高等代数 · 课程学习笔记

第 P26 集 · 八：向量组等价与性质

Equivalence of Vector Systems & Its Properties
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P26 / 151 集 核心概念：向量组表出 · 等价向量组 · 等价三性质 · 与极大无关组等价 · 传递性证明
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◎学习目标

  1. 按中文习惯复述极大线性无关组的定义，消除「部分组不能等于整组」的误解；⏱ 00:00
  2. 通过几何例子（过定点平面上四个向量 \(A,B,C,D\)）体会同一向量组存在多个极大线性无关组；⏱ 02:55
  3. 证明：向量组与它的任意极大线性无关组等价（即互相线性表出）；⏱ 06:47
  4. 掌握等价向量组的定义（两组互相线性表出）及等价关系的三性质：反射性、对称性、传递性；⏱ 15:52
  5. 理解并会用二重求和的连加交换次序来证明「线性表出具有传递性」。⏱ 25:18

1极大线性无关组定义（中文化复述） ⏱ 00:00

上一集（P25）已按英文语序给过定义。本集开头丘老师特意用中文语序复述一遍，以消除「部分组不能是全部」的误解。

定义 · 极大线性无关组（中文语序复述） 向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的一个部分组，若满足：
  1. 该部分组本身线性无关；
  2. 从原向量组的其余向量中任取一个添进来（若还有其余向量的话），所得新部分组都线性相关。
则称该部分组为原向量组的一个极大线性无关组。⏱ 00:28
关键澄清 丘老师强调：「部分组可以等于整组」——类似集合的子集，全集本身也是子集。不要把「部分」理解为「必须少几个」。若整组本身线性无关，则整组即自身唯一的极大线性无关组。学数学要「学活一点」，不要小学式地抠概念。⏱ 01:14

2几何例：找极大无关组（存在多个） ⏱ 02:55

丘老师用一个直观例子：过定点 \(O\) 的平面上取四个不同方向的非零向量 \(A,B,C,D\)（如图，两两不共线）。设向量组为 \(\{A,B,C,D\}\)。

找极大线性无关组的过程

第一步：先取一个非零向量，如 \(A\)。单个非零向量线性无关。但它不是极大的——\(B\) 填进来，\(\{A,B\}\) 仍线性无关（不共线），不符合「添一个就相关」。⏱ 03:39

第二步：把 \(B\) 填进来，部分组 \(\{A,B\}\) 线性无关。从剩余向量 \(\{C,D\}\) 中任取一个添入：把 \(C\) 添进来，因 \(C\) 在平面内可由 \(A,B\) 线性表出（两不共线向量生成整个平面），故 \(\{A,B,C\}\) 相关；同理 \(D\) 也可由 \(A,B\) 表出，\(\{A,B,D\}\) 相关。因此 \(\{A,B\}\) 是一个极大线性无关组。⏱ 04:19

第三步：同理，\(\{A,C\}\)、\(\{B,C\}\)、\(\{A,D\}\)、\(\{B,D\}\)、\(\{C,D\}\) 也都是极大线性无关组（任两个不共线向量均可生成整个平面，再添第三个必共面相关）。⏱ 05:16

结论：同一向量组的极大线性无关组不止一组，有多个。这就引出问题：它们之间有什么联系？

「桥」的比喻 丘老师说：两个极大无关组像在河的两岸，需要一个「桥」把它们联系起来。这个桥就是原向量组本身——先研究「一个极大无关组与原向量组」的关系，过这个桥就自然联系上另一组。

3极大无关组与整组互相线性表出 ⏱ 06:47

设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 为一个向量组，\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\)（\(m\le s\)）是它的一个极大线性无关组。证明两组互相表出：

命题 · 极大无关组与整组互相线性表出 向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的任意一个极大线性无关组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 与整组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 互相线性表出，故两组等价。⏱ 06:47
证明（两个方向）

(1) 极大组中每个向量可由整组表出：对 \(\alpha_j\)（\(1\le j\le m\)），它是整组中的一个向量，显然有⏱ 07:39

\[ \alpha_j = 0\cdot\alpha_1+\cdots+\widehat{1\cdot\alpha_j}+\cdots+0\cdot\alpha_s. \]

即极大组的每个向量可由整组线性表出。

(2) 整组中每个向量可由极大组表出：若 \(1\le i\le m\)，则 \(\alpha_i\) 已在极大组中，自然可由极大组表出。⏱ 08:29

关键是 \(m<i\le s\) 的情形：\(\alpha_g\)（\(m<g\le s\)）不在极大组中。由极大无关组定义，把 \(\alpha_g\) 添入极大组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 后所得新组线性相关。而 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 本身线性无关，由上一集（P25）的「添向量命题」可知 \(\alpha_g\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) 线性表出。⏱ 11:29

于是整组中每个向量都可由极大组表出，两个方向都成立，命题得证。

简化记法（向量组表出） 若向量组 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 中每个向量都可由向量组 \(\beta_1,\dots,\beta_r\) 线性表出，则简记为⏱ 14:30
\[ \{\alpha_1,\dots,\alpha_s\} \text{ 可由 } \{\beta_1,\dots,\beta_r\} \text{ 线性表出}. \]
若两组互相线性表出，则称两组等价，记作 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\sim\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\)（仿三角形全等记号）。⏱ 16:23

4等价关系的三条基本性质 ⏱ 16:23

命题 · 向量组等价的三性质 设向量组等价定义为「两组互相线性表出」，则等价关系满足：⏱ 16:23
  1. 反射性：每个向量组与自身等价（自身显然可互相表出）；
  2. 对称性：若 \(\alpha\) 组等价 \(\beta\) 组，则 \(\beta\) 组等价 \(\alpha\) 组（互为表出是对称的）；
  3. 传递性：若 \(\alpha\) 组等价 \(\beta\) 组，且 \(\beta\) 组等价 \(\gamma\) 组，则 \(\alpha\) 组等价 \(\gamma\) 组。
等价是向量组之间的一种「二在一、必其一」的关系：两组要么等价，要么不等价（类似「同乡关系」的比喻）。⏱ 15:32
传递性的证明思路

要证 \(\alpha\) 组等价 \(\gamma\) 组，只需证两组互相表出。由假设 \(\alpha\) 组可由 \(\beta\) 组表出，且 \(\beta\) 组可由 \(\gamma\) 组表出，则「\(\alpha\) 组可由 \(\gamma\) 组表出」由线性表出的传递性得出。⏱ 18:23

反过来：\(\gamma\) 组可由 \(\beta\) 组表出，\(\beta\) 组可由 \(\alpha\) 组表出，故 \(\gamma\) 组可由 \(\alpha\) 组表出。两个方向都成立，等价传递性得证。

5线性表出传递性的证明（二重求和交换次序） ⏱ 25:18

丘老师专门讲解证明中用到的二重连加求和交换次序（类似会计按行加、按列加结果相同）：

工具 · 二重求和交换
\[ \sum_{i=1}^{s}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{s} a_{ij}. \]
先按行加、再按列加，与先按列加、再按行加，结果相同。这是有限和的交换律，本集用它来证明表出的传递性。⏱ 25:18
传递性完整证明

设 \(\alpha\) 组 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\) 可由 \(\beta\) 组 \(\{\beta_1,\dots,\beta_r\}\) 表出，即对每个 \(i\)：

\[ \alpha_i = \sum_{j=1}^{r} a_{ij}\,\beta_j. \quad (\text{I}) \]
又设 \(\beta\) 组可由 \(\gamma\) 组 \(\{\gamma_1,\dots,\gamma_t\}\) 表出，即对每个 \(j\)：
\[ \beta_j = \sum_{\ell=1}^{t} b_{j\ell}\,\gamma_\ell. \quad (\text{II}) \]
把 (II) 代入 (I)：
\[ \alpha_i = \sum_{j=1}^{r} a_{ij}\left(\sum_{\ell=1}^{t} b_{j\ell}\,\gamma_\ell\right) = \sum_{j=1}^{r}\sum_{\ell=1}^{t} a_{ij}\,b_{j\ell}\,\gamma_\ell. \]
利用二重求和交换次序（\(a_{ij}\) 与内层 \(\ell\) 无关，可提出）：
\[ \alpha_i = \sum_{\ell=1}^{t}\left(\sum_{j=1}^{r} a_{ij}\,b_{j\ell}\right)\gamma_\ell. \]
这表明每个 \(\alpha_i\) 可由 \(\gamma_1,\dots,\gamma_t\) 线性表出，即 \(\alpha\) 组可由 \(\gamma\) 组表出。同理可证反向，故 \(\alpha\) 组等价 \(\gamma\) 组。⏱ 31:52

为什么需要二重求和交换 丘老师说：「你需要用到的数学连加（二重连加）交换，这个你学过没有？没学过就讲一下。讲完以后你看我书上教材的证明就看懂了。」此技巧在后续矩阵运算（乘法的和式）中会反复出现。

★重点回顾

1
极大线性无关组：部分组本身无关 + 添任一剩余向量即相关。部分组可等于整组。
2
多个极大无关组：同一向量组可有多个极大无关组（几何例：平面内任两个不共线向量即为一组）。
3
极大无关组与整组等价：极大组中每个向量可由整组表出（恒等），整组中每个向量可由极大组表出（用 P25 添向量命题）。
4
等价 = 互相线性表出，具反射性、对称性、传递性。传递性证明核心是「线性表出具有传递性」。
5
二重求和交换：\(\sum_i\sum_j = \sum_j\sum_i\)，用于把「A 由 B 表出 + B 由 C 表出」化为「A 由 C 表出」。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 部分组可等于整组：不要误以为「部分」必须严格小于全部。整组本身线性无关时，整组即自身唯一极大无关组。
  2. 极大无关组不唯一：不要默认「只有一组」。平面内四个不共线向量有 \(C_4^2=6\) 个极大无关组（任意两个）。
  3. 证明「整组向量可由极大组表出」时，必须区分两类：\(i\le m\)（已在极大组中，恒等表出）与 \(i>m\)（需用 P25 添向量命题）。遗漏第二类则证明不完整。
  4. 传递性证明中求和代入：把 (II) 代入 (I) 后，\(a_{ij}\) 与内层 \(\ell\) 无关，可提到内层求和外面——这正是二重求和交换次序的应用。不要漏掉提取 \(a_{ij}\)。
  5. 等价符号 \(\sim\) 只用于向量组之间：不要与「向量相等」「矩阵相似」混淆。等价是向量组层面的关系，不是向量层面的。

✎自测与作业

  1. 设向量组 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}\) 中 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关，且 \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_4=2\alpha_1-3\alpha_2\)。求该组的一个极大线性无关组，并验证定义的两个条件。
  2. 证明：若 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，则它自身的唯一极大线性无关组就是 \(\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}\)（即整组），并说明此时条件 (2) 如何自动满足。
  3. 设 \(\alpha\) 组可由 \(\beta\) 组表出，\(\beta\) 组可由 \(\gamma\) 组表出。写出从「\(\alpha_i\) 由 \(\beta_j\) 表出」与「\(\beta_j\) 由 \(\gamma_\ell\) 表出」推出「\(\alpha_i\) 由 \(\gamma_\ell\) 表出」的完整公式（用二重求和交换）。
  4. 验证等价关系的反射性与对称性：写出「向量组由自身表出」的系数矩阵形式，并说明「A 由 B 表出」推出「B 由 A 表出」为何成立（即互为表出是对称的）。
  5. （思考）丘老师用「同乡关系」比喻等价关系：两个同学同乡即等价，不同乡即不等价。试说明这个比喻抓住了等价关系的哪个核心特征（二在一必其一），并指出它没有反映等价关系的哪个性质（提示：传递性）。
  6. （选做）设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 为平面内两个不共线向量，\(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\alpha_4=\alpha_1-\alpha_2\)。列出该组所有极大线性无关组，并用 P25 添向量命题验证每组都满足「添剩余向量即相关」。
下一集预告 第 P27 集 · 九：向量组的秩（Rank）。引入「极大线性无关组中向量的个数」为向量组的秩，证明同一向量组任意两个极大无关组所含向量个数相同（即秩的唯一性），从而向量组的秩是良好定义的。