高等代数 · 第 P148 集 · 四：实二次型标准形

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◎学习目标

理解⏱ 00:02实数域上 n 元二次型 \(x^TAx\) 与其对称矩阵 \(A\) 之间存在一一对应关系；
掌握⏱ 00:22二次型等价与矩阵合同的关系：两个二次型等价 \(\iff\) 它们的矩阵合同；
理解⏱ 02:20标准形的概念：只含平方项、无交叉项的形式 \(d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2\)；
掌握⏱ 03:00两种求标准形的方法：配方法和正交替换法，了解各自的适用场景；
理解⏱ 04:10标准形中非零平方项的个数唯一确定，等于矩阵 \(A\) 的秩。

1二次型与对称矩阵的对应 ⏱ 00:02

设 \(\mathbb{F}\) 上 n 元二次型 \(f(x_1,\dots,x_n)=x^T A x\)，其中 \(A\) 是对称矩阵。⏱ 00:15 这给出了一个对应法则：每个 n 元二次型对应一个唯一的对称矩阵，反之亦然。

关键对应关系

\text{n 元二次型 } f = x^T A x \quad \longleftrightarrow \quad \text{对称矩阵 } A

在此对应下，对二次型做非退化线性替换\(x = Cx'\)（\(C\) 可逆），等价于对矩阵 \(A\) 做合同变换：⏱ 00:52

x^T A x \xrightarrow{x=Cx'} (x')^T (C^T A C)\, x'

即：新二次型的矩阵为 \(C^T A C\)，与 \(A\) 合同。⏱ 01:15

2二次型等价 ↔ 矩阵合同 ⏱ 01:30

定理：两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同

定义：两个 n 元二次型 \(x^T A x\) 与 \(x^T B x\) 等价，是指存在非退化线性替换 \(x=Cx'\)（\(C\) 可逆），使得代入后前者变为后者。⏱ 01:45

证明：

（\(\Rightarrow\)）若 \(x^T A x\) 与 \(x^T B x\) 等价，则存在可逆矩阵 \(C\)，使得代入 \(x=Cx'\) 后 \(x^T A x = (x')^T (C^T A C) x' = x'^T B x'\)。由二次型矩阵的唯一性，得 \(B = C^T A C\)，即 \(A\) 与 \(B\) 合同。⏱ 02:45

（\(\Leftarrow\)）若 \(B = C^T A C\)，则取替换 \(x = Cx'\)，代入 \(x^T A x\) 即得 \(x'^T B x'\)，两二次型等价。

核心结论二次型等价问题归结为矩阵合同问题，从而可以通过研究矩阵合同来研究二次型的分类。⏱ 02:58

3标准形的存在性 ⏱ 03:00

我们已经知道，任何实数域上的对称矩阵都合同于一个对角矩阵（第七章的结论）。因此：

定理 · 实二次型标准形存在定理

任意 n 元实二次型 \(f = x^T A x\)，必可通过某个非退化线性替换 \(x = Cx'\)，化为如下标准形：

f = d_1 (x'_1)^2 + d_2 (x'_2)^2 + \cdots + d_n (x'_n)^2

即只含平方项，不含交叉项（如 \(x_1x_2\)、\(x_2x_3\) 等）。⏱ 03:20

性质：非零平方项个数唯一

虽然标准形的具体系数 \(d_1,\dots,d_n\) 不唯一，但⏱ 04:10标准形中系数不为零的平方项个数是唯一确定的，它等于矩阵 \(A\) 的秩：

\#\{\,i : d_i \neq 0\,\} = \operatorname{rank}(A)

这是因为合同变换不改变矩阵的秩（可逆矩阵左乘或右乘不改变秩）。

4求标准形的方法 ⏱ 05:00

方法一：配方法

配方法是高中阶段就熟悉的方法，适用于一般数域（包括实数域），操作简便。⏱ 06:00 通过逐步配方，将交叉项消去，化为只含平方项的形式。教材 P317~P318 有例题可供参考。

配方法示例思路

对 \(f = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2\)，先配 \(x_1\)：

f = 2\left(x_1 + x_2\right)^2 - x_2^2

再令 \(y_1 = x_1+x_2,\ y_2 = x_2\)，即得标准形 \(2y_1^2 - y_2^2\)。

方法二：正交替换法

当限定做正交替换（即 \(C\) 为正交矩阵，\(C^{-1}=C^T\)）时，可用特征值理论。⏱ 06:30

正交替换法步骤

求出实对称矩阵 \(A\) 的全部⏱ 07:00特征值 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)（均为实数）；
对每个特征值 \(\lambda_i\)，求齐次方程组 \((\lambda_i I - A)x = 0\) 的基础解系；
对各特征值对应的基础解系分别正交化、单位化，得到两两正交的单位向量；
将这些向量作为列构成正交矩阵 \(T\)，则 \(T^T A T = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)；
作替换 \(x = Tx'\)，得标准形 \(\lambda_1(x'_1)^2+\cdots+\lambda_n(x'_n)^2\)。

方法选择

若无特殊要求，直接用配方法，简单快捷；若要求做正交替换（保持长度不变），则需用特征值方法。两种方法都要掌握。⏱ 08:00

★重点回顾

1

对应法则：n 元二次型 \(\leftrightarrow\) 对称矩阵，此对应下二次型等价 \(\leftrightarrow\) 矩阵合同。

2

合同变换公式：替换 \(x = Cx'\) 使 \(x^T A x \mapsto x'^T (C^T A C) x'\)，新矩阵与原矩阵合同。

3

标准形存在定理：任意实二次型必合同于对角矩阵，即必有标准形 \(d_1x_1^2+\cdots+d_nx_n^2\)。

4

秩的不变性：标准形中非零平方项个数 = \(\operatorname{rank}(A)\)，是唯一不变量之一。

5

两种求法：配方法（通用、简便）；正交替换法（用特征值，保持几何结构）。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆"等价"与"相等"：两个二次型等价是指存在非退化替换使一个变另一个，并非表达式完全相同。
忽略"非退化"条件：线性替换矩阵 \(C\) 必须可逆，否则不能保持二次型的本质结构。
标准形系数不唯一：同一个二次型的标准形有多种，系数 \(d_i\) 可以不同，但非零系数个数（即秩）是固定的。
正交替换与一般替换混淆：正交替换要求变换矩阵是正交矩阵（\(T^T=T^{-1}\)），此时标准形的系数恰好是特征值；而一般替换（配方法）得到的系数不一定是特征值。
合同变换不改变秩：合同变换 \(C^TAC\) 不改变矩阵的秩（因为 \(C\) 可逆），但可能改变特征值。

✎自测与作业

用配方法将 \(f = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2 + 4x_2x_3 + x_3^2\) 化为标准形，并写出所用的非退化线性替换矩阵 \(C\)。
求 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) 的特征值及对应的正交矩阵 \(T\)，验证 \(x^T A x\) 经正交替换 \(x = Tx'\) 后化为标准形 \(\lambda_1(x'_1)^2+\lambda_2(x'_2)^2\)。
设 \(f = x^T A x\) 为标准形中非零平方项个数为 \(r\)，证明 \(r = \operatorname{rank}(A)\)。
（思考）为什么正交替换法得到的标准形系数恰好是 \(A\) 的特征值，而配方法得到的系数一般不是？
（选做）教材 P317~P318 例题练习：用配方法和正交替换法分别求下列二次型的标准形，并比较结果：\(f = x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\)。

下一集预告第 P149 集 · 五：实二次型规范形、正负惯性指数，将介绍著名的Sylvester 惯性定理——规范形中系数 \(+1\) 和 \(-1\) 的个数是唯一确定的。