高等代数 · 课程学习笔记

第 P33 集 · 十五：子空间与向量组等价、行秩与列秩

Subspace Generated by Vector Groups, Row Rank and Column Rank (Intro)
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P33 / 151 集 核心概念：向量组等价 · 生成子空间 · 行秩 · 列秩 · 行空间 · 列空间
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◎学习目标

  1. 理解两个向量组等价的充要条件：它们可以互相线性表出；
  2. 掌握生成子空间相等与向量组等价之间的等价关系：\(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=L(\beta_1,\dots,\beta_r)\) 当且仅当两组等价；
  3. 会定义矩阵的行向量组和列向量组，以及对应的行空间和列空间；
  4. 理解行秩（行向量组的秩）和列秩（列向量组的秩）的定义；
  5. 为下一节课证明"行秩 = 列秩"建立概念框架。

1向量组等价与生成子空间相等 ⏱ 00:01

先复习一个重要结论：给定数域 \(K\) 上两组向量 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 和 \(\beta_1,\dots,\beta_r\)，它们分别生成子空间 \(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\) 和 \(L(\beta_1,\dots,\beta_r)\)。

定理 · 生成子空间相等与向量组等价的关系 设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 和 \(\beta_1,\dots,\beta_r\) 为数域 \(K\) 上的两组向量，则
\[ L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=L(\beta_1,\dots,\beta_r) \iff \text{两组向量等价（可互相线性表出）}. \]
证明：\(\Rightarrow\) 方向

若 \(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=L(\beta_1,\dots,\beta_r)\)，则每个 \(\alpha_i\) 属于右端子空间，故每个 \(\alpha_i\) 可由 \(\beta_1,\dots,\beta_r\) 线性表出。⏱ 00:34 反之，每个 \(\beta_j\) 属于左端子空间，故每个 \(\beta_j\) 可由 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性表出。从而两组等价。

证明：\(\Leftarrow\) 方向

若两组等价，则每个 \(\alpha_i\) 可由 \(\beta_1,\dots,\beta_r\) 线性表出，从而 \(\alpha_i\in L(\beta_1,\dots,\beta_r)\)。由于子空间对加法和数乘封闭，\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 的⏱ 01:04任何线性组合仍属于 \(L(\beta_1,\dots,\beta_r)\)，故 \(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)\subseteq L(\beta_1,\dots,\beta_r)\)。同理可得反包含，故相等。

关键工具子空间对加法和数量乘法封闭的性质在此反复使用。
丘老师课堂原话“两个向量组生成子空间相等，这两个向量组一定是等价的。”⏱ 01:35

2行向量组与列向量组、行空间与列空间 ⏱ 02:53

考虑数域 \(K\) 上的 \(s\times n\) 矩阵 \(A\)：

\[ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{s1}&a_{s2}&\cdots&a_{sn} \end{pmatrix}. \]

定义 · 行向量组与列向量组
  • 行向量组：将 \(A\) 的每一行视为 \(K^n\) 中的行向量，记作 \(\gamma_1,\dots,\gamma_s\)，其中 \(\gamma_i=(a_{i1},\dots,a_{in})\)。
  • 列向量组：将 \(A\) 的每一列视为 \(K^s\) 中的列向量，记作 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，其中 \(\alpha_j=(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{sj})^{\mathrm{T}}\)。
定义 · 行空间与列空间
  • 行空间：行向量组生成的子空间 \(L(\gamma_1,\dots,\gamma_s)\leq K^n\)。
  • 列空间：列向量组生成的子空间 \(L(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\leq K^s\)。
定义 · 行秩与列秩
  • 行秩\(\operatorname{rowrank}(A)\)：行向量组的秩，等于行空间的维数 \(\dim L(\gamma_1,\dots,\gamma_s)\)。
  • 列秩\(\operatorname{colrank}(A)\)：列向量组的秩，等于列空间的维数 \(\dim L(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)。
一个向量组的秩 = 生成子空间的维数（回顾）

这是前面已证的重要结论：对任意向量组 \(\xi_1,\dots,\xi_m\)，其秩（极大线性无关组所含向量个数）等于 \(L(\xi_1,\dots,\xi_m)\) 的维数。⏱ 04:33

\[ \operatorname{rank}(\xi_1,\dots,\xi_m)=\dim L(\xi_1,\dots,\xi_m). \]

3行秩与列秩的关系：从阶梯型矩阵入手 ⏱ 05:53

现在提出本节的中心问题：矩阵 \(A\) 的行秩与列秩是否相等？ 这是整个理论的关键一步。

思考策略：任何矩阵经初等行变换可化为行阶梯型矩阵 \(J\)。我们先从特殊情形（行阶梯型）着手探讨 \(J\) 的行秩与列秩关系，再推广到一般矩阵。⏱ 06:02

待证目标 对任意 \(s\times n\) 矩阵 \(A\)，有
\[ \operatorname{rowrank}(A)=\operatorname{colrank}(A). \]
本节课小结本节建立了行秩、列秩的基本概念，并指出下一步将分两步证明：先对行阶梯型矩阵证明行秩=列秩，再证明初等行变换不改变行秩和列秩。

★重点回顾

1
生成子空间相等 ⟺ 向量组等价：\(L(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=L(\beta_1,\dots,\beta_r)\) 当且仅当两组向量可互相线性表出。证明关键是用子空间对加法和数乘的封闭性。
2
矩阵的行向量组与列向量组：行向量是 \(K^n\) 中元素（每行），列向量是 \(K^s\) 中元素（每列）。
3
行空间与列空间：行向量组生成 \(K^n\) 的子空间；列向量组生成 \(K^s\) 的子空间。
4
行秩 = 行空间的维数；列秩 = 列空间的维数：由"向量组秩=生成子空间维数"直接得到。
5
核心问题：行秩是否一定等于列秩？下一步将对行阶梯型矩阵给出证明。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆行向量与列向量：矩阵第 \(i\) 行作为行向量属于 \(K^n\)，第 \(j\) 列作为列向量属于 \(K^s\)。维度不同，不要混用。
  2. 把行秩/列秩误认为"行数/列数"：行秩是行向量组的秩（≤行数），列秩是列向量组的秩（≤列数），两者都可能小于矩阵的维度。
  3. 忘记子空间封闭性在证明中的作用：证明"生成子空间相等 ⇒ 向量组等价"时，必须用到子空间对加法和数乘的封闭性——这是核心逻辑链中的一环。

✎自测与作业

  1. 验证定理：若 \(L(\alpha_1,\alpha_2)=L(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)，证明 \(\alpha_1,\alpha_2\) 与 \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\) 等价。（提示：用子空间定义直接验证互相线性表出。）
  2. 设 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，写出其行向量组和列向量组，并说明各行向量属于哪个 \(K^n\)、各列向量属于哪个 \(K^s\)。
  3. 判断正误并说明理由：对任意矩阵 \(A\)，行秩 ≤ 列秩。（提示：这题留到下节课证明后再回答。）
  4. 设 \(\alpha_1=(1,0,1),\ \alpha_2=(0,1,1),\ \beta_1=(1,1,0),\ \beta_2=(1,0,1)\)，验证 \(L(\alpha_1,\alpha_2)=L(\beta_1,\beta_2)\) 并说明两组是否等价。
  5. （思考）为什么研究"行秩 = 列秩"对后续学习极其重要？（提示：联系矩阵的秩、线性方程组解的结构、特征值等后续内容。）
下集预告 第 P34 集 · 十六：将证明对行阶梯型矩阵行秩=列秩，并引入主元所在列与极大线性无关组的关系。