定义 · 矩阵的合同关系
设 \(A,B\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵。若存在 \(F\) 上的 \(n\) 阶可逆矩阵 \(C\)，使得
\[ B = C^{\top} A C, \]
则称 \(A\) 与 \(B\) 是合同的（congruent），记作 \(A \sim_{c} B\)（丘老师记作"1 万加一横"的变体，即类似"∼"下加一横，表示合同；与相似"∼"区分）。
合同关系具有等价关系的三条性质：⏱ 18:24
- 反身性：取 \(C=I\)（单位矩阵），\(A=I^{\top}AI=A\)；
- 对称性：若 \(B=C^{\top}AC\)，则 \(A=(C^{\top})^{-1} B\, C^{-1} = (C^{-1})^{\top} B\, C^{-1}\)（取 \(C' = C^{-1}\)）；
- 传递性：若 \(B=C_1^{\top}AC_1\) 且 \(D=C_2^{\top}BC_2\)，则 \(D = (C_1C_2)^{\top} A\, (C_1C_2)\)。
记号说明
丘老师在黑板上画的合同记号"1 万加一横"（即"∼"下加一横），与相似记号"∼"（"1 万"）相区别。相似 = 下加一横之前；合同 = 再加一横。本集采用 \(A\sim_c B\) 或 \(A\sim_h B\) 等记法，请以教材为准。⏱ 18:46
4合同的性质：保持秩 ⏱ 20:33
命题 · 合同矩阵的秩相等
若 \(A,B\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵，且 \(A\) 与 \(B\) 合同（即 \(B=C^{\top}AC\)，\(C\) 可逆），则
\[ \operatorname{rank} B = \operatorname{rank} A. \]
证明
因为 \(B = C^{\top}AC\)，且 \(C\) 可逆，所以 \(C\) 和 \(C^{\top}\) 都是可逆矩阵（可逆矩阵的转置仍可逆）。⏱ 21:20
可逆矩阵左乘或右乘一个矩阵不改变其秩（这是秩的基本性质：初等变换不改变秩；可逆矩阵 = 有限次初等变换的复合）。因此
\[ \operatorname{rank} B = \operatorname{rank}(C^{\top} A C) = \operatorname{rank} A. \]
证毕。⏱ 21:42
推论 · 双线性函数的"矩阵秩"与基无关
设 \(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数。由上两节：
- 不同基下的度量矩阵合同；
- 合同矩阵秩相等；
丘老师特别说明"矩阵秩"与"双线性函数真正的秩"（相应线性函数子空间的维数，即"零化子空间"的维数）的区别留到后续讲；此处"矩阵秩"是暂用的称呼，以后学维分几何时再展开。⏱ 22:30
5合同与相似的类比对照 ⏱ 20:03
丘老师在本集明确将合同与相似做对照，这是理解"基变换与度量矩阵"的核心框架：
| 对象 | 变换 | 公式 | "左边"的矩阵 | "右边"的矩阵 |
|---|---|---|---|---|
| 线性变换在不同基下的矩阵（相似） | 基变换矩阵 \(C\)（可逆） | \(B = C^{-1} A C\) | \(C^{-1}\)（逆矩阵） | \(C\)（原矩阵） |
| 双线性函数在不同基下的度量矩阵（合同） | 基变换矩阵 \(C\)（可逆） | \(B = C^{\top} A C\) | \(C^{\top}\)（转置） | \(C\)（原矩阵） |
为什么是 \(C^{\top}\) 而非 \(C^{-1}\)？
本质原因：双线性函数表达式 \(F(\alpha,\beta)=X^{\top}AY\) 中，\(X\) 是列向量，\(X^{\top}\) 是行向量；基变换时坐标变为 \(X' = CX\)（新坐标 = 过渡矩阵 \(\times\) 旧坐标），于是
\[ F(\alpha,\beta) = (X')^{\top} A' Y' = (CX)^{\top} A' (CY) = X^{\top}(C^{\top}A'C)Y. \]
与 \(X^{\top}AY\) 比较得 \(A' = C^{\top}A'C\)。"转置"出现的原因在于行向量 \(X^{\top}\) 在基变换下变为 \((CX)^{\top}=X^{\top}C^{\top}\)。这是合同与相似在形式上的根本区别。⏱ 21:00
注意
"相似"保持特征值、行列式、迹、秩等；"合同"保持秩，但不保持特征值、行列式等。例如 \(A\) 与 \(C^{\top}AC\) 的行列式满足 \(\det(C^{\top}AC) = (\det C)^2\det A\)，而相似矩阵的行列式 \(\det(C^{-1}AC)=\det A\)。这是合同与相似在不变量上的关键差异。
★重点回顾
1
互构定理：\(n\) 阶矩阵 \(A\) \(\longleftrightarrow\) 以 \(A\) 为度量矩阵的双线性函数 \(F\)（在固定基 \(\mathcal{G}\) 下），一一对应。给了矩阵总能构造双线性函数，反之亦然。
2
基变换公式：若过渡矩阵为 \(C\)，则 \(B = C^{\top}AC\)。矩阵分块乘法是推导的核心工具（丘老师特意用此法训练分块乘法）。
3
合同关系：\(B=C^{\top}AC\)，\(C\) 可逆。合同是等价关系（反身、对称、传递）。
4
合同保持秩：\(\operatorname{rank} B = \operatorname{rank} A\)。由此，双线性函数的"矩阵秩"（度量矩阵的秩）与基无关，是双线性函数自身的不变量。
5
合同 vs 相似：相似 \(B=C^{-1}AC\)（左逆右原），合同 \(B=C^{\top}AC\)（左转右原）。线性变换对应相似，双线性函数对应合同——这是两条平行的理论线。
⚠易错点提醒
常见错误
- 过渡矩阵 \(C\) 必可逆：基变换矩阵 \(C\) 是可逆矩阵，这是合同关系定义中 \(C\) 可逆的根源。若误用不可逆矩阵，"合同"就退化为一般"等价"而非合同。
- \(B=C^{\top}AC\) 中 \(C\) 的"角色"：左边是 \(C^{\top}\)（转置），右边是 \(C\)（原矩阵），不能写成 \(C\,A\,C\) 或 \(C^{-1}AC\)。这是与相似公式的根本区别，写反就错了。
- "合同"与"相似"不等价：合同矩阵未必相似，相似矩阵未必合同。二者是两种不同的等价关系，各自保持不同的不变量（合同保秩；相似保特征值、迹、行列式等）。
- "矩阵秩"不是"双线性函数的秩"：丘老师明确说"矩阵秩"是暂用名（\(\operatorname{rank}_M(F)\)），真正的双线性函数秩是相应线性函数子空间的维数，二者关系后续才揭示。不要混淆。
- 互构定理中"给矩阵 \(A\) 构造双线性函数 \(F\) 后，\(F\) 在基 \(\mathcal{G}\) 下的度量矩阵恰为 \(A\)"：注意"恰为 \(A\)"的证明需要验证 \(F(\alpha_i,\alpha_j)=a_{ij}\)，即代入单位坐标向量 \(e_i,e_j\)，得 \(e_i^{\top}Ae_j=a_{ij}\)。
✎自测与作业
- 设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)。计算 \(C^{\top}AC\)，并验证 \(\operatorname{rank}(C^{\top}AC)=\operatorname{rank}A=2\)。
- 设 \(B=C^{-1}AC\)，\(C=\begin{pmatrix}1&2\\1&-1\end{pmatrix}\)，\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)。计算 \(B\) 并求 \(\det B\)，再计算 \(C^{\top}AC\) 并求其行列式，体会"相似保行列式、合同不保行列式"（合同行列式 \(\times (\det C)^2\)）。
- （证明）若 \(A\) 与 \(B\) 合同（\(B=C^{\top}AC\)，\(C\) 可逆），证明 \(A\) 与 \(B\) 有相同的行列式值的平方因子关系：\(\det B = (\det C)^2\det A\)。并由此说明：若 \(A\) 可逆，则 \(B\) 也可逆；若 \(A\) 不可逆，则 \(B\) 也不可逆。
- （思考）设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，\(F\) 是 \(V\) 上的双线性函数，\(\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2\) 是两组基，过渡矩阵为 \(C\)。若 \(F\) 在 \(\mathcal{G}_1\) 下的度量矩阵为 \(A\)，求 \(F\) 在 \(\mathcal{G}_2\) 下的度量矩阵。并说明为什么"矩阵秩"与基无关。
- （选做）对比证明：线性变换 \(T\) 在不同基下的矩阵满足 \(B=C^{-1}AC\)（相似）；双线性函数 \(F\) 在不同基下的度量矩阵满足 \(B=C^{\top}AC\)（合同）。从"坐标变换"角度解释：为什么一个是 \(C^{-1}\)，一个是 \(C^{\top}\)？（提示：行向量 \(X^{\top}\) 在基变换下的行为是关键。）
下一集预告
第 P123 集 · 双线性函数（三）：双线性函数的矩阵秩、左根、右根、非退化。引入"矩阵秩"的不变性、"左根 / 右根"（radical）的定义、非退化双线性函数的充要条件（度量矩阵满秩）。