高等代数 · 课程学习笔记

第 P40 集 · 二十二：非齐次方程组解集与子空间运算

Solution Sets of Non-homogeneous Systems and Subspace Operations
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P40 / 151 集 核心概念：解集结构 · 仿射子空间 · 子空间的交与和
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◎学习目标

  1. 理解并掌握非齐次线性方程组解集的两个基本性质（两解之差为齐次解、非齐次解加齐次解仍为非齐次解）；
  2. 完整理解解集结构定理 \(U=\gamma_0+W\) 的证明，认识解集是齐次解空间的平移；
  3. 理解仿射子空间（线性流形/陪集）的概念，区分其与线性子空间的不同；
  4. 从几何例子出发，引入子空间运算的概念：子空间的交和和；
  5. 掌握子空间交的判定：两个子空间的交集仍然是子空间。

1非齐次解集的两个基本性质 ⏱ 00:01

设 \(Ax=\beta\)（\(\beta\neq 0\)）是非齐次线性方程组，其解集记为 \(U\)；相应齐次方程组 \(Ax=0\) 的解空间记为 \(W\)。⏱ 00:03

性质一 · 两解之差 若 \(\gamma_1,\gamma_2\in U\)，则 \(\gamma_1-\gamma_2\in W\)。
\[ A\gamma_1=\beta,\quad A\gamma_2=\beta\implies A(\gamma_1-\gamma_2)=0. \]
性质二 · 解加齐次解 若 \(\gamma\in U\)，\(\alpha\in W\)，则 \(\gamma+\alpha\in U\)。
\[ A\gamma=\beta,\quad A\alpha=0\implies A(\gamma+\alpha)=\beta. \]

这两个性质是非齐次解集理论的基石，后续所有结论都建立在这两条性质之上。⏱ 01:55

2解集结构定理的完整证明 ⏱ 02:22

定理二 · 非齐次方程组解集结构 设 \(\gamma_0\in U\) 是 \(Ax=\beta\) 的一个特解，\(W\) 是 \(Ax=0\) 的解空间，则：
\[ U = \gamma_0 + W = \{\gamma_0+\alpha \mid \alpha\in W\}. \]
证明：\(\gamma_0+W\subseteq U\)

任取 \(\alpha\in W\)，则 \(A\alpha=0\)。又 \(A\gamma_0=\beta\)。⏱ 02:45

由性质二：\(A(\gamma_0+\alpha)=A\gamma_0+A\alpha=\beta+0=\beta\)，故 \(\gamma_0+\alpha\in U\)。

因此 \(\gamma_0+W\subseteq U\)。证毕。

证明：\(U\subseteq\gamma_0+W\)

任取 \(\gamma\in U\)，要证 \(\gamma\in\gamma_0+W\)。⏱ 05:18

考虑 \(\gamma-\gamma_0\)：由性质一，\(\gamma,\gamma_0\in U\)，故 \(\gamma-\gamma_0\in W\)。

记 \(\alpha=\gamma-\gamma_0\)，则 \(\alpha\in W\)，且 \(\gamma=\gamma_0+\alpha\in\gamma_0+W\)。

因此 \(U\subseteq\gamma_0+W\)。证毕。

两方向互相包含，故 \(U=\gamma_0+W\)。⏱ 06:42

重要概念：仿射子空间 集合 \(\gamma_0+W\) 称为 \(W\) 的一个仿射子空间（或线性流形、陪集）。它与子空间 \(W\) 的差异在于：它不一定过原点，对加法和数乘不一定封闭。⏱ 09:26

3子空间运算的引入 ⏱ 30:09

上一部分解决了线性方程组的求解问题。本集后半部分转向一个新的话题：在子空间之间是否可以定义运算？⏱ 30:49

丘老师从几何直观入手：在三维几何空间中，过定点 \(O\) 的两个平面（都是子空间）的交集是一条过 \(O\) 的直线（仍是子空间）。这促使我们思考：一般线性空间中，两个子空间的交是否仍是子空间？⏱ 31:25

数学思维方式 "直觉、观察例子、提出猜想、严格证明"——这是本集贯穿始终的数学探索路径。⏱ 30:25

4子空间的交运算 ⏱ 32:40

定理三 · 子空间的交仍是子空间 设 \(V_1,V_2\) 是线性空间 \(V\) 的两个子空间，则 \(V_1\cap V_2\) 也是 \(V\) 的子空间。
证明（验证子空间三条判定条件）

非空：零向量 \(\mathbf{0}\in V_1\) 且 \(\mathbf{0}\in V_2\)，故 \(\mathbf{0}\in V_1\cap V_2\)。⏱ 32:53

加法封闭：设 \(\alpha,\beta\in V_1\cap V_2\)，则 \(\alpha,\beta\in V_1\) 且 \(\alpha,\beta\in V_2\)。因为 \(V_1,V_2\) 都是子空间，所以 \(\alpha+\beta\in V_1\) 且 \(\alpha+\beta\in V_2\)，从而 \(\alpha+\beta\in V_1\cap V_2\)。⏱ 33:30

数乘封闭：设 \(\alpha\in V_1\cap V_2\)，\(k\in K\)，则 \(k\alpha\in V_1\)（因 \(V_1\) 是子空间）且 \(k\alpha\in V_2\)（因 \(V_2\) 是子空间），故 \(k\alpha\in V_1\cap V_2\)。⏱ 34:10

三条都满足，故 \(V_1\cap V_2\) 是子空间。证毕。

多个子空间的交 由归纳法，有限个（甚至任意多个）子空间的交集仍是子空间。记作：
\[ \bigcap_{i=1}^{s} V_i. \]
集合的交运算满足交换律和结合律，因此子空间的交运算也具有这些性质。⏱ 34:36
子空间的并集不是子空间 两个子空间的并集\(V_1\cup V_2\)一般不是子空间（除非一个包含另一个）。几何上，过原点的两个不同平面的并集不包含两平面内向量之和（平行四边形法则会"跑出去"）。⏱ 35:14

★重点回顾

1
解集结构定理：\(U=\gamma_0+W\)，非齐次解集是齐次解空间的平移（仿射子空间）。
2
两个基本性质：非齐次两解之差∈齐次解空间；非齐次解+齐次解∈非齐次解集。
3
仿射子空间：形式为 \(\gamma_0+W\) 的集合，不过原点，不是子空间，但结构与子空间密切相关。
4
子空间的交：两个子空间的交集仍是子空间，满足非空、加法封闭、数乘封闭三条判定。
5
子空间的并集：一般不封闭，不是子空间——需要引入子空间的和运算来解决此问题（下一集讨论）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 把解集 \(U\) 当成子空间：\(U=\gamma_0+W\) 不含零向量（除非 \(\beta=0\)），对加法和数乘不封闭，因此 不是 子空间。
  2. 混淆"子空间的交"与"子空间的并集"：交运算保持子空间结构，但并集运算通常破坏它。
  3. 特解 \(\gamma_0\) 的选取不影响解集：不同的特解给出相同的解集 \(U\)（因为 \(\gamma_0'+W=\gamma_0+W\) 当 \(\gamma_0'-\gamma_0\in W\)）。
  4. 证明子空间交时，三条判定缺一不可：非空、加法封闭、数乘封闭，缺一不可。

✎自测与作业

  1. 验证性质一和性质二：设 \(Ax=\beta\)，\(\gamma_1=(1,2,1)^T\)，\(\gamma_2=(0,1,3)^T\) 都是解，\(\alpha=(1,-1,2)^T\) 是齐次解，验证 \(\gamma_1-\gamma_2\) 和 \(\gamma_1+\alpha\) 的相应性质。
  2. 证明：若 \(\gamma_0,\gamma_0'\) 都是 \(Ax=\beta\) 的特解，则 \(\gamma_0+W=\gamma_0'+W\)（即特解的选取不影响解集的结构表示）。
  3. 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，设 \(V_1\) 是 \(xy\) 平面，\(V_2\) 是 \(yz\) 平面。求 \(V_1\cap V_2\) 并说明它是什么子空间。
  4. （反例）在 \(\mathbb{R}^2\) 中，取 \(V_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\)，\(V_2=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}\)，说明 \(V_1\cup V_2\) 不是子空间。
  5. （思考）为什么"子空间的并集不是子空间"？从"最小包含结构"的角度，应该引入什么运算？（提示：下一集将引入子空间的和 \(V_1+V_2\)）。
  6. （选做）证明：有限个子空间的交集仍是子空间（用数学归纳法）。
下一集预告 第 P41 集 · 二十三：子空间的和运算及子空间维数公式：\(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)\)。