高等代数 · 第 P141 集 · 十六：酉空间标准内积、酉矩阵

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◎学习目标

熟练掌握\(\mathbb{C}^n\) 上的标准内积公式，理解其 Hermitian 对称性；
掌握共轭转置记号 \(y^*\)，并理解内积可简洁地表示为矩阵乘积形式；
理解 \(\mathbb{C}^n\) 的标准正交基及其验证方法；
掌握酉矩阵的定义（\(A^*A=E\)）及其基本性质（可逆、乘积仍酉）；
掌握标准正交基过渡矩阵必为酉矩阵这一核心定理；
了解酉空间中子空间的正交补与正交分解定理。

1\(\mathbb{C}^n\) 上的标准内积 ⏱ 00:03

有了酉空间的抽象定义后，需要一个最自然、最常用的具体例子，这就是 \(\mathbb{C}^n\) 配标准内积。

定义 · 标准内积对任意 \(x=(x_1,\dots,x_n),\;y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{C}^n\)，定义

f(x,y)=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots+x_n\overline{y_n}=\sum_{i=1}^{n}x_i\,\overline{y_i}.

这满足酉空间的四个公理：

Hermitian 对称性：\(f(x,y)=\overline{f(y,x)}\)（直接由复数共轭的性质得到）；
对第一个变量线性：\(f(kx+ly,z)=k\,f(x,z)+l\,f(y,z)\)（对第一个变量是普通线性）；
对第二个变量半线性：\(f(z,kx+ly)=\overline{k}\,f(z,x)+\overline{l}\,f(z,y)\)（对第二个变量是共轭线性，即半线性）；
正定性：\(f(x,x)=\sum|x_i|^2\geq 0\)，等号当且仅当 \(x=0\)。⏱ 00:03–01:20

丘老师提示"正定线性有了，因为 \(\beta\) 如果叫 \(\alpha\) 的话，这个 \(x\) 是 \(|s_1|^2+|s_2|^2+\cdots+|s_n|^2\)，是模的平方，肯定是非负的实数，所以我们一念这样定义的二元函数是 \(\mathbb{C}^n\) 上的一个内积。"

2共轭转置记号 \(y^*\) ⏱ 01:20

为了书写简洁，丘老师引入了共轭转置记号：

记号 · 共轭转置对列向量 \(y=(y_1,\dots,y_n)^{\mathrm{T}}\)，定义

y^* = (\overline{y_1},\;\overline{y_2},\;\dots,\;\overline{y_n}),

即先将 \(y\) 转置成行向量，再对每个分量取共轭。先转置再共轭、先共轭再转置结果相同，顺序不影响。⏱ 01:20–02:15

于是标准内积可简洁地写作矩阵乘积形式：

\[ f(x,y)=y^*x, \]

其中 \(y^*\) 是 \(1\times n\) 行向量，\(x\) 是 \(n\times 1\) 列向量，乘积结果是一个复数。⏱ 01:50

3\(\mathbb{C}^n\) 的标准正交基 ⏱ 02:50

示例 · 标准正交基向量组 \(e_1,\dots,e_n\)，其中

e_i = (0,\dots,0,\underset{i\text{位}}{1},0,\dots,0)^{\mathrm{T}} \quad (i=1,\dots,n)

构成 \(\mathbb{C}^n\) 的一个标准正交基。验证：\(f(e_i,e_j)=\delta_{ij}\)（Kronecker delta），即两两正交且每个都是单位向量。⏱ 02:50–03:20

定理 · N 维酉空间必有标准正交基任何 \(N\) 维酉空间 \(V\) 都存在标准正交基。证明方法：任取一组基 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_N\}\)，用 Gram-Schmidt 正交化得到正交基，再单位化即得标准正交基。此过程在复数域上完全适用，因为正交化公式只依赖内积的运算律。⏱ 03:20–05:30

4标准正交基下的内积计算公式 ⏱ 06:28

在标准正交基下，内积的计算可以大幅简化——这是标准正交基的第一大优越性。

引理 · 标准正交基下的内积公式设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(N\) 维酉空间 \(V\) 的一组标准正交基，向量 \(\alpha,\beta\in V\) 在该基下的坐标列向量分别为 \(x=(x_1,\dots,x_n)^{\mathrm{T}}\) 和 \(y=(y_1,\dots,y_n)^{\mathrm{T}}\)，即

\alpha=\sum_{i=1}^{n}x_i\alpha_i,\qquad \beta=\sum_{j=1}^{n}y_j\alpha_j.

则

f(\alpha,\beta)=y^*x=\sum_{i=1}^{n}x_i\,\overline{y_i}.

推导过程

按定义展开内积：

f\!\left(\sum_{i}x_i\alpha_i,\;\sum_{j}y_j\alpha_j\right) =\sum_{i}\sum_{j}x_i\,\overline{y_j}\;f(\alpha_i,\alpha_j).

由于 \(\{\alpha_i\}\) 是标准正交基，\(f(\alpha_i,\alpha_j)=\delta_{ij}\)，因此当 \(j\neq i\) 时项为零，只剩 \(j=i\) 的项：

f(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{n}x_i\,\overline{y_i}=y^*x. \quad\square

标准正交基的第二个优越性任意向量 \(\alpha\) 在标准正交基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标分量 \(x_i\) 可以直接通过内积计算：

x_i = f(\alpha,\alpha_i).

这称为 傅里叶展开（Fourier expansion）：⏱ 08:49

5酉矩阵的定义与性质 ⏱ 05:30

现在我们来研究：从一组标准正交基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 变到另一组标准正交基 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)，过渡矩阵 \(P\) 有什么性质？

定义 · 酉矩阵数域 \(\mathbb{C}\) 上的 \(n\) 阶方阵 \(A\)，若满足

A^*A=E,

则称 \(A\) 为 \(n\) 阶酉矩阵（unitary matrix）。其中 \(A^*\) 表示 \(A\) 的共轭转置（每个元素取共轭后再转置）。⏱ 06:15

核心定理（标准正交基过渡矩阵的性质）：设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(\beta_1,\dots,\beta_n\) 是 \(N\) 维酉空间的两组标准正交基，\(\beta_j=\sum_{i}c_{ij}\alpha_i\)，过渡矩阵 \(P=(c_{ij})\)，则 \(P\) 是酉矩阵，即 \(P^*P=E\)。⏱ 05:30–07:00

定理证明（由标准正交性推出 \(P^*P=E\)）

由假设，\(\beta_1,\dots,\beta_n\) 也是标准正交基，故 \(f(\beta_i,\beta_j)=\delta_{ij}\)。⏱ 05:50

\(\beta_j\) 在标准正交基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标列向量就是 \(P\) 的第 \(j\) 列 \(P_j\)。利用标准正交基下的内积公式：

f(\beta_i,\beta_j)=P_i^*\,P_j=\delta_{ij}.

将所有 \(i,j\)（\(1\leq i,j\leq n\)）的情况合起来写成矩阵形式：

\begin{pmatrix}P_1^*\\ \vdots\\ P_n^*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}P_1&\cdots&P_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\delta_{11}&\cdots&\delta_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ \delta_{n1}&\cdots&\delta_{nn}\end{pmatrix}=E.

左边正是 \(P^*P\)（因为 \(P^*\) 的行是 \(P_i^*\)，\(P\) 的列是 \(P_j\)），故 \(P^*P=E\)。⏱ 06:40–07:00

酉矩阵的基本性质

可逆性：由 \(A^*A=E\) 知 \(A\) 可逆，且 \(A^{-1}=A^*\)。
乘积封闭：若 \(A,B\) 均为 \(n\) 阶酉矩阵，则 \(AB\) 也是 \(n\) 阶酉矩阵（因为 \((AB)^*(AB)=B^*A^*AB=B^*EB=B^*B=E\)）。
逆矩阵仍是酉矩阵：\(A^{-1}=A^*\) 也是酉矩阵。
行列式的模为 1：由 \(\det(A^*)\det(A)=\det(E)=1\) 可得 \(|\det(A)|^2=1\)，即 \(\|\det(A)\|=1\)。⏱ 07:00

6酉空间的正交分解定理 ⏱ 08:00

定理 · 正交分解设 \(U\) 是 \(N\) 维酉空间 \(V\) 中的一个线性子空间，则 \(V\) 中任一向量 \(\alpha\) 都可唯一地分解为

\alpha = \alpha_U + \alpha_{U^\perp},

其中 \(\alpha_U\in U\)，\(\alpha_{U^\perp}\in U^\perp\)（\(U\) 的正交补空间）。

该定理的证明与实内积空间中的证明完全相同，一个字都不需要改，直接迁移即可。⏱ 08:30

正交补的定义 \(U^\perp=\{\alpha\in V\mid f(\alpha,u)=0,\;\forall u\in U\}\)。正交补始终是子空间，且 \(\dim U+\dim U^\perp=\dim V\)。

★重点回顾

1

标准内积：\(f(x,y)=\sum x_i\overline{y_i}=y^*x\)。对第一个变量线性，对第二个变量共轭线性（半线性），Hermitian 对称 \(f(x,y)=\overline{f(y,x)}\)。

2

共轭转置记号 \(y^*\)：行向量，每个元素取共轭。内积简洁地写成 \(y^*x\)，便于矩阵运算。

3

\(\mathbb{C}^n\) 的标准正交基：\(e_1,\dots,e_n\)（单位坐标向量）。N 维酉空间必有标准正交基（Gram-Schmidt 正交化）。

4

酉矩阵定义：\(A^*A=E\)，等价于 \(A^{-1}=A^*\)。标准正交基之间的过渡矩阵必为酉矩阵。

5

酉矩阵的性质：可逆、乘积封闭、逆仍酉、\(|\det A|=1\)。

6

标准正交基下内积公式：\(f(\alpha,\beta)=y^*x\)（坐标向量的共轭转置乘积）。坐标分量即傅里叶系数：\(x_i=f(\alpha,\alpha_i)\)。

7

正交分解定理：\(V=U\oplus U^\perp\)，证明与实内积空间完全相同。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆共轭转置与普通转置：实矩阵的转置 \(A^{\mathrm{T}}\) 与复矩阵的共轭转置 \(A^*\) 不同，酉矩阵的条件是 \(A^*A=E\)，而非 \(A^{\mathrm{T}}A=E\)。
内积对第二个变量的半线性搞反：\(f(\alpha,k\beta)=\overline{k}\,f(\alpha,\beta)\)，共轭加在第二个变量的标量上，不是第一个。
忘记标准正交基下的内积公式成立的前提：公式 \(f(\alpha,\beta)=y^*x\) 仅在 \(\{\alpha_i\}\) 是标准正交基时才成立，若只是正交基（未单位化）则需要除以长度平方。
酉矩阵判定条件漏写：只需验证 \(A^*A=E\)（或等价地 \(AA^*=E\)），不必同时验证两个，因为方阵左逆等于右逆。

✎自测与作业

在 \(\mathbb{C}^3\)（标准内积）中，验证向量组 \(\alpha_1=(1,0,0)^{\mathrm{T}}\)、\(\alpha_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}\)、\(\alpha_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}\) 构成标准正交基，并将 \(x=(1+i,2-i,3)^{\mathrm{T}}\) 在该基下做傅里叶展开。
判断下列矩阵是否为酉矩阵，并说明理由： \[ A=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}. \]
设 \(P\) 是酉矩阵，证明 \(P^{-1}\) 也是酉矩阵，且 \(\|Px\|=\|x\|\) 对任意 \(x\in\mathbb{C}^n\) 成立（酉矩阵保持内积和长度不变）。
设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 是 \(\mathbb{C}^2\) 的标准正交基，\(\beta_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha_1+\alpha_2)\)，\(\beta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha_1-\alpha_2)\)。验证 \(\beta_1,\beta_2\) 也是标准正交基，并写出过渡矩阵 \(P\)，验证 \(P\) 是酉矩阵。
（思考）证明：酉矩阵的特征值的模均为 1。

下一集预告接下来将继续研究酉空间的结构，包括酉变换、等距同构，以及酉空间与欧几里得空间的内在联系。