第 P138 集 · 十三：对称变换正交相似对角矩阵

基础（\(n=1\)）：1 维空间中任何线性变换的矩阵就是 \((\lambda)\)，已是数量矩阵（对角矩阵），命题显然成立。⏱ 05:40

归纳假设：设对一切 \((n-1)\) 维实内积空间，命题成立。

归纳步（\(n\) 维情形）：

1. 找第一个特征值和特征向量。由 P137 定理 1，\(A\) 的特征多项式有实根，故 \(A\) 至少有一个实特征值 \(\lambda_1\)。取对应的单位特征向量 \(\varepsilon_1\)（\(\|\varepsilon_1\|=1\)）。
2. 分解空间。考虑一维子空间 \(W=\mathrm{span}(\varepsilon_1)\) 及其正交补 \(W^\perp\)。由正交分解定理：
   \[ V = W \oplus W^\perp, \quad \dim W^\perp = n-1. \]
3. 证明 \(W^\perp\) 是不变子空间。因为 \(W=\mathrm{span}(\varepsilon_1)\) 显然在 \(A\) 下不变（\(A(k\varepsilon_1)=k\lambda_1\varepsilon_1\in W\)），由 P137 引理（正交补不变性），\(W^\perp\) 也是 \(A\) 的不变子空间。
4. 限制映射仍是对称变换。将 \(A\) 限制在 \(W^\perp\) 上，得到 \(A|_{W^\perp}:W^\perp\to W^\perp\)。对任意 \(\alpha,\beta\in W^\perp\)：
   \[ (A|_{W^\perp}\,\alpha,\;\beta) = (A\alpha,\;\beta) = (\alpha,\;A\beta) = (\alpha,\;A|_{W^\perp}\,\beta). \]
   故 \(A|_{W^\perp}\) 仍是 \(W^\perp\) 上的对称变换。
5. 应用归纳假设。\(W^\perp\) 是 \((n-1)\) 维实内积空间，由归纳假设，存在 \(W^\perp\) 的标准正交基 \(\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\)，使得 \(A|_{W^\perp}\) 在此基下矩阵为对角矩阵 \(\mathrm{diag}(\lambda_2,\dots,\lambda_n)\)。
6. 合并基。因为 \(\varepsilon_1\in W\) 而 \(\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\in W^\perp\)，所以 \(\varepsilon_1\perp\varepsilon_j\)（\(j\geq 2\)）。因此 \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n\) 构成 \(V\) 的一组标准正交基，且 \(A\) 在此基下的矩阵为：
   \[ \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n). \]
   证毕。⏱ 14:00

给定实对称矩阵 \(A\)，考虑 \(\mathbb{R}^n\)（标准内积）上的线性变换 \(A\)，其矩阵就是 \(A\) 自身。由谱定理，存在 \(\mathbb{R}^n\) 的标准正交基 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\)（即 \(A\) 的特征向量），使得 \(A\) 在此基下矩阵为 \(\Lambda\)。⏱ 18:00

设 \(T\) 是以 \(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\) 为列向量的矩阵。由于 \(\varepsilon_i\) 两两正交且单位长，\(T\) 是正交矩阵：\(T^TT=I\)，即 \(T^{-1}=T^T\)。

基变换公式给出：\(T^{-1}AT=\Lambda\)，即 \(T^TAT=\Lambda\)。

这说明：**实对称矩阵一定可正交相似对角化**——对角化所用的过渡矩阵可以选为正交矩阵，比普通相似对角化（只需可逆矩阵 \(P\)）强得多。⏱ 19:30