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◎学习目标
- 理解线性空间维数唯一性定理：若有限维线性空间 \(V\) 的两个基分别为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 和 \(\beta_1,\dots,\beta_m\)，则 \(m=n\)；
- 掌握维数 dim\(_K V\) 的定义：有限维时维数 = 基中向量个数；无限维时记为 \(\infty\)；只含零向量的空间维数为 0；
- 理解向量在基下的坐标：若基为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，向量 \(\alpha\) 可唯一表示为 \(a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n\)，系数组成的列向量 \(\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\) 即为坐标；
- 掌握 \(K^n\) 的标准基 \(\boldsymbol{1}_1,\boldsymbol{1}_2,\dots,\boldsymbol{1}_n\) 及坐标即自身的结论；
- 通过几何空间（三维空间、二维平面、一维直线）与 \(K^n\) 的标准基等例子，建立"维数"概念的几何直觉。
1维数唯一性定理的证明 ⏱ 00:02
本集紧接上一集（第 P29 集"线性空间的基"）的推导。上一集给出了"基"的定义：线性空间 \(V\) 的一个子集 \(\mathcal{S}\) 称为 \(V\) 的一个基（basis），如果满足：(i) \(\mathcal{S}\) 线性无关；(ii) \(V\) 中每一个向量可由 \(\mathcal{S}\) 中有限多个向量线性表出。⏱ 00:11
定理 2 · 维数唯一性（Steinitz 交换定理的应用）
若 \(V\) 是有限维线性空间，即存在一个有限子集（有限多个向量）构成的基，则 \(V\) 的任意两个基所含向量个数相等。
设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一个基，\(\beta_1,\dots,\beta_m\) 是 \(V\) 的另一个基，则 \(m=n\)。
证明思路（Steinitz 交换 / 基扩张论证）
设 \(m \leq n\)（对称性，不妨先证 \(m \leq n\)）。⏱ 00:02
由于 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的基，\(\beta_1,\dots,\beta_m\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出（基的定义第二条）。⏱ 00:27
同时，\(\beta_1,\dots,\beta_m\) 也是 \(V\) 的基，故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 可由 \(\beta_1,\dots,\beta_m\) 线性表出。⏱ 00:49
两组向量互相线性表出（即"等价"），且都线性无关。根据上一节（第 P29 集）的Steinitz 交换引理（或称"等价无关组等长引理"）：两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，因此 \(m = n\)。⏱ 01:18
老师强调"这个基的概念是高等代数最重要的概念，所以今天这堂课是关键一堂课，每个同学要希望全地、一幅来把这个概念搞清楚。今天这堂课是整个高等代数最重要的一堂课，因为它基本上的结构——我们现代数学观念就是要研究结构，不是广算，算是第二位的，研究结构是第一位的。" ⏱ 02:09
推论：无限维空间的基也是无限的
若 \(V\) 是无限维的（即存在一个基是无限子集），则 \(V\) 的任意一个基都是无限子集。⏱ 03:19
证明思路（反证）：假设存在一个基 \(S'\) 是有限子集，即 \(S' = \{\beta_1,\dots,\beta_n\}\)。由维数唯一性定理，\(V\) 中任意另一个基的向量个数也等于 \(n\)。但原来的基 \(S\) 是无限子集，与"任意基含 \(n\) 个向量"矛盾。故 \(V\) 的任意基都是无限子集。⏱ 04:25
注意：对于有限维，我们有"等价无关组等长"；对于无限维，目前没有"两个无限基等价"的讨论（只讨论了有限向量组的等价），所以用反证法处理。
2维数的定义（有限维 / 无限维） ⏱ 06:57
定义 · 线性空间 \(V\) 的维数 dim\(_K V\)
- 若 \(V\) 是有限维的（即有一个有限子集构成的基），则 \(V\) 的维数 = 任意一个基所含向量的个数，记作 \(\dim_K V = n\)；
- 若 \(V\) 是无限维的（即所有基都是无限子集），则 \(\dim_K V = \infty\)；
- 若 \(V\) 只含零向量（即 \(V = \{\boldsymbol{0}\}\)），则 \(\dim_K V = 0\)（规定空集是它的基，含 0 个向量）。
推论 · \(V\) 是 \(n\) 维空间的充要条件
若 \(\dim_K V = n\)，则 \(V\) 中任意 \(n+1\) 个向量都线性相关。⏱ 07:00
证明思路：取 \(V\) 的任意 \(n+1\) 个向量 \(\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\)。由于 \(V\) 有一个基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，\(\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性表出。但 \(n+1 > n\)，由 Steinitz 引理（第 P29 集），\(\beta_1,\dots,\beta_{n+1}\) 线性相关。
由此，\(V\) 中任意 \(n+2\)、\(n+3\)、……个向量也都线性相关（因为其中任意 \(n+1\) 个已线性相关，整个组更相关）。⏱ 08:00
关于无限维的进一步讨论
无限维基可能有可数无限（与整数集建立一一对应）或不可数无限（如实数集），对应不同的"基数"（\(\aleph_0\)、\(\aleph_1\) 等）。但在初学阶段，我们只需记 \(\dim V = \infty\)，不必区分可数与不可数。⏱ 09:30
3向量在基下的坐标表示 ⏱ 09:40
设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，取 \(V\) 的一个基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)。对 \(V\) 中任意向量 \(\alpha\)，由基的定义（第一条：线性无关；第二条：生成性）：
定义 · 向量 \(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标
\(\alpha\) 可唯一表示为
\[ \alpha = a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_n \alpha_n. \]
系数 \(a_1,\dots,a_n\) 组成的列向量
\[ (a_1, a_2, \dots, a_n)^T = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \]
称为 \(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标。
重要约定：坐标写成列向量
丘老师在本集强调："从今后开始，我们讲坐标一定只写着列，不要写成横，强调坐标要写着列，这样统一起写。" ⏱ 10:00
坐标是 \(n\) 元列向量，不是行向量。这一约定在后续矩阵运算中极为重要（矩阵乘法 \(A\mathbf{x}\) 中 \(\mathbf{x}\) 是列向量）。
表出方式唯一性（坐标唯一）的证明
由于基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 线性无关，若
\[ \alpha = a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n = b_1\alpha_1+\cdots+b_n\alpha_n, \]
则 \((a_1-b_1)\alpha_1+\cdots+(a_n-b_n)\alpha_n = \boldsymbol{0}\)。由线性无关性，\(a_i-b_i=0\) 对所有 \(i\) 成立，故 \(a_i=b_i\)。表出方式唯一。
这正是第 P28 集中"线性无关向量组的线性表出方式唯一"（命题 E）的结论在本集中的应用。⏱ 10:12
4几何空间与 \(K^n\) 的例子 ⏱ 10:26
例 1 · 几何空间
几何直观
- 三维空间：取三个不共面的向量 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，它们线性无关，且空间中任何向量都可由其线性表出。故 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}\) 是几何空间的一个基，几何空间是三维的。⏱ 11:24
- 过定点 \(O\) 的平面：两个不共线向量构成基，平面是二维的。⏱ 11:40
- 过定点 \(O\) 的直线：取直线上一个非零向量 \(\boldsymbol{\beta}\)，则直线上任何向量都是 \(\boldsymbol{\beta}\) 的数倍。单向量 \(\{\boldsymbol{\beta}\}\) 是基，直线是一维的。⏱ 12:13
注意几何空间指"由定点 \(O\) 出发的所有向量"。只有过定点 \(O\) 的平面 / 直线才是线性空间；不过 \(O\) 的平面 / 直线不是线性空间（加法不封闭，数乘不封闭）。⏱ 12:48
例 2 · \(K^n\) 的标准基
标准基 (Standard Basis)
设 \(K\) 是数域，\(K^n\) 是由 \(K\) 上的 \(n\) 元有序数组（列向量）组成的线性空间。取
\[ \boldsymbol{1}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\;
\boldsymbol{1}_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots\\0\end{pmatrix},\;
\dots,\;
\boldsymbol{1}_n = \begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\1\end{pmatrix}. \]
这 \(n\) 个向量（第 \(i\) 个分量是 1、其余全是 0）线性无关（验证：把 \(n\) 个向量作为列组成矩阵即单位矩阵 \(I_n\)，\(\det I_n = 1 \neq 0\)），且生成整个 \(K^n\)（任何 \(n\) 元列向量可分解为这 \(n\) 个标准基向量的线性组合）。故 \(\boldsymbol{1}_1,\dots,\boldsymbol{1}_n\) 是 \(K^n\) 的一个基，称为标准基。⏱ 13:01
关键结论：\(K^n\) 中任何向量 \(\alpha\) 在标准基下的坐标就是 \(\alpha\) 本身！⏱ 13:39
\[ \alpha = a_1\boldsymbol{1}_1 + a_2\boldsymbol{1}_2 + \cdots + a_n\boldsymbol{1}_n
= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}. \]
坐标 \((a_1,a_2,\dots,a_n)^T = \alpha\) 本身。
这就是"标准基"特别方便的原因：坐标一写就写出来，不用额外计算。
例 3 · \(K^n\) 维数验证
\(\dim_K K^n = n\)
标准基含 \(n\) 个向量，由维数唯一性定理，\(K^n\) 的维数是 \(n\)。
★重点回顾
1
维数唯一性定理：有限维线性空间任意两个基所含向量个数相等（Steinitz 交换引理的推论）。这是"维数"概念有意义的前提。
2
dim\(_K V\) 的定义：有限维 → 基中向量个数；无限维 → \(\infty\)；只含零向量 → 0（空集为基）。维数必须指明是在数域 \(K\) 上的，记 dim\(_K V\)。
3
坐标：向量 \(\alpha\) 在基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 下的坐标 = 表出系数组成的列向量。坐标唯一（基线性无关保证）。
4
\(K^n\) 的标准基 \(\boldsymbol{1}_1,\dots,\boldsymbol{1}_n\)：坐标即自身。\(\dim K^n = n\)。验证线性无关：矩阵 = 单位阵，行列式 = 1。
5
几何直觉：空间三维、平面二维、直线一维；只含零向量空间零维。注意"过定点 O"的限定条件（不过 O 的不是线性空间）。
⚠易错点提醒
常见错误
- 维数必须带下标 \(K\)：\(\dim_K V\) 强调是在数域 \(K\) 上。同一向量空间在不同数域上维数可能不同（如 \(\mathbb{C}\) 作为 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间是 2 维的，作为 \(\mathbb{C}\) 上的线性空间是 1 维的）。
- 坐标一定写成列向量：丘老师反复强调"从今后开始，坐标只写着列"。写成行向量在后续矩阵运算中会导致混淆。
- 只含零向量的线性空间：维数 = 0（空集 \(\varnothing\) 是它的基），不要误认为"没有基"。
- "N 个线性无关向量 = 基"需要维数前提：在 \(n\) 维空间中，\(n\) 个线性无关向量自动是基（下一集 P31 证明）。但在未指定维数时不能直接用。
- 几何空间中"过定点 \(O\)"：不过 \(O\) 的平面 / 直线对加法不封闭（两个不过 \(O\) 的点的和一般不过 \(O\)），不是线性空间。务必注意这个限定。
✎自测与作业
- 设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间，由向量 \((1,0,0)\) 和 \((0,1,0)\) 生成。求 \(V\) 的维数，并写出 \(V\) 中向量 \((3,5,0)\) 在该基下的坐标。
- 验证 \(K^n\) 的标准基 \(\boldsymbol{1}_1,\dots,\boldsymbol{1}_n\) 线性无关：把 \(n\) 个标准基向量作为列组成矩阵，计算其行列式，说明它等于 1。
- 设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^4\) 的子空间，由 \((1,2,3,4)\)、\((0,1,1,0)\)、\((0,0,1,1)\) 生成。求 \(V\) 的维数（提示：验证三个向量线性无关，则 \(\dim V = 3\)）。
- 证明：若 \(V\) 是 \(n\) 维空间，则 \(V\) 中任意 \(n+1\) 个向量线性相关（用 Steinitz 引理 / 基的定义，参考本集 s2 折叠证明）。
- 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(n\) 维空间 \(V\) 的一个基，\(\beta = a_1\alpha_1+\cdots+a_n\alpha_n\)。若将基换为 \(\alpha_2,\dots,\alpha_n,\alpha_1\)（循环置换），求 \(\beta\) 在新基下的坐标。
- （选做）说明 \(\mathbb{C}\) 作为 \(\mathbb{R}\) 上的线性空间是 2 维的（基可取 \(\{1, i\}\)），但作为 \(\mathbb{C}\) 上的线性空间是 1 维的（基可取 \(\{1\}\)）。
下一集预告
第 P31 集 · 十三：线性无关向量组与基、子空间维数。将证明"N 个线性无关向量在 N 维空间中即为基"，以及基扩张定理（无关向量组可扩充成基），并得出子空间维数 ≤ 空间维数的结论。