高等代数 · 课程学习笔记

第 P134 集 · 九：正交变换与正交矩阵

Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P134 / 151 集 核心概念：等价命题 · 正交矩阵 · 标准正交基 · 行列式 ±1
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◎学习目标

  1. 理解有限维实内积空间上正交变换定义的简化：只需保持内积不变，满射和线性均可推导；
  2. 掌握三个等价命题（命题 A、B、C），它们从不同角度刻画正交变换；
  3. 理解正交矩阵的定义（\(A^{T}A=I\)），并掌握正交矩阵的行列式必为 \(1\) 或 \(-1\)；
  4. 理解正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，反之亦然。

1有限维情形：满射条件自动成立 ⏱ 00:00

回顾 P133 中，正交变换的定义要求两个条件：① 满射；② 保持内积。但在有限维实内积空间（即 \(\mathbb{R}^n\) 型空间）中，情况大大简化：

推论 · 有限维情形的简化 设 \(V\) 是有限维实内积空间（\(\dim V=n<\infty\)），\(\mathscr{A}:V\to V\) 是变换。若 \(\mathscr{A}\) 保持内积（即对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，\(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\)），则 \(\mathscr{A}\) 必为 \(V\) 上的正交变换。

换言之，在有限维情形下，只需验证"保持内积"这一条，满射、线性、单射都自动成立，无需额外假设。

为什么？推导链条

第一步（保持内积 → 线性）：由 P133 定理，保持内积即可推出 \(\mathscr{A}\) 是线性变换（证明只用了内积保持，不需要满射）。⏱ 02:00

第二步（线性 + 保持内积 → 单射）：设 \(\mathscr{A}\alpha=0\)，则 \(\|\mathscr{A}\alpha\|=0\)，由长度保持性得 \(\|\alpha\|=0\)，故 \(\alpha=0\)。因此 \(\ker\mathscr{A}=\{0\}\)，\(\mathscr{A}\) 为单射。⏱ 03:30

第三步（有限维单射 → 满射）：在有限维线性空间中，线性变换单射等价于满射（秩-零化度定理：\(\dim\ker\mathscr{A}+\dim\operatorname{im}\mathscr{A}=\dim V\)，\(\ker\mathscr{A}=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{im}\mathscr{A}=n\Rightarrow\operatorname{im}\mathscr{A}=V\)）。⏱ 05:30

综合三步：保持内积 → 线性 → 单射 →（有限维）满射 → 正交变换。证毕。

重要这一简化只适用于有限维空间！无限维情形下必须明确要求满射。
结论 对 \(\mathbb{R}^n\)（或任意有限维实内积空间）上的变换 \(\mathscr{A}\)，
\[ \mathscr{A}\text{ 是正交变换} \iff \forall\,\alpha,\beta\in V,\;\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle. \]

2三个等价命题（刻画正交变换） ⏱ 15:30

在 \(V=\mathbb{R}^n\)（\(n\) 维实内积空间）上，以下三个命题等价：

命题 A \(\mathscr{A}\) 是 \(V\) 上的正交变换（即双射 + 保持内积）。 命题 B \(\mathscr{A}\) 把 \(V\) 的任意一个标准正交基映成标准正交基。 命题 C \(\mathscr{A}\) 在 \(V\) 的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵（即满足 \(A^{T}A=I\) 的方阵 \(A\)）。

三个命题等价，即 \(\text{A}\iff\text{B}\iff\text{C}\)，它们从变换角度、基的角度、矩阵角度三种方式刻画了同一个概念。

3命题间的推导关系 ⏱ 16:00

按 A→B→C→A 的顺序推导：

A → B：正交变换把标准正交基映为标准正交基

设 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 是 \(V\) 的一个标准正交基，即 \(\langle\varepsilon_i,\varepsilon_j\rangle=\delta_{ij}\)。因为 \(\mathscr{A}\) 保持内积：

\[ \langle\mathscr{A}\varepsilon_i,\mathscr{A}\varepsilon_j\rangle = \langle\varepsilon_i,\varepsilon_j\rangle = \delta_{ij}. \]
所以 \(\mathscr{A}\varepsilon_1,\dots,\mathscr{A}\varepsilon_n\) 也是一组两两正交、长度为 1 的向量，即为标准正交基。⏱ 16:30

（还需要说明它们是基：因 \(\mathscr{A}\) 可逆，它把线性无关组映为线性无关组，而 \(n\) 个线性无关向量在 \(n\) 维空间中构成基。）

B → C：把标准正交基映为标准正交基 ⇒ 矩阵是正交矩阵

设 \(\mathcal{E}=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\) 是 \(V\) 的一个标准正交基，\(\mathscr{A}\) 在 \(\mathcal{E}\) 下的矩阵为 \(A\)，即

\[ (\mathscr{A}\varepsilon_1,\dots,\mathscr{A}\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\,A. \]

由命题 B，\(\mathscr{A}\varepsilon_1,\dots,\mathscr{A}\varepsilon_n\) 也是标准正交基。于是 \(\mathcal{E}\) 到 \((\mathscr{A}\varepsilon_1,\dots,\mathscr{A}\varepsilon_n)\) 的过渡矩阵 \(A\)，是两个标准正交基之间的过渡矩阵。由已知结论（P130 引理），两个标准正交基之间的过渡矩阵必为正交矩阵，即 \(A^{T}A=I\)。⏱ 19:00

注意：这里用的是"过渡矩阵"观点——\(\mathcal{E}\) 和 \(\mathscr{A}\mathcal{E}\) 都是标准正交基，其过渡矩阵 \(A\) 满足 \(A^{T}A=I\)。

C → A：矩阵为正交矩阵 ⇒ 变换是正交变换（核心证明）

设 \(\mathscr{A}\) 在某个标准正交基 \(\mathcal{E}\) 下的矩阵为 \(A\)，且 \(A^{T}A=I\)。要证 \(\mathscr{A}\) 是正交变换，即证对一切 \(\alpha,\beta\in V\)，\(\langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\)。⏱ 21:00

设 \(\alpha\) 在 \(\mathcal{E}\) 下的坐标列向量为 \(X\)，\(\beta\) 的坐标列向量为 \(Y\)。由内积的矩阵表示（在标准正交基下）：

\[ \langle\alpha,\beta\rangle = X^{T}Y. \]

\(\mathscr{A}\alpha\) 和 \(\mathscr{A}\beta\) 在同一基 \(\mathcal{E}\) 下的坐标分别为 \(AX\) 和 \(AY\)，因此

\[ \langle\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta\rangle = (AX)^{T}(AY) = X^{T}A^{T}A\,Y = X^{T}IY = X^{T}Y = \langle\alpha,\beta\rangle. \]

关键一步用了 \(A^{T}A=I\)（\(A\) 是正交矩阵）。由此 \(\mathscr{A}\) 保持内积，再由有限维简化推论，\(\mathscr{A}\) 是正交变换。⏱ 23:00 证毕。

方法要点此证明的核心是利用标准正交基下内积的坐标表示 \(\langle\alpha,\beta\rangle=X^{T}Y\)，将几何问题转化为矩阵运算，简洁而有力。
总结：三条等价刻画
\[ \boxed{\text{A（正交变换）}\iff\text{B（保标准正交基）}\iff\text{C（标准正交基下表为正交矩阵）}} \]
这三条等价条件是理解正交变换最核心的工具。⏱ 25:00

4正交变换的行列式 ⏱ 26:00

由命题 C，正交变换在标准正交基下的矩阵 \(A\) 满足 \(A^{T}A=I\)，两边取行列式：

\[ \det(A^{T}A)=\det(I)\implies(\det A)^2=1\implies\det A=\pm 1. \]

由于不同基下的矩阵相似，行列式不变，因此正交变换本身的行列式（定义为它在任一标准正交基下矩阵的行列式）也只有两种可能：⏱ 27:00

推论 设 \(\mathscr{A}\) 是 \(n\) 维实内积空间 \(V\) 上的正交变换，则
\[ \det\mathscr{A}\in\{1,\,-1\}. \]
定义正交矩阵满足 \(A^{T}A=I\) 的实方阵 \(A\) 称为正交矩阵。正交矩阵的行列式必为 \(1\) 或 \(-1\)；其逆矩阵等于转置矩阵：\(A^{-1}=A^{T}\)。

★重点回顾

1
有限维简化：在 \(\mathbb{R}^n\) 上，只需验证"保持内积"，正交变换的全部性质自动成立。
2
三个等价命题：A（正交变换）↔ B（保标准正交基）↔ C（标准正交基下表为正交矩阵）。C→A 的证明是核心技巧（坐标表示 + 正交矩阵定义）。
3
正交矩阵：\(A^{T}A=I\iff A^{-1}=A^{T}\)；\(\det A=\pm 1\)。
4
正交变换的行列式：\(\det\mathscr{A}=\pm 1\)（由正交矩阵行列式性质直接推出）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆"正交变换"和"正交矩阵"：正交矩阵是矩阵，正交变换是抽象空间上的映射。命题C说"在标准正交基下，矩阵是正交矩阵"，而非"任何基下矩阵都是正交矩阵"。
  2. 忽略"标准正交基"的前提：命题 C 明确要求"在标准正交基下"。在普通基下，正交变换的矩阵一般不是正交矩阵。
  3. 误认为 C→A 证明中可以用任意基：内积的矩阵表示 \(\langle\alpha,\beta\rangle=X^{T}Y\) 只在标准正交基下成立，这是 C→A 证明的关键。
  4. 忘记行列式推导的前提：\(\det A=\pm 1\) 来自 \(A^{T}A=I\)，而不是任何矩阵都满足此性质。
  5. 把"保持内积"等同于"保持加法"或"保持数量乘法"：保持内积是最强条件，它可以推出线性，但线性不能推出保持内积。

✎自测与作业

  1. 验证正交矩阵性质：设 \(A\) 是正交矩阵，证明 \(A^{-1}=A^{T}\)，且 \(A^{T}\) 也是正交矩阵。
  2. 验证行列式：直接计算 \(\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)，验证其为 1，并说明该矩阵是正交矩阵。
  3. 验证等价性 A→B：设 \(\mathscr{A}\) 是正交变换，\(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 是标准正交基。证明 \(\mathscr{A}\varepsilon_1,\dots,\mathscr{A}\varepsilon_n\) 也是标准正交基。
  4. 验证等价性 B→C：设 \(\mathscr{A}\) 把某标准正交基 \(\mathcal{E}\) 映为标准正交基，证明 \(\mathscr{A}\) 在 \(\mathcal{E}\) 下的矩阵 \(A\) 满足 \(A^{T}A=I\)。
  5. 构造反例（思考）：找一个线性变换，它在某标准正交基下的矩阵是正交矩阵，但在另一标准正交基下的矩阵不是正交矩阵。这说明什么？
  6. （选做）证明：两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；正交矩阵的逆仍是正交矩阵。
下一集预告 第 P135 集 · 十：第一类第二类正交变换、正交变换的分块对角矩阵，将从行列式等于 1 或 −1 出发，把正交变换分类，并给出一般正交变换在适当标准正交基下的分块对角矩阵形式。