高等代数 · 课程学习笔记

第 P42 集 · 二十四：子空间直和

Direct Sum of Subspaces（子空间和的维数公式与直和定义）
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P42 / 151 集 核心概念：子空间和 · 维数公式 · 直和定义
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◎学习目标

  1. 理解子空间和\(V_1 + V_2\)的定义，即所有可表为\(v_1 + v_2\)（\(v_i \in V_i\)）的向量构成的子空间；
  2. 掌握子空间维数公式：\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)\)，并理解其直观含义；
  3. 能够完整书写维数公式的证明，核心技巧是：先取交的基，再分别扩充为两个子空间的基，合并后证明线性无关；
  4. 理解推论：当\(V_1, V_2\)均有限维时，\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)当且仅当\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)；
  5. 掌握直和的初步定义：若\(V_1 + V_2\)中每个向量的表法\(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)唯一，则称该和为直和；
  6. 通过几何实例（平面与直线、两个平面的和）理解直和与非直和的区别。

1子空间和与维数公式 ⏱ 00:01

丘老师从回顾子空间和的有限生成性入手。设\(V_1, V_2\)是线性空间\(V\)的子空间，则\(V_1 + V_2\)本身也是一个子空间，且可以由有限个向量生成——具体做法是取\(V_1 \cap V_2\)的一个基，再分别扩充为\(V_1\)和\(V_2\)的基，合并后得到\(V_1 + V_2\)的生成组。

定理 · 子空间维数公式 设\(V_1, V_2\)是线性空间\(V\)的有限维子空间，则
\[ \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2). \]
此公式又称为Grassmann 公式。
证明思路概述（先建立整体框架）

思路：取\(V_1 \cap V_2\)的一个基\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)（设\(\dim(V_1 \cap V_2) = m\)），然后扩充为\(V_1\)的基\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, \beta_{n_1 - m}\)，以及\(V_2\)的基\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \gamma_1, \ldots, \gamma_{n_2 - m}\)。证明这三个向量组（交、差、差）合并后在\(V_1 + V_2\)中线性无关，从而构成\(V_1 + V_2\)的一个基，直接读出维数为\(n_1 + n_2 - m\)。⏱ 00:25

2维数公式的完整证明 ⏱ 00:49

下面给出维数公式的严格证明。这是本集最核心的内容。

关键技巧 证明"大向量组线性无关"是建立直和分解的关键，技巧是构造线性组合等于零向量，通过移项分离合并的两个子空间的元素，利用交的基的性质推出所有系数为零。
详细证明：向量组线性无关

设定：设\(\dim V_1 = n_1\)，\(\dim V_2 = n_2\)，\(\dim(V_1 \cap V_2) = m\)。

第一步：选取基

  • 取\(V_1 \cap V_2\)的一个基：\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\)
  • 扩充为\(V_1\)的基：\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, \beta_{n_1 - m}\)
  • 扩充为\(V_2\)的基：\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \gamma_1, \ldots, \gamma_{n_2 - m}\)

第二步：构造大向量组并验证其线性无关

假设存在系数使得线性组合等于零向量：

\[ k_1\alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_m + p_1\beta_1 + \cdots + p_{n_1-m}\beta_{n_1-m} + q_1\gamma_1 + \cdots + q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m} = \mathbf{0} \quad \cdots\cdots (\text{①}) \]

将含\(\gamma\)的项移到等号右边：

\[ k_1\alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_m + p_1\beta_1 + \cdots + p_{n_1-m}\beta_{n_1-m} = -(q_1\gamma_1 + \cdots + q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m}) \]

分析两边所属子空间：

  • 左边：是\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, \beta_{n_1-m}\)的线性组合，这些向量都在\(V_1\)中，故左边\(\in V_1\)
  • 右边：是\(\gamma_1, \ldots, \gamma_{n_2-m}\)的线性组合，这些向量都在\(V_2\)中，故右边\(\in V_2\)

因此这个共同的向量属于\(V_1 \cap V_2\)。⏱ 02:40

第三步：利用交的基表出右边

右边属于\(V_1 \cap V_2\)，而\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)是\(V_1 \cap V_2\)的基，故存在系数\(l_1, \ldots, l_m\)使得：

\[ q_1\gamma_1 + \cdots + q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m} = l_1\alpha_1 + \cdots + l_m\alpha_m \]

移项得：

\[ -l_1\alpha_1 - \cdots - l_m\alpha_m + q_1\gamma_1 + \cdots + q_{n_2-m}\gamma_{n_2-m} = \mathbf{0} \]

关键观察：向量组\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \gamma_1, \ldots, \gamma_{n_2-m}\)是\(V_2\)的一个基，因此线性无关！于是所有系数全为零：

\[ l_1 = \cdots = l_m = 0, \qquad q_1 = \cdots = q_{n_2-m} = 0 \]

第四步：回代到①式

将\(q_1 = \cdots = q_{n_2-m} = 0\)代入①式，得：

\[ k_1\alpha_1 + \cdots + k_m\alpha_m + p_1\beta_1 + \cdots + p_{n_1-m}\beta_{n_1-m} = \mathbf{0} \]

而\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, \beta_{n_1-m}\)是\(V_1\)的一个基，线性无关，故：

\[ k_1 = \cdots = k_m = 0, \qquad p_1 = \cdots = p_{n_1-m} = 0 \]

结论：所有系数\(k_i, p_j, q_l\)全为零，故向量组

\[ \alpha_1, \ldots, \alpha_m,\; \beta_1, \ldots, \beta_{n_1-m},\; \gamma_1, \ldots, \gamma_{n_2-m} \]

线性无关。⏱ 06:27

第五步：计算维数

这个向量组共有\(m + (n_1 - m) + (n_2 - m) = n_1 + n_2 - m\)个向量，且它们是\(V_1 + V_2\)的生成组（因为每个\(\beta\)属于\(V_1\)，每个\(\gamma\)属于\(V_2\)，每个\(\alpha\)属于交）。既是生成组又线性无关，故构成\(V_1 + V_2\)的一个基，于是：

\[ \dim(V_1 + V_2) = n_1 + n_2 - m = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2). \]

证毕。⏱ 08:00

丘老师强调 "这一功课很重要，大家一定要牢牢记住它。"（⏱ 08:02）维数公式是研究子空间结构的核心工具，后续所有章节都会反复使用。

3推论：交为零子空间与维数可加性 ⏱ 08:26

由维数公式立即得到一个非常重要的推论。

推论 设\(V_1, V_2\)是有限维子空间，则
\[ V_1 \cap V_2 = \{0\} \quad \Longleftrightarrow \quad \dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2. \]
证明：在维数公式中令\(\dim(V_1 \cap V_2) = 0\)（即\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)），立即得到\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。
反过来，若\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)，代入维数公式得\(\dim(V_1 \cap V_2) = 0\)，而维数为零的子空间只有\(\{0\}\)，故\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)。
为什么"维数为0的子空间就是零子空间"？

设\(W\)是线性空间的子空间且\(\dim W = 0\)。由维数的定义，\(W\)的基所含向量个数为0，即\(W\)不含任何非零向量（否则任何非零向量自身构成线性无关组，维数至少为1）。故\(W = \{0\}\)。⏱ 10:07

重要结论 两个有限维子空间的和是直和（待定义）的充分必要条件是它们的交的维数为0，等价于和的维数等于各自维数之和。这个结论将在直和理论中发挥核心作用。

4直和的定义与几何直觉 ⏱ 10:24

在维数公式的基础上，丘老师引入了子空间直和的概念。先看几何例子：

考虑三维欧氏空间\(V\)，设\(V_1\)是过原点的平面，\(V_2\)是过原点的直线（不在\(V_1\)内）。则对任意\(\alpha \in V_1 + V_2\)，可以从几何上作一个平行于\(V_2\)的直线，与\(V_1\)相交于一点，对应的向量即为\(\alpha_1\)；剩余部分即为\(\alpha_2 \in V_2\)。这样得到的分解\(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)是唯一的。

定义 · 子空间的直和 设\(V_1, V_2\)是线性空间\(V\)的子空间。若\(V_1 + V_2\)中的每一个向量\(\alpha\)表成
\[ \alpha = \alpha_1 + \alpha_2, \qquad \alpha_1 \in V_1,\; \alpha_2 \in V_2 \]
的方式是唯一的，则称\(V_1 + V_2\)是直和，记作\(V_1 \oplus V_2\)。

注意：任何向量\(\alpha \in V_1 + V_2都可以写成\(\alpha_1 + \alpha_2\)的形式（这是和的定义保证的），但直和要求这种表法唯一。

几何例子：两种情形的对比

情形一（直和）：\(V_1\)是过原点的平面，\(V_2\)是过原点且不在\(V_1\)内的直线。此时\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)，每个向量有唯一的分解。\(\Rightarrow\)直和。⏱ 12:58

情形二（非直和）：\(V_1\)和\(V_2\)都是过原点的平面（在三维空间中）。此时\(V_1 \cap V_2\)是一条过原点的直线（非零），向量表法不唯一。例如，交线上任一非零向量既可表为自身的形式，又可表为零向量加自身。⏱ 13:10

5直和的重要性与几何意义 ⏱ 13:21

丘老师强调：直和对于研究整个线性空间的结构起着非常重要的作用。它将一个复杂的线性空间"分解"为若干较简单的子空间的直和，从而可以通过研究各子空间的性质来理解整体结构。

丘老师的比喻 "现在我作为导游，带着同学们来探究子空间直和里面的奥秘……假设大家跟我一起游览一下。"（⏱ 13:47）直和理论是本课程的"核心景点"之一，后续将围绕它展开一系列等价命题的研究。
直和 vs 一般和：本质区别

一般和\(V_1 + V_2\)：每个向量\(\alpha\)至少可以写成\(\alpha_1 + \alpha_2\)的形式，但表法可能不唯一（当\(V_1 \cap V_2 \neq \{0\}\)时）。

直和\(V_1 \oplus V_2\)：每个向量的表法恰好有一种，既存在又唯一。

从集合论角度看：一般和是子空间的"并"的线性张成，直和则是"无重叠"的并的线性张成（除去零向量的重叠部分）。

易错提醒 "直和"是比"和"更强的条件。不要混淆"和等于全空间"与"直和"：即使\(V_1 + V_2 = V\)，若\(V_1 \cap V_2 \neq \{0\}\)，也不能说是直和。判断直和的正确方式是验证表法唯一性或交的维数条件。

★重点回顾

1
子空间维数公式：\(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)\)。证明核心是取交的基→分别扩充→证明合并后线性无关→计数。
2
推论：\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\) \(\iff\) \(\dim(V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2\)。这建立了"无交"与"维数可加"的桥梁。
3
直和定义：若\(V_1 + V_2\)中每个向量的分解\(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)唯一，则称\(V_1 + V_2\)为直和，记作\(V_1 \oplus V_2\)。
4
几何直观：三维空间中，平面与不在平面内的直线构成直和；两个不同平面的和不是直和（它们沿一条直线相交）。
5
证明技巧："构造线性组合=0 → 移项分离两个子空间 → 利用基的线性无关性逐步推出所有系数为0"，这是直和理论中最常用的证明模式。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆"和"与"直和"：\(V_1 + V_2\)总是子空间，但不一定是直和。直和要求额外的唯一性条件。
  2. 维数公式记错符号：公式是减\(\dim(V_1 \cap V_2)\)而非加。理解方式：交的维度越大，两个子空间的"重叠"越多，和的维度越小。
  3. 推论的充要条件方向：\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\) \(\iff\) \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\)，两个方向都需要掌握，不可只记一边。
  4. 零子空间的维数：规定\(\dim\{0\} = 0\)，这是推论成立的前提。不要误认为"零子空间没有维数"。
  5. 证明线性无关时步骤跳跃：证明大向量组线性无关时，必须显式地写出①式→移项→两边分属不同子空间→利用交的基表出→回代，步骤不可省略。

✎自我检测

  1. 计算题：设\(V_1 = \operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)，\(V_2 = \operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}\)（\(\mathbb{R}^3\)的子空间）。求\(V_1 + V_2\)的维数，并验证维数公式成立。
  2. 判断题：若\(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)，则\(V_1 + V_2\)一定是直和。说明理由。
  3. 证明题：设\(V_1, V_2\)是\(\mathbb{R}^3\)中两个不同的过原点的平面。证明\(V_1 + V_2\)不是直和。
  4. 反例构造：在\(\mathbb{R}^4\)中构造两个二维子空间\(V_1, V_2\)，使得\(V_1 + V_2\)是直和，并验证\(\dim(V_1 + V_2) = 4\)。
  5. 思考题：若\(\dim V_1 = 3\)，\(\dim V_2 = 4\)，\(\dim(V_1 \cap V_2) = 1\)，求\(\dim(V_1 + V_2)\)。
  6. 推广题（选做）：你能否将维数公式推广到三个子空间\(V_1, V_2, V_3\)的情形？即写出\(\dim(V_1 + V_2 + V_3)\)的公式（提示：反复使用两两情形的公式）。
下一集预告 第 P43 集 · 二十五：子空间直和的4个等价命题、补空间——深入探究直和的多重刻画方式，以及补空间的构造与存在性定理。