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◎学习目标
- 理解同一个线性空间上可以定义不同的内积，以及标准内积是默认约定的；
- 掌握向量长度（范数）的定义：\(\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)，并理解其基本性质；
- 理解单位向量的概念，掌握单位化方法；
- 证明并熟练运用柯西-布涅科夫斯基不等式（Cauchy-Buniakowsky-Schwarz）：\(|(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|\cdot\|\beta\|\)；
- 利用柯西不等式定义向量夹角：\(\angle(\alpha,\beta)=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}\)。'
1实内积空间上的不同内积 ⏱ 00:00
给定一个 \(n\) 维实线性空间 \(V\)，只要一个函数 \(\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R}\) 满足以下三条公理，就可以称为一个内积：
- 对称性：\((\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)\)；
- 双线性：对每个变元都是线性的；
- 正定性：\((\alpha,\alpha)\geq 0\)，且 \((\alpha,\alpha)=0\iff\alpha=0\)。
因此，同一个线性空间上可以有不同的内积——只需取不同的正定对称矩阵 \(A\)，就可以通过 \((\alpha,\beta)_A=\alpha^TA\beta\) 定义新的内积。⏱ 00:08
关键理解
实内积空间 \(V\) 一旦被确定，其上的内积是唯一指定的（"实内积空间只能是指定一个内积"）。如果我们换一个内积，就得到另一个实内积空间。⏱ 01:52
2标准内积 ⏱ 00:46
定义 · 标准内积
在 \(\mathbb{R}^n\) 中，对任意 \(\alpha=(a_1,\dots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,\dots,b_n)^T\)，标准内积定义为：
\[ (\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\alpha^T\beta. \]
即对应分量乘积之和。这等价于取 \(A=I_n\)（单位矩阵）时的内积。⏱ 01:06
约定
在实内积空间中，如果没有特别指明，内积都指标准内积。除非另外声明，否则我们总是默认使用标准内积。⏱ 01:12
3向量的长度（范数）⏱ 01:29
定义 · 向量的长度
设 \(V\) 是实内积空间，\(\alpha\in V\)，定义 \(\alpha\) 的长度（或范数）为：
\[ \|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}. \]
由于内积的正定性，\((\alpha,\alpha)\geq 0\)，因此算术平方根有意义。⏱ 01:43
命题 · 长度的基本性质
对任意 \(k\in\mathbb{R}\)，\(\alpha\in V\)，有：
\[ \|k\alpha\|=|k|\,\|\alpha\|. \]
证明：\(\|k\alpha\|=\sqrt{(k\alpha,k\alpha)}=\sqrt{k^2(\alpha,\alpha)}=|k|\sqrt{(\alpha,\alpha)}=|k|\|\alpha\|\)。⏱ 02:08
记号说明
有些书上用两条竖线 \(\|\alpha\|\) 表示长度，也有用两条竖线加下标的记号。本课程统一使用 \(\|\alpha\|\)。⏱ 02:46
4单位向量与单位化 ⏱ 02:41
定义 · 单位向量
若 \(\alpha\) 的长度等于 1，即 \(\|\alpha\|=1\)，则称 \(\alpha\) 为单位向量。⏱ 02:49
单位化方法
对任意非零向量 \(\alpha\)，向量
\[ \frac{\alpha}{\|\alpha\|} \]
是单位向量（长度为 1），这个过程称为把 \(\alpha\)单位化。⏱ 03:08
由于 \(\alpha\neq 0\Rightarrow\|\alpha\|>0\)，因此 \(\frac{1}{\|\alpha\|}\) 总有意义。⏱ 03:01
5柯西-布涅科夫斯基不等式 ⏱ 04:59
定理 · 柯西-布涅科夫斯基不等式
设 \(V\) 是实内积空间，\(\alpha,\beta\in V\)，则：
\[ |(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|\cdot\|\beta\|. \]
等号成立当且仅当 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 线性相关。⏱ 06:55
证明（分线性相关与线性无关两种情况）
情况一：\(\alpha,\beta\) 线性相关。
若其中一个是零向量，例如 \(\alpha=0\)，则左边 \((\alpha,\beta)=0\)，右边 \(\|\alpha\|\|\beta\|=0\)，等号成立。⏱ 04:21
若 \(\alpha\neq 0\) 且线性相关，则存在 \(k\in\mathbb{R}\) 使得 \(\beta=k\alpha\)。于是：
\[ |(\alpha,\beta)|=|(\alpha,k\alpha)|=|k|\|\alpha\|^2,\quad \|\alpha\|\|\beta\|=\|\alpha\|\cdot|k|\|\alpha\|=|k|\|\alpha\|^2. \]
左右相等，等号成立。⏱ 06:11
情况二：\(\alpha,\beta\) 线性无关。
此时 \(\alpha\neq 0,\beta\neq 0\)。考虑对任意实数 \(t\)：
\[ \|t\alpha-\beta\|^2=(t\alpha-\beta,t\alpha-\beta)=t^2\|\alpha\|^2-2t(\alpha,\beta)+\|\beta\|^2>0. \]
这是关于 \(t\) 的二次三项式，对一切 \(t\in\mathbb{R}\) 恒大于 0，故其判别式小于 0：⏱ 07:41
\[ \Delta=4(\alpha,\beta)^2-4\|\alpha\|^2\|\beta\|^2<0\implies(\alpha,\beta)^2<\|\alpha\|^2\|\beta\|^2. \]
两边开方得 \(|(\alpha,\beta)|<\|\alpha\|\|\beta\|\)，严格不等号成立。⏱ 09:11
历史注记
此不等式由柯西（Cauchy）、布涅科夫斯基（Buniakowsky）、施瓦兹（Schwarz）三位数学家各自独立证明，故完整命名为柯西-布涅科夫斯基-施瓦兹不等式。⏱ 05:24
6向量夹角的定义 ⏱ 06:16
有了柯西不等式，我们就可以在一般实内积空间中定义夹角了。
定义 · 向量夹角
设 \(\alpha,\beta\) 是实内积空间 \(V\) 中的两个非零向量，定义 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的夹角为：
\[ \angle(\alpha,\beta)=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}. \]
由于柯西不等式保证 \(\left|\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}\right|\leq 1\)，反余弦有意义，且夹角取值范围是 \([0,\pi]\)。⏱ 08:12
特殊情况：正交
当 \(\angle(\alpha,\beta)=\frac{\pi}{2}\) 时，即 \(\cos\angle(\alpha,\beta)=0\)，也即 \((\alpha,\beta)=0\)。
这时我们说 \(\alpha\) 与 \(\beta\)正交（perpendicular），记作 \(\alpha\perp\beta\)。⏱ 08:36
这时我们说 \(\alpha\) 与 \(\beta\)正交（perpendicular），记作 \(\alpha\perp\beta\)。⏱ 08:36
正交的性质
由内积的对称性，\((\alpha,\beta)=0\iff(\beta,\alpha)=0\)，因此正交关系是相互的。⏱ 00:48
★重点回顾
1
标准内积：\(\mathbb{R}^n\) 上的标准内积为 \((\alpha,\beta)=\sum a_ib_i\)，没有特别说明时都指此内积。
2
长度定义：\(\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}\)，满足齐次性 \(\|k\alpha\|=|k|\|\alpha\|\)。
3
单位向量：长度为 1 的向量。非零向量 \(\alpha\) 单位化后为 \(\frac{\alpha}{\|\alpha\|}\)。
4
柯西-布涅科夫斯基不等式：\(|(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|\|\beta\|\)，等号当且仅当 \(\alpha,\beta\) 线性相关时成立。
5
夹角：\(\angle(\alpha,\beta)=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}\in[0,\pi]\)。\(\alpha\perp\beta\iff(\alpha,\beta)=0\)。
⚠易错点提醒
常见错误
- 混淆内积的不同定义：\(\mathbb{R}^n\) 上可以定义无数种内积（对应不同正定矩阵 \(A\)），标准内积只是其中最简单的一种。
- 忘记柯西不等式是定义夹角的先决条件：必须先证明 \(|(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|\|\beta\|\)，才能保证反余弦的自变量在 \([-1,1]\) 范围内。
- 夹角定义只对非零向量有意义：零向量与任何向量的夹角没有定义。
- 等号成立条件：柯西不等式等号成立 \(\iff\alpha,\beta\) 线性相关（包括其中一个是零向量的情形）。
- "正交"与"垂直"：在一般实内积空间中，\((\alpha,\beta)=0\) 我们称为"正交"；在 \(\mathbb{R}^3\) 的标准内积下，正交等价于几何中的"垂直"。
✎自测与作业
- 验证：在 \(\mathbb{R}^2\) 上，\(\alpha=(1,2)^T\)，\(\beta=(3,4)^T\)，计算 \((\alpha,\beta)\)、\(\|\alpha\|\)、\(\|\beta\|\)，并验证柯西不等式成立。
- 计算 \(\alpha=(1,0,0)^T\)，\(\beta=(1,1,0)^T\) 的夹角（用反余弦表示）。
- 证明：若 \(\alpha\neq 0\)，则 \(\frac{\alpha}{\|\alpha\|}\) 是单位向量。
- （思考）在 \(\mathbb{R}^2\) 上定义内积 \((\alpha,\beta)_A=\alpha^TA\beta\)，其中 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)。验证这是一个合法的内积（正定对称），并计算 \(\alpha=(1,0)^T\) 在此内积下的长度。
- （思考）在 \(\mathbb{R}^2\) 上，标准内积下 \(\alpha=(1,0)^T\)，\(\beta=(0,1)^T\) 正交。但在新内积 \((\cdot,\cdot)_A\) 下，它们还正交吗？
- （选做）证明柯西不等式等号成立的充分性：若 \(|(\alpha,\beta)|=\|\alpha\|\|\beta\|\)，则 \(\alpha,\beta\) 线性相关。
下一集预告
第 P128 集 · 三：正交、距离、实内积空间结构、标准正交基、欧几里得空间。重点：距离的三角不等式、勾股定理、正交基与标准正交基、欧几里得空间的概念。