第 P13 集 · 六：行列式性质4、5、6、7

定义中的负一指数 \(t\) 可以写成 \(t = t_i + t_j\) 的形式（行指标逆序数 + 列指标逆序数）。由于 \(t_i, t_j\) 的交换会互换 \(i, j\) 两个指标，对应项的符号会随之改变，但整体求和不变，所以可把负一提出或换序而不影响结果。⏱ 02:08

这正是后面证明"两行互换反号"时用的关键技巧：提出负一后，把列排列换成逆序，求和对象不变。

\(C\) 的第一行是 \(A\) 的第一行（\(a_{11}, \dots, a_{1n}\)），第 \(k\) 行是 \(A\) 的第二行（\(a_{21}, \dots, a_{2n}\)），其余行照抄 \(A\) 的第 1 行、第 2 行、\(\dots\)、第 \(k\) 行、\(\dots\)、第 \(n\) 行。

按定义写 \(\det C\) 时，列排列仍取 \((j_1, j_2, \dots, j_n)\)： \[ \det C = \sum_{\text{所有 } n \text{ 元排列}} (-1)^{t_i + t_j}\, a_{1j_1}\, a_{2j_k}\, a_{j_3}\cdots a_{j_n}\, a_{k j_2}\, a_{n j_n}. \] 与 \(\det A\) 唯一的不同在于：行指标排列中第 2 个位置是 \(k\)，第 \(k\) 个位置是 \(2\)。把 \((-1)^{t_i+t_j}\) 中的负号提出（\(t_i\) 换成行指标逆序），求和对象不变，但 \(C\) 的负一指数与 \(A\) 相差一个奇偶性差（把 2 和 \(k\) 交换位置，逆序数差 1 的倍数），所以整体反号。⏱ 02:22

注意：证明里"求和对象不变"这一观察依赖第 1 节讲过的 \(n\) 元排列求和符号约定。

把左边行列式的第 2 行与第 \(k\) 行互换，由性质 5 反号，但互换后行列式与原式完全相同（因为两行相等），于是： \[ D = -D \quad\Longrightarrow\quad 2D = 0 \quad\Longrightarrow\quad D = 0. \] ⏱ 06:55

关键观察：\(2D = 0\) 中 \(D\) 是一个确定的数，两边除以 2 即得 \(D = 0\)（域中 2 可逆）。

\(D\) 的第 \(k\) 行是"两组数的和"：第 \(k\) 行原来元素 \((a_{k1}, \dots, a_{kn})\) 加上第 2 行 \(l\) 倍 \((l a_{21}, \dots, l a_{2n})\)。由行可拆分性，把 \(D\) 拆成两个行列式：

第二个行列式中第 2 行与第 \(k\) 行成比例（\(l\) 倍），由性质 6 其值为 0。第一个行列式正好是 \(\det A\)。于是 \[ \det D = \det A + 0 = \det A. \] ⏱ 11:17

第一步：把所有列加到第一列。

每一行恰好有 1 个 \(k\) 和 \(n-1\) 个 \(\lambda\)，行和都是 \(k + (n-1)\lambda\)。用性质 7 把第 2 列、第 3 列、\(\dots\)、第 \(n\) 列全加到第 1 列，第一列每个元素都变成 \(k+(n-1)\lambda\)，其他列照抄。⏱ 17:15

第二步：提出第一列公因数 \(k+(n-1)\lambda\)（性质 4）。

第三步：把第一行的负 1 倍加到第 2、3、\(\dots\)、\(n\) 行（性质 7）。

第一行不动（1, \(\lambda, \dots, \lambda\)）；第 \(i\) 行变成 \((0,\, k-\lambda,\, \lambda-\lambda, \dots, \lambda-\lambda)\) 形式——只有第二列位置非零（\(k-\lambda\)），其余列全为 0，对角位置为 \(k-\lambda\)，最后第 \(n\) 列也是 \(k-\lambda\)。⏱ 18:42

主对角线下方全为 0，已是上三角形行列式，对角线元素为 \(1, (k-\lambda), (k-\lambda), \dots, (k-\lambda)\)。

第四步：上三角形行列式 = 对角线元素之积。

对 \(a_{11}\) 的两项：\(+a_{11} a_{22} a_{33}\)（与主对角线平行）与 \(-a_{11} a_{23} a_{32}\)（与反对角线平行）。把 \(a_{11}\) 提出后，剩余两个元素 \(a_{22}, a_{23}, a_{32}, a_{33}\) 正好组成二阶行列式 \[ \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}. \]

对 \(a_{12}\) 的两项：\(+a_{12} a_{23} a_{31}\)（与主对角线平行）与 \(-a_{12} a_{21} a_{33}\)（与反对角线平行），提出 \(a_{12}\) 后剩余 \[ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \] ，注意正负号：由于 \(a_{12}\) 是第 1 行第 2 列，\(i+j = 3\)（奇数），前面自然带负号。

对 \(a_{13}\) 的两项：\(+a_{13} a_{21} a_{32}\) 与 \(-a_{13} a_{22} a_{31}\)，剩余 \[ \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \] ，\(i+j = 4\)（偶数）带正号。

观察：6 项正好分成 3 组，每组 = 第一行某元素 \(\times\) 一个二阶行列式。这正是"按第一行展开"的雏形。⏱ 22:55