☰本集目录
◎学习目标
- 掌握⏱ 00:09两个 n 元实二次型等价的充要条件：秩相等且正惯性指数相同；
- 理解⏱ 01:20实对称矩阵在合同关系下的完全不变量（秩 + 正惯性指数）及合同类的分类；
- 掌握⏱ 02:00正定二次型的定义：对任意非零向量，二次型值恒正；
- 掌握⏱ 03:00正定二次型的多个等价判定条件（规范形、标准形系数、特征值等）；
- 理解正定性判定的证明思路（利用规范形或标准形，选取特殊向量导出矛盾）。
1二次型等价的充分必要条件 ⏱ 00:09
由惯性定理可知，规范形由秩 \(r\) 和正惯性指数 \(p\) 唯一确定。由此立即得到：
两个 n 元实二次型 \(f = x^T A x\) 与 \(g = x^T B x\) 等价，当且仅当：
即它们的矩阵有⏱ 00:25相同的秩和相同的正惯性指数（从而负惯性指数也相同）。
证明
\(\Rightarrow\)：若 \(f \sim g\)，则 \(A\) 与 \(B\) 合同。合同矩阵秩相同，且合同变换不改变规范形（因规范形由二次型本身唯一决定），故 \(p_A = p_B\)。⏱ 00:40
\(\Leftarrow\)：若 \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)=r\) 且 \(p_A=p_B=p\)，则 \(A\) 和 \(B\) 的合同规范形均为 \(\operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{p},\underbrace{-1,\dots,-1}_{r-p},\underbrace{0,\dots,0}_{n-r})\)，故 \(A\) 与 \(B\) 合同，从而 \(f\) 与 \(g\) 等价。
在标准形中，⏱ 00:45系数大于 0 的平方项个数 = 正惯性指数 \(p\)；系数小于 0 的平方项个数 = 负惯性指数 \(r-p\)。这些数在任何标准形中都相同。
2实对称矩阵的合同分类 ⏱ 01:15
由二次型等价定理，立即得到实对称矩阵在合同关系下的分类：
两个 n 阶实对称矩阵 \(A\) 与 \(B\) 合同（即存在可逆矩阵 \(C\) 使 \(B = C^T A C\)），当且仅当：
即秩和正惯性指数都相同。⏱ 01:40
秩和正惯性指数（或等价地，秩+符号差）是 \(n\) 阶实对称矩阵在合同关系下的⏱ 01:50完全不变量——它们完全决定了矩阵所属的合同类。
| 矩阵 \(A\) | 秩 \(r\) | 正惯性指数 \(p\) | 负惯性指数 | 符号差 \(s\) |
|---|---|---|---|---|
| 合同类特征 | \(\operatorname{rank}(A)\) | \(p(A)\) | \(r-p\) | \(2p-r\) |
| 不变性 | ✓ 合同变换下保持不变，是完全不变量 | |||
3正定二次型的定义 ⏱ 02:15
设 \(f = x^T A x\) 是 n 元实二次型（\(A\) 为实对称矩阵）。若对任意非零实向量 \(\alpha \in \mathbb{R}^n\)，都有：
则称 \(f\)（或 \(A\)）为正定二次型（正定矩阵）。
类似地可定义：
- 负定：\(\alpha^T A \alpha < 0\) 对所有 \(\alpha \neq 0\)；
- 半正定：\(\alpha^T A \alpha \geq 0\) 对所有 \(\alpha\)；
- 半负定：\(\alpha^T A \alpha \leq 0\) 对所有 \(\alpha\)；
- 不定：既取正值也取负值。
4正定性的四个等价条件 ⏱ 03:00
下列命题等价：
(1) \(\Rightarrow\) (2)：正定 \(\Rightarrow\) 规范形全为 \(+1\)
设 \(f = x^T A x\) 正定。做非退化替换 \(x = Cy'\) 化为规范形：
若 \(p < n\)，取 \(y' = (0,\dots,0,1)^T\)（第 \(n\) 个分量为 1），则对应的 \(x = Cy' \neq 0\)（因 \(C\) 可逆），但此时 \(f = -1 < 0\) 或 \(f = 0\)，与正定性矛盾。⏱ 03:30
故必有 \(p = n\)，规范形为 \((y'_1)^2+\cdots+(y'_n)^2\)，即正惯性指数为 \(n\)，负惯性指数为 0。
(2) \(\Rightarrow\) (3)：规范形全 \(+1\) \(\Rightarrow\) 任一标准形系数全正
由 P148 集结论，标准形中系数大于 0 的平方项个数等于正惯性指数 \(p = n\)，故所有 \(n\) 个系数皆为正。⏱ 04:00
(3) \(\Rightarrow\) (4)：任一标准形系数全正 \(\Rightarrow\) 特征值全正
利用正交替换法：存在正交矩阵 \(T\) 使 \(T^T A T = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)，其中 \(\lambda_i\) 为 \(A\) 的特征值。此即一个标准形，其系数就是特征值。⏱ 04:20 由条件 (3)，所有 \(\lambda_i > 0\)。
(4) \(\Rightarrow\) (1)：特征值全正 \(\Rightarrow\) 正定
设 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n > 0\) 为 \(A\) 的特征值，作正交替换 \(x = Ty\)：
若 \(x \neq 0\)，则 \(y = T^{-1}x \neq 0\)（因 \(T\) 可逆），故至少有一个 \(y_i \neq 0\)，从而 \(x^T A x > 0\)。即 \(A\) 正定。⏱ 04:45
- 定义：\(\forall\, x \neq 0,\ x^T A x > 0\)；
- 规范形：规范形为 \(y_1^2+\cdots+y_n^2\)（正惯性指数 \(p = n\)）；
- 标准形：任一标准形中所有系数 \(d_i > 0\)；
- 特征值：\(A\) 的全部特征值 \(\lambda_i > 0\)。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆"合同"与"相似"：合同是 \(B = C^T A C\)（\(C\) 可逆），相似是 \(B = P^{-1} A P\)。实对称矩阵既可合同对角化，也可正交相似对角化，但后者要求 \(P\) 正交且对角元为特征值。
- 正定要求"对所有非零向量"：只需找到一个非零向量使值 \(\leq 0\)，即否定正定性；反之需验证一切非零向量都使值 \(> 0\)。
- 忽略"秩"的条件：正定矩阵必满秩（\(\operatorname{rank} = n\)）。若 \(r < n\)，则存在非零向量使二次型为 0，不可能正定。
- 特征值法适用范围：特征值全正 \(\iff\) 正定，这一判定仅适用于实对称矩阵。对一般方阵不适用。
- 误用主子式判定：Sylvester 准则（各阶顺序主子式全正 \(\iff\) 正定）是另一个有用定理，但本节课未涉及，请勿混淆。
✎自测与作业
- 判断下列矩阵是否合同，并说明理由：\(A = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix}2&0\\0&-2\end{pmatrix}\)。
- 求 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的特征值，验证 \(A\) 正定，并将 \(x^T A x\) 经正交替换化为标准形。
- 证明：若 \(A\) 正定，则对任意可逆矩阵 \(C\)，矩阵 \(C^T A C\) 也正定。
- （思考）一个实二次型正定，能否推出其所有系数 \(a_{ii} > 0\)？能否推出所有 \(a_{ij} > 0\)？举例说明。
- （选做）教材中关于合同类计数的思考题：3 阶实对称矩阵按合同关系共有多少个等价类？列出所有可能的 \((r,p)\) 组合。
- （选做）证明：若 \(A\) 正定，则 \(A^{-1}\) 也正定；若 \(A,B\) 都正定，则 \(A+B\) 也正定。