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◎学习目标
- 理解⏱ 00:01规范形的概念：系数仅为 \(+1,\ -1,\ 0\) 的标准形；
- 掌握⏱ 01:00由标准形化为规范形的技巧（对每个非零系数开平方再代换）；
- 理解并掌握著名的Sylvester 惯性定理（惯性定律）：规范形中 \(+1\) 和 \(-1\) 的个数是唯一确定的；
- 掌握正惯性指数 \(p\)、负惯性指数 \(r-p\) 和符号差\(s = 2p-r\) 的定义；
- 了解⏱ 03:00惯性定理的一种证明方法（利用对称双线性函数的度量矩阵在不同基下的合同关系）。
1规范形的定义 ⏱ 00:01
从 P148 集已得，任意实二次型 \(f = x^T A x\) 必可经非退化线性替换化为标准形：
其中 \(r = \operatorname{rank}(A)\)。将正系数移到前面、负系数移到后面：
其中 \(d_1,\dots,d_p > 0\)，\(d_{p+1},\dots,d_r > 0\)（负号已提出）。⏱ 00:15 令 \(z_i = \sqrt{d_i}\,y_i\)（\(i=1,\dots,r\)），则得：
即系数仅为 \(+1\)、\(-1\) 或 \(0\) 的标准形，称为二次型的规范形。⏱ 00:38
2Sylvester 惯性定理（惯性定律）⏱ 01:10
同一个二次型的规范形是否唯一？乍一看似乎不唯一——不同的配方法可能给出不同的规范形。但下面的著名定理给出了肯定的答案。
实二次型 \(x^T A x\) 的规范形是唯一的。即：若
则必有 \(p = q\)（从而 \(-1\) 的个数 \(r-p = r-q\) 也相同）。
换言之，规范形中 \(+1\) 的个数和 \(-1\) 的个数是由二次型本身唯一决定的，与所采用的化简方法无关。⏱ 01:45
3惯性定理的证明思路 ⏱ 02:00
证明：设同一二次型有两个规范形，证明 \(p = q\)
步骤一：转化为矩阵合同
设二次型 \(f\) 的两个规范形对应的矩阵分别为：
由于两个规范形都与 \(f\) 等价，由传递性，\(D_1\) 与 \(D_2\) 合同。⏱ 02:20
步骤二：构造子空间
利用⏱ 03:00对称双线性函数的理论：合同矩阵可视为同一双线性函数在不同基下的度量矩阵。设 \(F\) 是相应对称双线性函数，在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)（对应 \(D_1\)）和基 \(\beta_1,\dots,\beta_n\)（对应 \(D_2\)）下分别有度量矩阵 \(D_1\) 和 \(D_2\)。
取子空间：
- \(V_1 = \operatorname{span}(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\)，维数为 \(p\)；
- \(V_2 = \operatorname{span}(\beta_{q+1},\dots,\beta_n)\)，维数为 \(n-q\)。
步骤三：证明 \(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)
设 \(\alpha \in V_1 \cap V_2\)，则：
- \(\alpha = a_1\alpha_1+\cdots+a_p\alpha_p\)，故 \(F(\alpha,\alpha) = a_1^2+\cdots+a_p^2 \geq 0\)；
- \(\alpha = b_{q+1}\beta_{q+1}+\cdots+b_n\beta_n\)，故 \(F(\alpha,\alpha) = -b_{q+1}^2-\cdots-b_r^2 \leq 0\)。
于是 \(F(\alpha,\alpha) = 0\)，从而 \(a_1=\cdots=a_p=0\) 且 \(b_{q+1}=\cdots=b_r=0\)，故 \(\alpha = 0\)。⏱ 04:00
步骤四：维数估计
由子空间维数公式：
而 \(V_1+V_2 \subseteq \mathbb{R}^n\)，故 \(p+n-q \leq n\)，即 \(p \leq q\)。⏱ 05:00
由对称性（交换 \(D_1\) 与 \(D_2\) 的角色），同理可得 \(q \leq p\)，因此 \(p = q\)。证毕。
4正负惯性指数与符号差 ⏱ 05:40
- 秩 \(r\)（非零平方项总数）；
- 正惯性指数 \(p\)（\(+1\) 的个数）；
- 符号差 \(s = 2p - r\)（正负个数之差）。
| 名称 | 记号 | 含义 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 正惯性指数 | \(p\) | 规范形中系数为 \(+1\) 的平方项个数 | 唯一确定 |
| 负惯性指数 | \(r-p\) | 规范形中系数为 \(-1\) 的平方项个数 | 由 \(r,p\) 决定 |
| 符号差 | \(s\) | \(s = p - (r-p) = 2p - r\) | 可正、可负、可为零 |
| 秩 | \(r\) | 非零平方项总数（\(|s| \leq r\)，\(s \equiv r \pmod{2}\)） | 合同不变量 |
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆标准形与规范形：标准形系数可以是任意非零实数，规范形系数只能是 \(+1,-1,0\)。规范形是标准形的特殊形式。
- 以为规范形不唯一：初看不同配方法给出的规范形可能不同，但惯性定理保证了 \(+1\) 和 \(-1\) 的个数是唯一的。
- 忽视"实数域"条件：惯性定理依赖实数域上"平方和非负推出各项为零"这一性质，在一般数域上不成立。
- 符号差计算公式错误：符号差 \(s = p - (r-p) = 2p - r\)，不是 \(p-r\) 或其他。
- 秩与惯性指数的关系：负惯性指数 \(= r - p\)，不是独立参数；三者中只有两个独立。
✎自测与作业
- 将 \(f = 3x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2\) 先化为标准形，再化为规范形，指出正负惯性指数和符号差。
- 已知实对称矩阵 \(A\) 的秩为 4，正惯性指数为 3，写出 \(A\) 的合同规范形矩阵，并计算符号差。
- （思考题）验证：对任意实二次型，符号差 \(s\) 满足 \(|s| \leq r\) 且 \(s \equiv r \pmod{2}\)。
- （选做）教材下册第十章例题：尝试用另一种方法（如特征值方法）验证惯性定理的特殊情形。
- （选做）证明：两个实二次型等价 \(\iff\) 它们有相同的秩和相同的正惯性指数。