高等代数 · 课程学习笔记

第 P24 集 · 六：向量组线性相关、线性无关性质

Properties of Linear Dependence & Independence of Vector Systems
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P24 / 151 集 核心概念：部分组 · 零向量 · 线性表出等价刻画 · 表出唯一性
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◎学习目标

  1. 理解本章的任务：研究线性空间及其子空间的结构，其直接动力是「从线性方程组系数、常数项判断有无解」；⏱ 00:01
  2. 掌握单个向量的相关/无关判据：单向量组 \(\{\alpha\}\) 线性无关 ⟺ \(\alpha\neq 0\)；⏱ 03:16
  3. 掌握部分组与整组的相关/无关的互推关系，特别记住其逆否命题：整组无关 ⟹ 任意部分组无关；⏱ 05:33
  4. 记住含零向量的向量组必线性相关这条重要推论；⏱ 08:49
  5. 掌握核心等价刻画：线性相关（至少两个向量）⟺ 至少有一个向量可由其余向量线性表出；⏱ 10:11
  6. 理解并证明：若 \(\beta\) 可由线性无关组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 表出，则表出方式唯一；并会利用其逆否形式。⏱ 18:08

1单个向量的相关/无关 ⏱ 03:16

本集开头回顾：第三章的任务是研究线性空间和子空间的结构。上一集（P23）已经给出了线性相关、线性无关的定义。本集系统讨论这些性质。先考虑最简单的情形——只含一个向量的向量组。注意，向量组是有限个向量按一定顺序写出的，单个向量也算一个向量组。⏱ 03:16

命题 · 单向量组的相关/无关 单个向量 \(\alpha\) 组成的向量组 \(\{\alpha\}\) 线性相关 ⟺ \(\alpha = 0\)；线性无关 ⟺ \(\alpha \neq 0\)。⏱ 04:49
证明

（⟹）设 \(\{\alpha\}\) 线性相关，按定义，存在 \(k\in K\)，\(k\neq 0\)，使得 \(k\alpha=0\)。由数乘运算的性质（\(k\neq0\) 可除），两边乘以 \(k^{-1}\) 得 \(\alpha=0\)。⏱ 04:14

（⟸）若 \(\alpha=0\)，取 \(k\neq 0\)，则 \(k\alpha=k\cdot 0=0\)，故线性相关；若 \(\alpha\neq 0\)，对任何 \(k\neq 0\) 有 \(k\alpha\neq 0\)，故不存在非零 \(k\) 使 \(k\alpha=0\)，即线性无关。⏱ 04:23

直观理解 单个非零向量本身是线性无关的；零向量是线性相关的。这是判断多向量组相关/无关的起点——只要组里有零向量就相关（见 §3）。

2部分组与整组的相关/无关 ⏱ 05:33

设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 是一个向量组。它的一部分向量组成的向量组称为它的部分组（子组）。注意丘老师在 P26 特别强调：把全部向量取出来也算一个部分组（类似集合的子集，全集本身也是子集）。⏱ 05:33

命题 · 部分组相关 ⟹ 整组相关 若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的某个部分组线性相关，则整个向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关。⏱ 06:00
证明（把部分组相关系数扩展到整组）

设部分组 \(\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_r}\) 线性相关，则存在不全为零的数 \(k_{i_1},\dots,k_{i_r}\) 使得 \(k_{i_1}\alpha_{i_1}+\cdots+k_{i_r}\alpha_{i_r}=0\)。把整组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 中其余向量的系数全取为 0，即得整组一组不全为零的系数使其线性组合为 0，故整组线性相关。⏱ 06:16

逆否命题 · 整组无关 ⟹ 任意部分组无关 上命题的逆否命题为：若向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，则它的任意部分组都线性无关。（⏱ 07:34）
\[ \alpha_1,\dots,\alpha_s \text{ 线性无关} \;\Longrightarrow\; \text{任一子组均线性无关}. \]
这是本章使用频率很高的结论，务必牢记。

3含零向量的向量组必线性相关 ⏱ 08:49

把 §1 的「单个零向量线性相关」与 §2 的「部分组相关 ⟹ 整组相关」结合：

推论 若向量组中有一个向量是零向量，则整个向量组线性相关。（⏱ 09:05）
\[ 0\in\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\} \;\Longrightarrow\; \alpha_1,\dots,\alpha_s \text{ 线性相关}. \]
证明：\(\{\mathbf{0}\}\) 是它的一个部分组，由 §1 知单零向量组相关，再由 §2 即得整组相关。
使用提示 判定一组向量是否线性相关时，先扫一眼有没有零向量——有则直接判相关，无须再算。这是课堂上反复强调的快速判据。

4线性相关 ⟺ 某一向量可被其余向量线性表出 ⏱ 10:11

这是本集最重要的一条性质，也是后续（P25 线性表出、极大线性无关组）的基础。

命题 · 线性相关的“可表出”刻画 设向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)（\(s\ge 2\)），则它线性相关 ⟺ 其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。即存在某个 \(i\)，使得 \(\alpha_i\) 可表为
\[ \alpha_i = k_1\alpha_1+\cdots+k_{i-1}\alpha_{i-1}+k_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+k_s\alpha_s \]
的形式（右边不含 \(\alpha_i\) 本身）。⏱ 10:11
证明（两个方向）

(⟹) 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。由于不全为零，至少有一个 \(k_i\neq 0\)。把 \(k_i\alpha_i\) 留在左边，其余项移到右边：⏱ 11:49

\[ k_i\alpha_i = -k_1\alpha_1-\cdots-\widehat{k_i\alpha_i}-\cdots-k_s\alpha_s \]

两边除以 \(k_i\)，即得 \(\alpha_i\) 由其余向量线性表出。

(⟸) 反过来，若某个 \(\alpha_i\) 可由其余向量表出，即 \(\alpha_i=L_1\alpha_1+\cdots+L_{i-1}\alpha_{i-1}+L_{i+1}\alpha_{i+1}+\cdots+L_s\alpha_s\)，把 \(\alpha_i\) 移到右边得⏱ 14:21

\[ -L_1\alpha_1-\cdots-\alpha_i-L_{i+1}\alpha_{i+1}-\cdots-L_s\alpha_s = 0, \]

其中 \(\alpha_i\) 的系数为 \(-1\neq 0\)，故存在不全为零的系数使整组线性组合为 0，即整组线性相关。

至此正反两方向都成立，命题得证。丘老师总结：线性相关的向量组“至少有一个向量可由其余向量线性表出”；线性无关的向量组则“每一个向量都不能由其余向量线性表出”——组内向量彼此“不团结、互不表示”。⏱ 17:45

注意前提 该刻画要求向量组至少含两个向量。单向量情形由 §1 单独处理（单非零向量无关，单零向量相关）。

5表出方式唯一性的刻画 ⏱ 18:08

本节从几何直觉出发：在过定点的平面上，只要取定两个不共线的向量 \(A,B\)，平面上任一向量由 \(A,B\) 的表出是唯一的。由此推广到一般线性空间。

命题 · 线性无关组表出方式唯一 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，若 \(\beta\) 可由它们线性表出，则表出方式唯一。即若
\[ \beta = a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s = b_1\alpha_1+\cdots+b_s\alpha_s, \]
则 \(a_i=b_i\)（\(i=1,\dots,s\)）。⏱ 19:31
证明（两式相减）

两式相减得 \((a_1-b_1)\alpha_1+\cdots+(a_s-b_s)\alpha_s=0\)。因 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，故所有系数为 0，即 \(a_i-b_i=0\)，\(a_i=b_i\)。⏱ 21:00 表出方式唯一，证毕。

逆向（必要条件）：表出唯一 ⟹ 向量组线性无关

丘老师进一步指出，「线性无关」其实是「表出方式唯一」的充分必要条件（在 \(\beta\) 可被表出的前提下）。⏱ 21:28

必要方向用反证：若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。已知 \(\beta=a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s\)，于是⏱ 21:47

\[ \beta = (a_1+k_1)\alpha_1+\cdots+(a_s+k_s)\alpha_s. \]

由于 \(k_i\) 不全为 0，新系数组 \((a_i+k_i)\) 与 \((a_i)\) 至少有一个分量不同，即 \(\beta\) 有两种不同的线性表出方式，与「表出方式唯一」矛盾。故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 必须线性无关。

为什么唯一性重要 丘老师用《西游记》打比方：妖怪变化多端（表出方式不唯一），唐僧肉眼看不出破绽；只有火眼金睛才行。对学习者而言，表出方式唯一意味着「一看就是它」，不添乱。因此后续研究子空间结构时会寻找「表出方式唯一」的生成组——即极大线性无关组（下一集 P25 的主题）。

★重点回顾

1
单向量组：\(\{\alpha\}\) 线性无关 ⟺ \(\alpha\neq 0\)；线性相关 ⟺ \(\alpha=0\)。
2
部分组相关 ⟹ 整组相关；逆否：整组无关 ⟹ 任意部分组无关。
3
含零向量必相关：组中只要有一个 0 向量，整组即线性相关（结合 §1+§2）。
4
核心刻画：\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)（\(s\ge2\)）线性相关 ⟺ 至少有一个 \(\alpha_i\) 可由其余向量线性表出；线性无关 ⟺ 每一个向量都不能由其余向量表出。
5
表出唯一性：若 \(\beta\) 可由向量组表出，则表出方式唯一 ⟺ 该向量组线性无关。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 「整组相关 ⟹ 部分组相关」是错的。正确方向是「部分组相关 ⟹ 整组相关」。整组相关时部分组可能相关也可能无关。
  2. 「可表出 ⟹ 一定相关」需要前提：只有「至少两个向量」时，「某一向量可被其余表出」才等价于相关；单向量时不适用。
  3. 「表出唯一 ⟺ 向量组无关」的前提是 \(\beta\) 确实可被该组表出。若 \(\beta\) 根本不能被表出，则「唯一性」无从谈起。
  4. 部分组可以等于整组：取全部向量也是一个部分组（类似全集是自身的子集），不要误以为部分组必须「少几个」。
  5. 逆否方向不要写反：由「部分组相关 ⟹ 整组相关」取逆否得「整组无关 ⟹ 任意部分组无关」；若写成「整组无关 ⟹ 部分组无关」时遗漏「任意」二字，含义会弱化。

✎自测与作业

  1. 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_5\) 线性无关，证明其任意一个含 3 个向量的部分组（如 \(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_5\)）也线性无关。
  2. 证明：若向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 中含零向量，则该组线性相关。并说明其逆命题「相关 ⟹ 含零向量」是否成立（举反例）。
  3. 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关。证明 \(\alpha_3\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性表出，并说明表出方式唯一。
  4. 设 \(\beta=2\alpha_1-3\alpha_2\)，且 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关。若 \(\beta=\alpha_1+c\alpha_2\) 也成立，求 \(c\) 的值（利用表出唯一性）。
  5. （思考）设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，\(\beta\) 可由它们表出。证明：若 \(a_1\alpha_1+\cdots+a_s\alpha_s=b_1\alpha_1+\cdots+b_s\alpha_s\)，则 \(a_i=b_i\)（\(i=1,\dots,s\)）；并说明该结论为何依赖「线性无关」。
  6. （选做）用 §4 的刻画证明：若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，且 \(\beta\) 不能被它们表出，则新组 \(\beta,\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 仍线性无关。（提示：反证，若新组相关则由 §4 某向量可被其余表出，导出矛盾。）
下一集预告 第 P25 集 · 七：线性表出、极大线性无关组。引入「向量组可由向量组线性表出」的简记、极大线性无关组的定义（部分组本身无关且再添任一向量即相关），为下一集 P26 的向量组等价与秩做铺垫。