高等代数 · 第 P46 集 · 二十八：线性空间、同构映射

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◎学习目标

掌握同构映射的五条基本性质，理解每条性质的含义与证明思路；
熟练运用性质三：同构映射把线性组合变成系数相同的线性组合；
理解性质四：同构映射保持线性相关性（充要条件）；
掌握性质五：同构映射把一组基映为另一组基；
理解并记忆定理一（同构的必要条件）：两个有限维线性空间同构，则它们的维数相等；
能用"维数不同必不同构"快速判断两个线性空间是否同构；
理解"二维几何空间"与"三维几何空间"不可能同构的实际意义。

1同构映射的五条性质 ⏱ 00:00

本集的核心任务是研究同构映射的基本性质。设 \(\sigma: V \to V'\) 是数域 \(K\) 上线性空间 \(V\) 到 \(V'\) 的同构映射：

性质一：零向量映射

\sigma(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_{V'}

同构映射把零向量映为零向量。⏱ 00:15

性质二：负向量映射

\sigma(-\alpha) = -\sigma(\alpha) \quad (\forall\,\alpha \in V)

同构映射把负向量映为负向量。⏱ 00:30

性质三：保持线性组合

\sigma\!\left(\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^{s} k_i \, \sigma(\alpha_i)

同构映射把线性组合映为系数相同的线性组合。⏱ 00:45

性质四：保持线性相关/无关性

\begin{aligned} &\alpha_1,\dots,\alpha_s \text{ 线性相关} \\ &\iff \sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s) \text{ 线性相关} \end{aligned}

同构映射把线性相关的向量组映为线性相关的向量组，把线性无关的向量组映为线性无关的向量组。⏱ 01:10

性质五：把基映为基

\alpha_1,\dots,\alpha_n \text{ 是 } V \text{ 的基} \iff \sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n) \text{ 是 } V' \text{ 的基}

同构映射把一组基映为一组基。⏱ 01:30

2性质三：保持线性组合 ⏱ 00:42

证明思路：反复使用"保持加法"和"保持数量乘法"两条基本性质。

性质三的完整证明

对任意 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s \in V\) 和任意 \(k_1,\dots,k_s \in K\)：

\begin{aligned} \sigma\!\left(\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i\right) &= \sigma(k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s) \\ &= \sigma(k_1\alpha_1) + \sigma(k_2\alpha_2) + \cdots + \sigma(k_s\alpha_s) \quad \text{（反复用性质：保持加法）} \\ &= k_1\sigma(\alpha_1) + k_2\sigma(\alpha_2) + \cdots + k_s\sigma(\alpha_s) \quad \text{（每条用性质：保持数量乘法）} \\ &= \sum_{i=1}^{s} k_i \, \sigma(\alpha_i) \end{aligned}

关键解读：同构映射 \(\sigma\) 穿过求和符号与系数，系数原封不动，只有向量被 \(\sigma\) 作用。⏱ 01:10

例题思路设 \(\sigma: V \to V'\) 是同构映射，\(\alpha = k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s\)，则 \(\sigma(\alpha) = k_1\sigma(\alpha_1) + \cdots + k_s\sigma(\alpha_s)\)。这是后续证明性质四、五的基础工具。⏱ 01:30

3性质四：保持线性相关/无关 ⏱ 01:50

核心思想：利用性质三，把线性相关定义中的等式两边同时作用 \(\sigma\)，再利用 \(\sigma\) 是单射（双射蕴含单射）推出反向蕴含。

性质四："线性相关"方向的证明

（\(\Rightarrow\)）假设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(\sum k_i\alpha_i = \mathbf{0}_V\)。

\sigma\!\left(\sum_{i=1}^{s} k_i \alpha_i\right) = \sigma(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_{V'}

由性质三：\(\sum k_i \sigma(\alpha_i) = \mathbf{0}_{V'}\)，且 \(k_1,\dots,k_s\) 不全为零，故 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性相关。⏱ 02:30

性质四："线性无关"方向的证明

（\(\Leftarrow\)）假设 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性相关，则存在不全为零的 \(k_1,\dots,k_s\) 使 \(\sum k_i\sigma(\alpha_i) = \mathbf{0}_{V'}\)。

由性质三的反向：\(\sigma(\sum k_i\alpha_i) = \mathbf{0}_{V'} = \sigma(\mathbf{0}_V)\)。

由于 \(\sigma\) 是单射（\(\sigma\) 是双射，当然也是单射），等式两边作用 \(\sigma^{-1}\)（或直接由单射定义）推出 \(\sum k_i\alpha_i = \mathbf{0}_V\)，且 \(k_1,\dots,k_s\) 不全为零，故 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关。⏱ 03:00

关键说明：反向推导中，\(\sigma(\beta_1) = \sigma(\beta_2) \Rightarrow \beta_1 = \beta_2\) 这一步需要 \(\sigma\) 是单射。同构映射是双射，自然满足单射条件。

重要结论同构映射是非常"友好"的映射：⏱ 03:20
• 把线性相关 → 映为线性相关
• 把线性无关 → 映为线性无关
• 这种双向保持的性质是同构映射最核心的特征之一。

4性质五：把基映为基 ⏱ 04:30

设 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的一组基，证明 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n)\) 是 \(V'\) 的一组基。需要验证两个条件：

性质五的证明（第一步：线性无关）

因为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是基，所以它们线性无关。

由性质四（线性无关 → 象也线性无关）：

\alpha_1,\dots,\alpha_n \text{ 线性无关} \implies \sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n) \text{ 线性无关}

条件一已满足。⏱ 05:00

性质五的证明（第二步：生成性）

任取 \(\gamma \in V'\)，因为 \(\sigma\) 是满射，存在 \(\alpha \in V\) 使 \(\sigma(\alpha) = \gamma\)。

因为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 是 \(V\) 的基，\(\alpha\) 可唯一表为：

\alpha = a_1\alpha_1 + \cdots + a_n\alpha_n

两边作用 \(\sigma\)，由性质三：

\gamma = \sigma(\alpha) = a_1\sigma(\alpha_1) + \cdots + a_n\sigma(\alpha_n)

即 \(V'\) 中任一向量都可由 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n)\) 线性表出，条件二满足。⏱ 05:30

综上，\(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n)\) 是 \(V'\) 的一组基，共有 \(n\) 个向量。

重要结论若 \(V\) 的基有 \(n\) 个向量，则 \(V'\) 的对应基也有 \(n\) 个向量。⏱ 05:50这是证明"同构空间维数相等"的关键桥梁。

5定理一：同构的必要条件 ⏱ 06:00

定理一设 \(V\) 和 \(V'\) 都是数域 \(K\) 上的有限维线性空间。如果 \(V \cong V'\)（同构），则

\dim V = \dim V'

即同构的必要条件是维数相等。⏱ 06:20

定理一的完整证明

已知：\(\sigma: V \to V'\) 是同构映射，\(\dim V = n\)（即 \(V\) 是 \(n\) 维的）。

证明：\(\dim V' = n\)。

取 \(V\) 的一组基 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)（共 \(n\) 个向量）。
由性质五，\(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_n)\) 是 \(V'\) 的一组基。
该基也含有 \(n\) 个向量，故 \(\dim V' = n = \dim V\)。

证毕。⏱ 06:50

推论与直观理解

逆否命题：若 \(\dim V \neq \dim V'\)，则 \(V\) 与 \(V'\) 一定不同构。
经典例子：二维几何空间与三维几何空间不可能同构；十维空间与十二维空间也不可能同构。
实用技巧：判断两个有限维线性空间是否同构时，先比较维数——维数不同直接否定，不必再去找同构映射。⏱ 07:30

思考题定理一的必要条件是否也是充分条件？即：两个有限维线性空间维数相等，是否一定同构？
答案：是！但需要额外构造一个同构映射来证明，这将在下一集（P47）给出完整证明。⏱ 08:00

★重点回顾

1

性质一：\(\sigma(\mathbf{0})=\mathbf{0}\)；性质二：\(\sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha)\)。

2

性质三（最重要）：\(\sigma(\sum k_i\alpha_i)=\sum k_i\sigma(\alpha_i)\)，同构映射穿过线性组合，系数不变。

3

性质四：\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性相关 \(\iff\) \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性相关；线性无关同理。

4

性质五：\(V\) 的基在 \(\sigma\) 下的象是 \(V'\) 的基（双向成立）。

5

定理一：有限维线性空间同构 \(\Rightarrow\) 维数相等（必要条件）。逆否命题：维数不等 \(\Rightarrow\) 一定不同构。

6

实用判断：遇到"判断两空间是否同构"的问题，先比维数——维数不同直接判否，省去大量计算。

⚠易错提醒

常见错误

混淆"同构"与"相等"：同构是结构相同，不等于集合相等。证明两空间同构只需构造一个同构映射，不需要证明集合相等。
性质四的推导方向搞反：证明"线性相关保持"时，\(\Rightarrow\) 方向不需要单射；\(\Leftarrow\) 方向需要用到 \(\sigma\) 是单射（从而 \(\sigma(\beta)=\mathbf{0}\Rightarrow\beta=\mathbf{0}\)），不可省略这一步论证。
忽略"有限维"前提：定理一的前提是 \(V,V'\) 均为有限维线性空间。无限维空间的情况不在本课程范围内，不要随意推广。
把"必要条件"当成"充要条件"：维数相等只是同构的必要条件，不是充分条件（虽然后面会证明对有限维空间它也是充分的，但此刻尚未证明）。
忽视单射条件的使用：性质四反向推导中，\(\sigma(\sum k_i\alpha_i)=\sigma(\mathbf{0})\Rightarrow\sum k_i\alpha_i=\mathbf{0}\) 这一步依赖 \(\sigma\) 是单射，不可跳步。

✎自我检测

设 \(\sigma: V \to V'\) 是同构映射，\(\alpha \in V\)。证明：\(\sigma(\alpha)=\mathbf{0}_{V'} \iff \alpha=\mathbf{0}_V\)。（提示：利用单射性质）
证明：若 \(\sigma: V \to V'\) 是同构映射，且 \(\alpha_1,\dots,\alpha_s\) 线性无关，则 \(\sigma(\alpha_1),\dots,\sigma(\alpha_s)\) 线性无关。（直接用性质四）
设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，\(\sigma: V \to V'\) 是同构映射。证明：\(\dim V' = n\)。（综合性质五与定理一）
判断下列各组空间是否同构，说明理由：
（a）\(\mathbb{R}^2\) 与 \(\mathbb{R}^3\)；（b）所有实系数一次多项式构成的空间与 \(\mathbb{R}^2\)；（c）\(M_{2\times2}(\mathbb{R})\) 与 \(\mathbb{R}^4\)。⏱ 07:00
（思考题）设 \(V\) 为数域 \(K\) 上所有常数多项式构成的线性空间（\(\dim V=1\)），证明 \(V\) 与 \(K\) 同构。
（思考题）"维数相等"是否一定是两个有限维线性空间同构的充分条件？如果是，如何构造同构映射？（预告：下一集将给出构造方法）

下一集预告第 P47 集将证明定理一的逆命题成立：两个有限维线性空间维数相等当且仅当它们同构，并建立 V 与 \(K^n\) 之间的标准同构映射（坐标映射）。