高等代数 · 第 P21 集 · 三：线性空间性质 3–6、线性子空间

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◎学习目标

紧接第 P20 集（线性空间的性质 1、2），推导并掌握线性空间性质 3、4、5、6——它们全部只依赖八条运算法则（加法交换/结合、零元、负元，数乘结合/分配、单位元、数乘结合），不依赖任何具体模型；
理解“桥梁”思想：加法是关于加法的概念，数乘是关于数乘的概念，要联系两者，必须用能同时涉及两者的公理（第 7、8 条分配律）；
会证明 \(0\alpha=0\)、\(k\,0=0\)、\((-1)\alpha=-\alpha\)，并理解“一个元素加上它的负元就是零元”（第 4 条公理）；
推导“若 \(k\alpha=0\)，则 \(k=0\) 或 \(\alpha=0\)”（性质 5），体会它类似实数“\(ab=0\Rightarrow a=0\) 或 \(b=0\)”；
建立线性子空间（子空间）概念：非空子集 \(U\subseteq V\) 对 \(V\) 的加法与数乘封闭，则 \(U\) 本身成为子空间；理解“过原点”的几何直觉（过原点的平面/直线才是子空间，不过原点则不是）。

1性质 3：\(0\cdot\alpha=0\) ⏱ 00:02

本集开头紧接第 P20 集“线性空间的性质 1、2”。回顾：线性空间 \(V\) 上的八条公理分两组——加法（交换律、结合律、零元、负元）和数乘（结合律、分配律、单位元 \(1\alpha=\alpha\)、数乘结合律）。本集要推出第 3、4、5、6 条性质。⏱ 00:02

性质 3 对任意 \(\alpha\in V\)，有

0\cdot\alpha = 0,

其中左边的 \(0\) 是数 0（\(k\) 中的零），右边是零向量（\(V\) 中的零元）。⏱ 00:40

证明（把数 0 写成 \(0+0\)，用第 7、8 条分配律搭桥）

左边是“关于数乘”的量，右边是“关于加法”的量，要把两者联系，桥梁就是分配律（第 7 条：\((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha\)）。⏱ 01:20

把数 \(0\) 写成 \(0+0\)：

0\alpha=(0+0)\alpha = 0\alpha+0\alpha.

两边加上 \(0\alpha\) 的负向量（利用“一个元素加上它的负元就是零元”，第 4 条公理）：

0\alpha+(0\alpha)^{-1} = \bigl(0\alpha+0\alpha\bigr)+(0\alpha)^{-1}.

左边就是 \(0\)（零向量）；右边用结合律把后两项先加：\(0\alpha+(0\alpha)^{-1}=0\)，再 \(0+0\alpha=0\alpha\)，故

0 = 0\alpha,

即 \(0\alpha=0\)。⏱ 03:45

2性质 4：\(k\cdot 0=0\) ⏱ 03:57

性质 4 对任意 \(k\in K\)，有

k\cdot 0 = 0,

即任何一个数乘以零向量还是零向量。⏱ 04:03

证明（把向量 0 写成 \(0+0\)，用第 8 条分配律搭桥）

这次左边是“关于加法”的零向量，要用联系两者的第 8 条（数乘对数乘的分配律 \(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)）。把零向量写成 \(0+0\)：

k\,0 = k(0+0)=k\,0+k\,0.

两边加上 \(k\,0\) 的负向量，左边得 \(0\)；右边结合律把后两项先加得 \(0\)，再 \(0+k\,0=k\,0\)，故 \(0=k\,0\)。⏱ 05:45

小结性质 3、4 都用到了“联系加法和数乘”的两条公理（第 7、8 条分配律）；一个是数 0 乘向量，一个是数乘向量 0。⏱ 05:56

3性质 5：\(k\alpha=0 \Rightarrow k=0\) 或 \(\alpha=0\) ⏱ 06:04

性质 5 若 \(k\alpha=0\)，则必有

k=0 \quad\text{或}\quad \alpha=0.

即“两个对象乘起来为零，则至少有一个为零”——类比实数中“\(ab=0\) 则 \(a=0\) 或 \(b=0\)”（注意 \(\alpha\) 不是实数，而是向量）。⏱ 06:34

证明（假设 \(k\neq0\)，推出 \(\alpha=0\)）

用反证思路：设 \(k\) 不是数 0，则 \(\alpha\) 必为零向量。因为 \(k\neq0\)，可取 \(k^{-1}\)（\(K\) 中非零数有逆），用第 5 条公理 \(1\alpha=\alpha\) 及数乘结合律：

\alpha = 1\,\alpha = (k^{-1}k)\,\alpha = k^{-1}(k\alpha).

由条件 \(k\alpha=0\)，代入得 \(\alpha = k^{-1}\cdot 0\)；再用性质 4（任意数乘零向量仍为零向量）得 \(k^{-1}\cdot 0=0\)，故 \(\alpha=0\)。⏱ 07:20

因此若 \(k\alpha=0\)，要么 \(k=0\)，要么 \(\alpha=0\)，二者必居其一。⏱ 08:19

4性质 6：\((-1)\alpha=-\alpha\) ⏱ 09:02

性质 6 对任意 \(\alpha\in V\)，有

(-1)\alpha = -\alpha,

即“数 \(-1\) 乘以 \(\alpha\)”就是“\(\alpha\) 的负向量”（几何上方向相反、长度相同的向量）。⏱ 09:21

证明（证明 \(\alpha+(-1)\alpha=0\)，由负元唯一性得 \((-1)\alpha=-\alpha\)）

负向量是关于加法的概念，\((-1)\alpha\) 是关于数乘的概念，要证明二者相等，只需证明 \(\alpha+(-1)\alpha=0\)（即它是 \(\alpha\) 的负元），而负元是唯一的。

\alpha+(-1)\alpha = 1\alpha+(-1)\alpha = (1+(-1))\alpha = 0\cdot\alpha = 0,

依次用了第 5 条公理（\(1\alpha=\alpha\)）、第 7 条分配律、实数中 \(1+(-1)=0\)、性质 3（\(0\cdot\alpha=0\)）。⏱ 10:40

既然 \(\alpha\) 加上 \((-1)\alpha\) 得零向量，\((-1)\alpha\) 就是 \(\alpha\) 的负元，即 \((-1)\alpha=-\alpha\)。丘老师强调：即便是“显然的”负数也应当严格证明，这正是训练数学严谨性。⏱ 11:35

六条性质小结本集（连同第 P20 集的性质 1、2）从八条公理出发，推出了六条性质，全部不依赖具体模型、对任何线性空间成立：

0\alpha=0,\quad k\,0=0,\quad k\alpha=0\Rightarrow k=0\ \text{或}\ \alpha=0,\quad (-1)\alpha=-\alpha.

⏱ 12:45

5几何子空间引例与子空间定义 ⏱ 13:06

用几何空间例子引入“子空间”概念。以 \(O\) 为起点的过原点的平面 \(\pi\)：其上任两个向量相加（平行四边形法则）仍在 \(\pi\) 上，任一向量的实数倍也在 \(\pi\) 上，故 \(\pi\) 自身成为实数域上的线性空间（一个子级）；而不过原点的平面 \(\pi_1\)（以 \(O\) 为起点、终点在 \(\pi_1\) 上的向量组成的集合），两向量相加或取倍数后终点会跑出 \(\pi_1\)，故加法/数乘都不封闭，不是子空间。⏱ 14:35

定义 · 线性子空间（子空间）设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的线性空间，\(U\) 是 \(V\) 的一个非空子集。若 \(U\) 对于 \(V\) 的加法和数量乘法也成为 \(K\) 上的一个线性空间（即“限制”在 \(U\) 上的加法与数乘使 \(U\) 本身满足八条公理），则称 \(U\) 是 \(V\) 的一个线性子空间（常简称“子空间”）。⏱ 16:05

“线性”二字在后续上下文中通常省略，直接称“子空间”。几何上：过原点的平面是子空间；过原点的任意直线是子空间；不过原点的平面或直线都不是子空间。⏱ 17:00

6子空间判定的两条封闭性 ⏱ 20:52

由定义可立即得到子空间的两个必要条件：若 \(U\) 是子空间，则

对加法封闭：若 \(\alpha,\beta\in U\)，则 \(\alpha+\beta\in U\)；
对数乘封闭：若 \(\alpha\in U,\ k\in K\)，则 \(k\alpha\in U\)。

本集到这里（时课到休息点）只给出了这两条必要条件，并说明要接着探讨“这两条是否也充分”——这一完整判定定理（非空 + 对加法封闭 + 对数乘封闭 \(\Leftrightarrow\) 子空间）将在第 P22 集给出证明。⏱ 22:54

本集悬念（下集开头解决）这两个封闭条件究竟是不是充分条件？本集停在“探讨它是不是充分条件，因为时间到休息”。第 P22 集开头即完成证明，得到子空间判定的等价形式。

★重点回顾

1

性质 3：\(0\cdot\alpha=0\)，性质 4：\(k\cdot 0=0\)。证明手法一致：把“0”写成“0+0”，用第 7/8 条分配律搭桥，再加负元得零。

2

性质 5：\(k\alpha=0\Rightarrow k=0\) 或 \(\alpha=0\)。用非零数取逆 \(k^{-1}\)，\(\alpha=k^{-1}(k\alpha)=k^{-1}\cdot0=0\)。

3

性质 6：\((-1)\alpha=-\alpha\)。证明 \(\alpha+(-1)\alpha=(1+(-1))\alpha=0\cdot\alpha=0\)，由负元唯一性得 \((-1)\alpha\) 即 \(-\alpha\)。

4

桥梁思想：加法是“关于加法”的概念，数乘是“关于数乘”的概念；要联系两者必须用同时涉及两者的公理（第 7、8 条分配律）。

5

线性子空间：非空子集 \(U\subseteq V\) 对 \(V\) 的加法与数乘封闭则 \(U\) 本身为子空间；几何上“过原点”的平面/直线才是子空间，不过原点则加法或数乘不封闭。

⚠易错点提醒

常见错误

区分“数 0”与“零向量 0”：性质 3 中 \(0\alpha=0\) 的左边 0 是数（\(K\) 的零），右边 0 是向量（\(V\) 的零元）；性质 4 中 \(k\,0=0\) 左边 0 是向量，右边 0 也是向量。丘老师反复强调这一点。
性质 5 的方向：是“\(k\alpha=0\) ⇒ 至少一个为 0”，不能反推（即“至少一个为 0 ⇒ \(k\alpha=0\)”也成立，但论证重点是前者）。证明关键是假设 \(k\neq0\) 取逆 \(k^{-1}\)。
子空间必须“非空”：定义要求 \(U\) 是非空子集；且由对数乘封闭可推出 \(0\in U\)（取 \(k=0\) 乘任意元素），故实际上 \(U\) 必含零向量。不要漏写“非空”。
“不过原点”的子集不是子空间：几何上，不过原点的平面/直线对加法（或数乘）不封闭——两向量相加或取倍数后终点跑出该平面/直线。这是判断“是否子空间”的典型反例。
“封闭”的限制含义：“\(V\) 的加法/数乘限制到 \(U\)”意思是运算结果仍落在 \(U\) 内；若结果跑出 \(U\)，则该运算不是 \(U\) 上的运算，\(U\) 不能继承八条公理。

✎自测与作业

仅用八条公理证明性质 4：对任意 \(k\in K\)，\(k\cdot0=0\)（提示：把零向量写成 \(0+0\)，用第 8 条分配律，再加 \(k\,0\) 的负元）。
证明性质 6：\((-1)\alpha=-\alpha\)（提示：先证 \(\alpha+(-1)\alpha=0\)，再用负元唯一性）。
若 \(k\alpha=0\) 且 \(k\neq0\)，证明 \(\alpha=0\)（用 \(k^{-1}\) 与性质 4）；并说明为何该结论类比实数“\(ab=0\) 则 \(a=0\) 或 \(b=0\)”。
设 \(V=\mathbb{R}^3\)，判断下列子集是否为其子空间，并说明理由：（a）\(U_1=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}\)；（b）\(U_2=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1\}\)。用“非空 + 加法封闭 + 数乘封闭”判定，指出 \(U_2\) 哪一步失败（提示：不过原点，0 不在其中）。
（几何题）在几何空间中，过原点 \(O\) 的平面 \(\pi\) 与一条不过 \(O\) 的直线 \(L\)，哪个是子空间？分别写出它们对加法/数乘封闭或不自封闭的说明（参照本集 s5 折叠引例）。
（承上启下）已知“\(U\) 非空且对加法、数乘封闭”是子空间的必要条件；试着补全证明其为充分条件：说明 8 条公理中 1、2、5、6、7、8 由封闭性自动满足，3、4 由“\(0\in U\) 且 \(-\alpha\in U\)”推出（这是第 P22 集开头的内容，可预习核对）。

下一集预告第 P22 集 · 四：笛卡尔积、线性子空间的判定（充分必要性完整证明）、生成子空间（张成/span）：\(\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle=\{k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s\}\) 是由向量组生成的子空间，以及用子空间“线性表出”判定线性方程组解。