高等代数 · 第 P22 集 · 四：笛卡尔积、线性子空间的判定、生成子空间

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◎学习目标

理解笛卡尔积 \(V\times V\)，并在此基础上定义“代数运算”：\(V\) 上的代数运算即 \(V\times V\to V\) 的映射（加法、减法），\(K\times V\to V\) 的映射则称为数量乘法；
紧接第 P21 集的悬念，完成线性子空间判定定理的证明：非空子集 \(U\subseteq V\) 是 \(V\) 的子空间 当且仅当 \(U\) 对 \(V\) 的加法封闭且对 \(V\) 的数量乘法封闭；
认识到判定子空间只需查“非空 + 加法封闭 + 数乘封闭”三条，不必逐条验证八条公理；并举出零子空间 \(\{0\}\) 与 \(V\) 本身这两个平凡子空间；
建立向量组、线性组合的概念，并证明“向量组全部线性组合构成的集合”\(W=\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\) 本身是 \(V\) 的子空间（即由向量组生成（张成）的子空间）；
引入线性表出：\(\beta\) 可由向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\) 属于其生成的子空间；并用于判断线性方程组是否有解。

1笛卡尔积与代数运算 ⏱ 00:01

本集开头补充“代数运算”的抽象定义（来自第 P19 集线性空间八条法则所用到的运算语言）。笛卡尔积 \(V\times V\) 是从直角坐标系抽象而来：一个点 \((a,b)\) 由横坐标 \(a\)、纵坐标 \(b\) 唯一确定，\((a,b)\) 这样的“有序对”集合就是笛卡尔积。⏱ 00:12

定义 · 代数运算 / 数量乘法设 \(V\) 是一个集合。
· \(V\times V\to V\) 的一个映射叫做 \(V\) 上的一个（代数）运算：例如整数加法把有序对 \((3,9)\) 映到 \(12\)，整数乘法把 \((2,3)\) 映到 \(6\)；
· \(K\times V\to V\) 的一个映射叫做 \(V\) 的数量乘法：\(K\) 中的数 \(k\) 与 \(V\) 中的元 \(\alpha\) 对应到 \(V\) 中的元，记为 \(k\alpha\)。⏱ 00:44

这个“运算/数乘”的基本概念是后续一切（子空间、生成子空间）的基础，务必搞清楚：\(不同的映射就对应不同的代数运算\)。⏱ 00:57

2子空间判定的充要条件 ⏱ 01:41

由定义（\(U\) 对 \(V\) 的加法和数乘封闭则继承八条公理成为子空间）可立即得到必要性；本集重点证明充分性。

定理 · 子空间判定设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的线性空间，\(U\) 是 \(V\) 的一个非空子集。则

U \text{ 是 } V \text{ 的子空间} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} \text{(i) 若 } \alpha,\beta\in U,\text{ 则 } \alpha+\beta\in U &(\text{加法封闭})\\[3pt] \text{(ii) 若 } \alpha\in U,\ k\in K,\text{ 则 } k\alpha\in U &(\text{数乘封闭}) \end{cases}

即：只需“非空 + 加法封闭 + 数乘封闭”三条即可判定子空间，无需逐条验证八条公理。⏱ 02:10

充分性证明（关键：补上 8 条公理中尚未说明的 3、4 条）

前提：\(U\) 对加法封闭、对数乘封闭。此时 \(V\) 的加法和数乘“限制”到 \(U\) 上即成为 \(U\) 的加法和数乘（因为运算结果仍落在 \(U\) 内）。⏱ 03:15

公理 1、2、5、6、7、8 自动满足：加法的交换律、结合律，以及数乘的分配律（第 5、6、7、8 条）——由于这些运算就是 \(V\) 中相应运算限制到 \(U\) 上，而 \(V\) 本身满足这些律，且运算结果不出 \(U\)，故 \(U\) 上同样满足。⏱ 04:30

补公理 3（零元）：\(U\) 非空，故取 \(\beta\in U\)；由数乘封闭，\(0\beta\in U\)；而性质 3（\(0\beta=0\)）说明这就是 \(V\) 的零向量，故 \(0\in U\)，即 \(U\) 有零元。⏱ 05:15

补公理 4（负元）：对 \(\alpha\in U\)，由数乘封闭 \((-1)\alpha\in U\)；由性质 6（\((-1)\alpha=-\alpha\)），\(U\) 中 \(\alpha\) 的负元仍在 \(U\) 内。⏱ 06:30

八条公理全部满足，故 \(U\) 成为 \(K\) 上的线性空间，即 \(U\) 是 \(V\) 的子空间。定理得证。⏱ 07:00

判定三问（实用口诀）判断一个非空子集 \(U\) 是否为 \(V\) 的子空间，只需问三件事：① 是否非空；② 对加法是否封闭；③ 对数乘是否封闭。三条全满足即为子空间，八条公理自动继承。⏱ 07:52

3零子空间与平凡子空间 ⏱ 08:08

例 · 平凡子空间

零子空间 \(\{0\}\)（只有零向量）：\(0+0=0\)，\(k\cdot0=0\)，加法数乘都封闭，是子空间（记号 \(\{0\}\) 与“零向量 0”、数“0”需区分：红别写零向量、黄别写零子空间、白别写数零）。⏱ 08:40
\(V\) 本身：\(V\) 对自身的加法和数乘显然封闭，是子空间。

这两个是最基本的（平凡的）子空间；\(V\) 中还存在非平凡子空间（下节生成子空间即大量例子）。

4向量组、线性组合与生成子空间 ⏱ 10:24

定义 · 向量组与线性组合把 \(V\) 中若干个向量按一定顺序写出 \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\)（\(s\ge1\)，甚至可只有一个向量），称为 \(V\) 中的一个向量组。⏱ 10:58
取 \(K\) 中一组数 \(k_1,\dots,k_s\)，用数乘得 \(k_i\alpha_i\)（仍是 \(V\) 中向量），再相加：

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s,

称为向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的一个线性组合。⏱ 11:35

定理 · 生成（张成）子空间向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的所有线性组合构成的集合

W=\langle\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\rangle =\{\,k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\mid k_1,\dots,k_s\in K\,\}

是 \(V\) 的一个子空间，称为由向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 生成（张成）的子空间；有些教材用 \(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\) 或 \((\alpha_1,\dots,\alpha_s)\) 记。

证明（验证非空、加法封闭、数乘封闭）

非空：取 \(k_1=\cdots=k_s=0\)，得 \(0\alpha_1+\cdots+0\alpha_s=0\in W\)，故 \(W\) 非空。⏱ 12:14

加法封闭：设 \(x=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s\)、\(y=\ell_1\alpha_1+\cdots+\ell_s\alpha_s\in W\)。由加法交换/结合律与数乘分配律，

x+y=(k_1+\ell_1)\alpha_1+\cdots+(k_s+\ell_s)\alpha_s\in W,

仍是 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的线性组合。⏱ 12:58

数乘封闭：设 \(a\in K\)，则

a\,x=a(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s)=(ak_1)\alpha_1+\cdots+(ak_s)\alpha_s\in W.

仍为线性组合。⏱ 14:10

由子空间判定定理（s2），\(W\) 是 \(V\) 的子空间。证毕。

老师提示“加法/数乘封闭的验证容易，空两行自己回去补。”本笔记保留思路框架。

关键观察随便给一个向量组，都能得到一个子空间，故 \(V\) 中子空间很多（包括无穷多个）。生成子空间的核心是：\(\(\beta\in W\) 当且仅当 \(\beta\) 可写成 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的线性组合\)。⏱ 15:46

5线性表出与方程组的解 ⏱ 16:24

定义 · 线性表出若对 \(\beta\in V\) 存在 \(K\) 中一组数 \(\ell_1,\dots,\ell_s\)，使得

\beta=\ell_1\alpha_1+\cdots+\ell_s\alpha_s,

则称 \(\beta\) 可由向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出；等价地，\(\beta\) 属于 \(\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\)。⏱ 17:10

丘老师“小试牛刀”：把 N 元线性方程组用向量语言简洁地写出。设方程组为

\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{s1}x_1+\cdots+a_{sn}x_n=b_s \end{cases}

把每个未知量 \(x_j\) 在各方程中的系数竖起来构成列向量 \(\alpha_j\in K^s\)，常数项构成列向量 \(\beta\in K^s\)，则方程组可写成 \(x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\beta\)。⏱ 19:45

有解的充要条件（用线性表出）

方程组有解 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(x_1,\dots,x_n\in K\) 使 \(x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\beta\) \(\Leftrightarrow\) \(\beta\) 可由系数构成的列向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\in\langle\alpha_1,\dots,\alpha_n\rangle\)。⏱ 21:55

这为下一章“判断线性方程组解”提供了新途径：把“方程组有没有解”转化为“常数项 \(\beta\) 是否落在系数列向量组生成的子空间里”。⏱ 23:15

★重点回顾

笛卡尔积 \(V\times V\) 引出代数运算（\(V\times V\to V\)）与数量乘法（\(K\times V\to V\)），是线性空间八条公理的语言基础。

子空间判定定理：非空 \(U\subseteq V\) 是子空间 \(\Leftrightarrow\) \(U\) 对加法、数乘封闭。证明关键是补上零元（用 \(0\beta=0\) 得 \(0\in U\)）与负元（用 \((-1)\alpha\in U\)）。

判定三问：非空？加法封闭？数乘封闭？三问全“是”即为子空间，八条公理自动继承——比逐条验证省事得多。

生成（张成）子空间 \(\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\)：全部线性组合构成的集合，是子空间（验证非空 + 两封闭）。

线性表出：\(\beta\) 可由向量组线性表出 \(\Leftrightarrow\) \(\beta\in\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\)；方程组有解 \(\Leftrightarrow\) 常数项列向量可由系数列向量组线性表出。

⚠易错点提醒

常见错误

判定子空间时漏“非空”：虽然由数乘封闭可推出 \(0\in U\)（取 \(k=0\)），但定义仍要求“非空子集”为前提；空集 \(\varnothing\) 不是子空间（无元素可封闭）。
把“加法封闭”或“数乘封闭”单独当充分条件：二者必须同时满足；只满足其一不足以成为子空间。
生成子空间 \(W\) 中“线性组合的系数取遍 \(K\)”：因为 \(K\) 有无穷多个数，故即使向量组只有有限个向量，其生成的 \(W\) 也可能含无穷多个向量；不要把 \(W\) 当成“只有这 \(s\) 个向量”。
线性表出 = 属于生成子空间：\(\beta\in\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\) 与“\(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出”是同一句话，别把“表出系数唯一”当成要求（线性无关时才唯一）。
方程组转向量语言：列向量 vs 行向量：本集把系数竖起来构成列向量 \(\alpha_j\)；若写成行向量，线性相关/无关判定结果本质相同，但要和“行列式”（列向量组的列矩阵行列式）统一口径（第 P23 集用到）。
\(\{0\}\)、0（零向量）、0（数零）三个“0”不同：零子空间 \(\{0\}\) 是含零向量的子空间；零向量是 \(V\) 的零元；数零是 \(K\) 的零，写笔记时最好用颜色/上下文区分。

✎自测与作业

设 \(V=\mathbb{R}^2\)，\(U=\{(x,y)\mid y=2x\}\)。用“非空 + 加法封闭 + 数乘封闭”三问判断 \(U\) 是否为 \(V\) 的子空间，写出验证过程。
证明：\(V\) 的任意两个子空间 \(U_1,U_2\) 的交集 \(U_1\cap U_2\) 仍是 \(V\) 的子空间（提示：先证交集非空——含零向量，再验证两封闭）。
设 \(\alpha_1=(1,2,3),\ \alpha_2=(0,1,1)\in\mathbb{R}^3\)，写出生成子空间 \(W=\langle\alpha_1,\alpha_2\rangle\) 的显式描述（\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\) 的坐标形式），并验证 \(W\) 加法、数乘封闭。
设 \(W=\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle\)，证明：若 \(\alpha_i\) 属于 \(\langle\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s\rangle\)，则 \(\langle\alpha_1,\dots,\alpha_s\rangle=\langle\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s\rangle\)（提示：用线性表出）。
把二阶齐次线性方程组 \(2x_1-x_2=0,\ x_1+3x_2=0\) 用列向量 \(\alpha_1,\alpha_2\) 与常数项 \(\beta=0\) 写成向量形式，并说明“该齐次方程组有非零解”等价于“什么关于 \(\alpha_1,\alpha_2\) 的线性表出/相关性质”（为第 P23 集线性相关做铺垫）。
（思考）为什么“向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的线性组合的系数取遍 \(K\)”能保证 \(W\) 非空？写出一个把“零向量 \(0\in W\)”直接写出的式子（提示：全取系数 0）。

下一集预告第 P23 集 · 五：向量组线性相关、线性无关——从“共线/不共线”的几何例子抽象出“线性相关”“线性无关”的定义，并把它与“相应齐次线性方程组有无非零解”“系数矩阵行列式是否为零”联系起来。