高等代数 · 第 P147 集 · n元多项式三

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◎学习目标

理解非退化线性替换的定义：用可逆矩阵 \(C\) 作一次齐次替换 \(X=CY\)（或等价地，不定元用一次齐次多项式代入）；
掌握代入后二次型的矩阵变化规律：新二次型的矩阵为 \(C^TAC\)（合同变换）；
理解二次型的等价定义：两个二次型通过一个非退化线性替换可以互相转化；
知道二次型等价构成一个等价关系（自反、对称、传递），从而可将二次型按等价分类；
明确本集的核心任务：在每个等价类中寻找最简单的代表元（标准形）。

1非退化线性替换的定义 ⏱ 00:00

设 \(f(x_1,\dots,x_n)=X^TAX\) 是 \(F\) 上的一个 n 元二次型。我们想通过变量替换把它化成更简单的形式。⏱ 00:10

自然的选择是让每个不定元 \(x_i\) 都用 \(x_1,\dots,x_n\) 的一次齐次多项式来代入：

\begin{cases} x_1=c_{11}s_1+c_{12}s_2+\cdots+c_{1n}s_n,\\ x_2=c_{21}s_1+c_{22}s_2+\cdots+c_{2n}s_n,\\ \quad\vdots\\ x_n=c_{n1}s_1+c_{n2}s_2+\cdots+c_{nn}s_n. \end{cases}

写成矩阵形式，即 \(X=CS\)，其中 \(C=(c_{ij})\) 是 \(n\) 阶系数矩阵，\(S=(s_1,\dots,s_n)^T\) 是新不定元列向量。⏱ 00:35

定义 · 非退化线性替换设 \(X=CS\) 是用一次齐次多项式对不定元 \(x_1,\dots,x_n\) 作的替换。如果矩阵 \(C\) 是可逆矩阵（即 \(\det C\neq 0\)），则称该替换为非退化线性替换。⏱ 01:40

丘老师特别强调，"非退化"这个条件非常关键——它保证了替换是可逆的，从而两种表示之间可以来回转换，不会丢失信息。⏱ 02:10

与教材表述的关系教材通常表述为"作替换 \(X=CY\)，其中 \(Y=(y_1,\dots,y_n)^T\) 是新变量"，这与本课的 \(X=CS\) 实质相同，只是符号习惯不同。丘老师说明，教材第六章的例子中出现的都是这种形式，与本节的记号完全对应。⏱ 03:00

2代入后仍为二次型：矩阵推导 ⏱ 03:20

将 \(X=CS\) 代入原二次型 \(f=X^TAX\)：

f = (CS)^T A (CS) = S^T(C^TAC)\,S.

令 \(B=C^TAC\)，则新表达式为 \(S^TBS\)。下面验证 \(B\) 仍是对称矩阵：⏱ 04:00

\[ B^T=(C^TAC)^T=C^TA^T(C^T)^T=C^TAC=B, \]

最后一步用到了 \(A\) 的对称性（\(A^T=A\)）以及 \((C^T)^T=C\)。⏱ 04:30

结论经非退化线性替换 \(X=CS\) 后，原二次型 \(X^TAX\) 变成了新的二次型 \(S^TBS\)，其中 \(B=C^TAC\)。新二次型的矩阵是原矩阵的合同变换。⏱ 05:00

为什么要求 C 可逆？

若 \(C\) 不可逆，则 \(C\) 的列向量线性相关，替换不是满秩的，相当于把 \(n\) 个变量压缩到了低维空间，会丢失信息（例如一个非零二次型可能变成恒等零）。⏱ 05:30

从合同的角度看，\(C\) 可逆保证了 \(A\) 与 \(B=C^TAC\) 合同的判定理论可以完整使用（合同是等价关系，依赖于可逆性）。

3二次型的等价 ⏱ 06:00

基于非退化线性替换，引入二次型之间的"等价"关系：⏱ 06:10

定义 · 二次型的等价设 \(f=X^TAX\) 和 \(g=X^TBX\) 是 \(F\) 上关于同一组不定元 \(x_1,\dots,x_n\) 的两个二次型（\(A,B\) 均为对称矩阵）。如果存在一个非退化线性替换 \(X=CS\)（\(C\) 可逆），使得

X^TAX \xrightarrow{\,X=CS\,} S^T(C^TAC)S = S^TBS,

即 \(B=C^TAC\)，则称 \(f\) 与 \(g\) 等价，记作 \(f\cong g\)（或 \(A\cong B\)）。⏱ 07:00

丘老师强调："两个二次型是等价的，不是相等的。作为多项式它们一般不相等（我们希望化简），但可以通过非退化线性替换互相转化。"⏱ 07:30

几何直观在实二次型的情形，等价意味着两个二次型描述的是同一几何对象（如椭圆、双曲面）在不同坐标系下的方程，只是坐标轴旋转/伸缩了而已。

4等价是等价关系 ⏱ 08:00

命题二次型的等价关系满足：

自反性：\(f\cong f\)。取 \(C=I\)（单位矩阵），显然 \(I^TAI=A\)。
对称性：若 \(f\cong g\)，则 \(g\cong f\)。由 \(B=C^TAC\) 且 \(C\) 可逆，得 \(A=(C^{-1})^T B (C^{-1})\)，取 \(D=C^{-1}\) 即可。
传递性：若 \(f\cong g\)（矩阵 \(C\)）且 \(g\cong h\)（矩阵 \(D\)），则 \(f\cong h\)，替换矩阵为 \(CD\)（可逆矩阵之积仍可逆）。

因此，等价是 \(F\) 上所有 n 元二次型所成集合上的一个等价关系。⏱ 09:00

丘老师特别解释为何坚持用同一组不定元 \(x_1,\dots,x_n\) 来表述等价（而非换成一组新符号 \(y_1,\dots,y_n\)）：⏱ 09:40

记号选择的意义用同一组不定元，两个等价的二次型都在同一个环 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 中，比较它们在等价关系下的归属非常自然。若引入新符号，则需额外说明新符号与原符号的关系，增加复杂性。

由此，我们的核心任务就清晰了：在每一个等价类中，找到一个最简单形式的代表元——这就是接下来要学习的"二次型标准形"问题。⏱ 10:30

★重点回顾

非退化线性替换：\(X=CS\)，其中 \(C\) 为可逆矩阵。它是连接两个等价二次型的桥梁。

合同变换：替换后新矩阵 \(B=C^TAC\)。对称性由 \(A^T=A\) 和 \((C^TAC)^T=C^TAC\) 保证。

二次型的等价：存在非退化线性替换使一个二次型变为另一个，记作 \(f\cong g\)（或 \(A\cong B\)）。

等价关系：自反（\(C=I\)）、对称（取逆矩阵）、传递（矩阵乘积），构成划分，每个等价类有代表性最简单元素（标准形）。

本章主线：二次型等价 → 寻找标准形 → 惯性定理 → 正定二次型（后续几集内容）。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆"等价"与"相等"：等价是可以通过变量替换互化的关系，不等于作为多项式的恒等。两个等价的二次型通常不相等。
遗漏"非退化"条件：替换矩阵 \(C\) 必须可逆。若忽略此条件，合同关系不再是等价关系（传递性可能失效）。
矩阵乘法顺序错误：\(B=C^TAC\)，不能写成 \(CAC^T\) 或其他形式。顺序来源于 \(X=CS\) 代入时 \((CS)^T=A^T(CS)=S^TC^TA(CS)\)。
可逆矩阵之积仍可逆：\(\det(CD)=\det C\cdot\det D\neq 0\)，这是传递性的关键，容易忘记说明。
符号混用：本节用 \(S\) 表新不定元，教材多用 \(Y\)，注意对应关系 \(S\leftrightarrow Y\)，替换矩阵相同。

✎自测与作业

设 \(f=2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2\)，取替换 \(x_1=y_1+y_2,\;x_2=y_2\)。验证该替换是非退化的（计算行列式），并求出新二次型的矩阵 \(B\)。
验证等价关系的三要素：(a) 自反：\(C=I\) 时 \(I^TAI=A\)；(b) 对称：由 \(B=C^TAC\) 推出 \(A=(C^{-1})^TB(C^{-1})\)；(c) 传递：\(B=C^TAC,\;D=E^TBE\Rightarrow D=(EC)^TA(EC)\)。
设 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)，求一个可逆矩阵 \(C\) 使得 \(C^TAC\) 为对角矩阵（提示：尝试配方法对应的替换）。
（思考）若允许 \(C\) 不可逆，等价关系还成立吗？举例说明对称性或传递性哪里会失效。
（选做）证明：若 \(A,B\) 为实对称矩阵且 \(B=C^TAC\)（\(C\) 可逆），则 \(A\) 与 \(B\) 有相同的正负惯性指数（Sylvester 惯性定理，下集预告）。

下集预告第 P148 集起将进入二次型标准形的讨论：如何用配方法或正交变换把任意二次型化为只含平方项的形式 \(\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)。