第 P44 集 · 二十六：有限子空间直和与维数

(1) ⟹ (2)：显然。若表法唯一，零向量的唯一表法就是全零（\(0 + 0 + \cdots + 0\)）。

(2) ⟹ (3)：设 \(\alpha \in V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j\)。则 \(\alpha \in V_i\) 且 \(\alpha = \sum_{j \neq i} \alpha_j\)（\(\alpha_j \in V_j\)）。故 \(\mathbf{0} = \alpha - \sum_{j \neq i} \alpha_j\)，其中第一项属于 \(V_i\)，其余项属于对应的 \(V_j\)。由零向量表法唯一，\(\alpha = \mathbf{0}\)。

(2) ⟹ (4) 和 (4) ⟹ (2)：与 P43 的命题 2 ⟹ 4 和 4 ⟹ 2 完全类似，只是从两个子空间推广到 \(m\) 个。老师建议学生自己完整证明。⏱ 12:00

由定理 5 的条件 (3)，对任 \(i\)，\(V_i \cap \sum_{j \neq i} V_j = \{\mathbf{0}\}\)。

第一步：将 \(V_1 + V_2 + \cdots + V_m\) 看作 \(V_1\) 与 \(W = V_2 + V_3 + \cdots + V_m\) 的和。

由条件 (3) 中 \(i = 1\)，\(V_1 \cap W = \{\mathbf{0}\}\)，故 \(V_1 + W\) 是直和。由 P43 的推论（两个子空间版本）：

第二步：对 \(W = V_2 + V_3 + \cdots + V_m\)，再次将 \(V_2\) 与 \(W' = V_3 + \cdots + V_m\) 分开。由条件 (3) 中 \(i = 2\)（加上 \(V_1\) 已分离），\(V_2 \cap W' = \{\mathbf{0}\}\)，故

逐步拆分：依次下去，最终得到

设 \(\dim V_i = r_i\)（\(i = 1, \dots, m\)），取 \(V_i\) 的基为 \(\alpha_{i1}, \dots, \alpha_{ir_i}\)。

第一步：由命题 1（P41），\(V_1 + V_2 + \cdots + V_m\) 由合并向量组

第二步：由假设条件，和空间的维数恰好等于 \(r_1 + r_2 + \cdots + r_m\)。而每个向量可以由这 \(r_1 + r_2 + \cdots + r_m\) 个向量线性表出（命题 1），因此这组向量就是和空间的基。

第三步：由定理 5 的命题 (4)，每个子空间取一个基，合并后是和空间的基 \(\Rightarrow\) 和空间是直和。证毕。⏱ 23:55

设 \(V\) 是 \(n\) 维空间，\(U\) 是 \(V\) 的子空间，\(\dim U = m\)。

取 \(U\) 的基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\)，扩充为 \(V\) 的基 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\)。

令 \(W = [\beta_1, \dots, \beta_{n-m}]\)（由扩充部分生成的子空间）。

验证 \(V = U + W\)：\(V\) 的基是 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\)。前 \(m\) 个生成 \(U\)，后 \(n-m\) 个生成 \(W\)。由命题 1，\(U + W\) 由合并向量组生成，即整个基，故 \(U + W = V\)。

验证 \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\)：\(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}\) 是 \(V\) 的基（线性无关）。\(U\) 的基与 \(W\) 的基合起来是 \(U + W\) 的基（定理 5 命题 4），故 \(U + W\) 是直和，即 \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\)。

因此 \(V = U \oplus W\)，\(W\) 是 \(U\) 的一个补空间。⏱ 03:10