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◎学习目标
- 掌握定理：\(f: A \to B\) 是可逆映射 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 是双射，并能完整证明双向；
- 理解可逆映射的两个必要条件：可逆 \(\Rightarrow\) 满射、可逆 \(\Rightarrow\) 单射；
- 会构造双射 \(f\) 的逆映射 \(g\)：把 \(b \in B\) 对应到 \(A\) 中唯一的 \(a\)（\(f(a) = b\)），并验证 \(gf = E_A\)、\(fg = E_B\)；
- 区分"乘法角度刻画可逆"与"对应法则角度刻画双射"两条路径的意义；
- 理解集合元素分类的思想：以"星期"为例，把"长时段所有日子"分类，并用整数集与之建立双射，引出"划分"的动机（下集展开）。
1回顾：可逆映射的定义 ⏱ 00:01
定义 · 可逆映射
设 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射。若存在 \(g\) 是 \(B\) 到 \(A\) 的映射，使得
\[ g f = E_A, \qquad f g = E_B, \]
则称 \(f\) 是可逆映射，\(g\) 称为 \(f\) 的逆映射，记 \(g = f^{-1}\)。 ⏱ 00:34
老师的开场方法
"我讲课尽量不写结论（直接念），咱们一起来游览数学的景点，琢磨琢磨 \(f\) 到底什么（样的意思），这就有意思了。"——本集全程用"探索"的方式推进，而不是先给结论。 ⏱ 00:01
2可逆映射必为满射 ⏱ 01:06
命题 · 可逆 \(\Rightarrow\) 满射
若 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的可逆映射，则 \(f\) 是满射。⏱ 01:06
证明
目标（满射的定义）：任取 \(b \in B\)，存在 \(a \in A\) 使得 \(f(a) = b\)。
取 \(a = f^{-1}(b)\)。因为 \(f^{-1}\) 是 \(B\) 到 \(A\) 的映射，所以 \(a \in A\)。⏱ 02:10
由定义，\(f\) 在 \(a\) 下的像为：
\[ f\big(f^{-1}(b)\big) = \big(f f^{-1}\big)(b) = E_B(b) = b. \]
故 \(b\) 有原像，\(f\) 是满射。 ⏱ 03:33
老师讲解思路
"所谓 \(B\)，看看在 \(A\) 里面能不能找到个元素……\(B\) 里任取一个 \(b\)，属于 \(B\)，那么 \(f\) 的（逆映射）就把 \(b\) 送到 \(A\) 里面，这个元素是 \(A\) 的元素。……恒等变换把元素 \(b\) 当然变到 \(b\) 自己。" ⏱ 02:30
3可逆映射必为单射 ⏱ 03:49
命题 · 可逆 \(\Rightarrow\) 单射
若 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的可逆映射，则 \(f\) 是单射（一一映射）。⏱ 03:49
证明
目标（单射的定义）：设 \(a_1, a_2 \in A\)，若 \(f(a_1) = f(a_2)\)，则 \(a_1 = a_2\)。
等式两边同时"作用" \(f^{-1}\)（即两边都送到 \(f^{-1}\) 下）：
\[ f^{-1}\big(f(a_1)\big) = f^{-1}\big(f(a_2)\big). \]
左边 \(= \big(f^{-1} f\big)(a_1) = E_A(a_1) = a_1\)；右边 \(= E_A(a_2) = a_2\)。⏱ 04:59
故 \(a_1 = a_2\)，\(f\) 是单射。 ⏱ 05:39
合起来
"现在我们证明了，\(f\) 要是可逆的话，它的必要条件 \(f\) 是双射。"——可逆 \(\Rightarrow\) 单射且满射 \(\Rightarrow\) 双射。⏱ 05:39
4双射必为可逆映射（充分性） ⏱ 05:52
必要性已证。反过来，若 \(f\) 是双射，能否构造出 \(g\) 使得 \(f\) 可逆？这就是本集的核心构造。
命题 · 双射 \(\Rightarrow\) 可逆
若 \(f: A \to B\) 是双射，则存在 \(g: B \to A\) 使得 \(g f = E_A\) 且 \(f g = E_B\)，即 \(f\) 是可逆映射，\(g = f^{-1}\)。 ⏱ 06:17
构造 \(g\)（把 \(b\) 对应到唯一的 \(a\)）
目标是找 \(B\) 到 \(A\) 的映射 \(g\)。"找个 \(B\) 到 \(A\) 的意思，就是任取一个元素 \(b\)（\(b \in B\)），说在 \(A\) 这边要找一个元素跟它对应，这个元素应该是唯一的。" ⏱ 07:12
存在性（由满射）：\(f\) 满射 \(\Rightarrow\) 任取 \(b \in B\)，存在 \(a \in A\) 使得 \(f(a) = b\)。⏱ 08:02
唯一性（由单射）：若还有 \(a' \in A\) 也满足 \(f(a') = b\)，则 \(f(a) = f(a')\)；由单射得 \(a = a'\)。
于是每个 \(b \in B\) 有唯一的 \(a \in A\) 使得 \(f(a) = b\)。把 \(b\) 对应到这个 \(a\)，对应法则记作 \(g\)。⏱ 09:23
\[ g(b) \;=\; \text{那个唯一的 } a \in A \text{ 使得 } f(a) = b. \]
5构造逆映射：把 \(b\) 对应到唯一的 \(a\) ⏱ 09:43
构造 · \(f^{-1}\) 的对应法则
对 \(B\) 中每一个元素 \(b\)，由 \(f\) 的双射性，\(A\) 中恰有一个元素 \(a\) 在 \(f\) 下变到 \(b\)。定义
\[ g: B \to A, \qquad g(b) = a \;\;\text{（其中 } a \text{ 是满足 } f(a) = b \text{ 的唯一元素）}. \]
这样"把 \(B\) 对应到这个 \(a\)（上述唯一的 \(a\)）的对应法则 \(g\)，它是 \(B\) 到 \(A\) 的（映射），满足了映射的定义"。⏱ 09:58
老师强调"唯一"的来源
"存在"来自 \(f\) 是满射；"唯一"来自 \(f\) 是单射。两个条件合起来（双射）才保证每个 \(b\) 对应存在且唯一的 \(a\)。 ⏱ 09:03
6验证两条恒等式 \(GF = E_A\)、\(FG = E_B\) ⏱ 10:47
找到了 \(g\)，还需验证可逆定义的两条恒等式。老师在此处纠正了板书中符号的混淆（把元素 \(a\) 换成 \(x\) 以避免误读），思路清晰。
验证 \(g f = E_A\)（\(A\) 上的恒等变换）
任取 \(x \in A\)。按映射乘法定义，先做 \(f\)：\(f(x)\) 是 \(B\) 中的元素（即 \(x\) 在 \(f\) 下的像）；再做 \(g\)：\(g\) 把 \(f(x)\) 对应回 \(A\) 中那个"在 \(f\) 下变到 \(f(x)\) 的唯一元素"，即 \(x\) 本身。 ⏱ 11:11
\[ (g f)(x) \;=\; g\big(f(x)\big) \;=\; x. \]
对一切 \(x \in A\) 成立，故 \(g f\) 把 \(A\) 的每个元素映成自己，即 \(g f = E_A\)。⏱ 12:07
验证 \(f g = E_B\)（\(B\) 上的恒等变换）
任取 \(b \in B\)。\(g\) 把 \(b\) 对应到 \(A\) 中满足 \(f(a) = b\) 的唯一元素 \(a\)，即 \(f(g(b)) = b\)。⏱ 16:42
\[ (f g)(b) \;=\; f\big(g(b)\big) \;=\; b. \]
对一切 \(b \in B\) 成立，故 \(f g = E_B\)。
结论
"这个 \(G\) 左边 \(F\)（\(g f\)）是 \(A\) 上的恒等变换，\(G\) 右边 \(F\)（\(f g\)）是 \(B\) 上的恒等变换，从而这个 \(F\) 就是可逆映射。" ⏱ 17:45
7定理：可逆 ⇔ 双射（完整证明） ⏱ 17:47
定理 · 可逆映射与双射的等价
设 \(f\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的映射，则
\[ f \text{ 是可逆映射} \;\;\Longleftrightarrow\;\; f \text{ 是双射}. \]
证明方向一（可逆 \(\Rightarrow\) 双射）：由第 2、3 节，\(f\) 可逆时必为满射且必为单射，故为双射。
证明方向二（双射 \(\Rightarrow\) 可逆）：由第 4–6 节，\(f\) 是双射时构造唯一的 \(g: B \to A\)（把 \(b\) 对应到唯一的 \(a\)），并验证 \(g f = E_A\)、\(f g = E_B\)，故 \(f\) 可逆、\(g = f^{-1}\)。 ⏱ 17:47
重要观察
"这样我们就证明了反过来是对的：\(f\) 是双射，那么它一定是 \(f\) 是可逆映射。这个定律（定理）重要性表达，这样是从乘法（合成）的角度来刻画的——可逆映射；（而双射是）从映射本身的性质（对应法则）来刻画的。"⏱ 18:00
8两条刻画路径的意义与线性空间分类 ⏱ 18:00
两种刻画方式
- 乘法角度：可逆映射由"存在 \(g\) 使 \(gf=E_A\)、\(fg=E_B\)"刻画（第 48 集）；
- 对应法则角度：双射由"单射（一一）且满射（像为全体 \(B\)）"刻画（前面几集）。
应用 · 线性空间结构的第三条途径
利用线性空间的同构，把数域 \(K\) 上的所有线性空间来进行分类（维数相等 \(\Leftrightarrow\) 同构），从而研究线性空间的结构——这是研究线性空间结构的第三条途径（另两条：向量组、矩阵/坐标化）。 ⏱ 18:08
9集合元素的分类：星期与整数的例子 ⏱ 18:24
由"分类"引出对集合元素如何分类的讨论。生活例子：星期把"所有日子"分成了 7 类（周日、周一、…、周六）。 ⏱ 18:36
用整数集描述"所有日子"
把"时间轴上所有日子组成的集合"与整数集 \(\mathbb{Z}\) 建立一一对应：
- 以 2011 年 8 月 1 日（周一）为基准，8 月 1 日对应整数 \(1\)，8 月 2 日对应 \(2\)，…，依次到将来；
- 7 月 31 日对应 \(0\)，7 月 30 日对应 \(-1\)，…，一直到过去。 ⏱ 22:04
分类（划分）的动机
在整数上，"周日"对应的整数是所有被 7 除余 0 的数；"周一"对应余 1 的；…，"周六"对应余 6 的。把整数集按"被 7 除的余数"分成 7 个子集——这就是下集要正式抽象的集合的划分。 ⏱ 22:25
老师的启发
"数学越简单越好，别想复杂了。"——用整数集（最简单的集合之一）去"翻译"复杂的"所有日子"，是本教材反复使用的方法。 ⏱ 21:56
★重点回顾
1
可逆 \(\Rightarrow\) 满射：任取 \(b \in B\)，取 \(a = f^{-1}(b)\)，则 \(f(a) = b\)。⏱ 01:06
2
可逆 \(\Rightarrow\) 单射：\(f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow f^{-1}(f(a_1)) = f^{-1}(f(a_2)) \Rightarrow a_1 = a_2\)。⏱ 03:49
3
双射 \(\Rightarrow\) 可逆：对每个 \(b \in B\)，存在唯一的 \(a \in A\) 使 \(f(a) = b\)（存在性←满射，唯一性←单射）；定义 \(g(b) = a\)。⏱ 07:12
4
验证：\(g f = E_A\)（\(f(x)\) 再被 \(g\) 对应回 \(x\)）；\(f g = E_B\)（\(g(b)\) 是满足 \(f(a)=b\) 的 \(a\)，再作用 \(f\) 得 \(b\)）。⏱ 11:11
5
核心定理：\(f\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 是双射（一一对应）。两条刻画路径：乘法角度 vs 对应法则角度。
6
意义：该定理把"同构"的两种语言统一；线性空间的分类（第三条途径）依赖它。
7
分类思想：星期例子把"所有日子"分类为 7 类；用整数集与之双射，为下集"集合的划分"做铺垫。
8
构造要点：双射的逆映射构造关键是"把 \(b\) 对应到唯一的 \(a\)"——存在性靠满射，唯一性靠单射，缺一不可。
⚠易错点提醒
常见错误
- 证明"满射"方向时忘记取 \(a = f^{-1}(b)\)：满射的定义要求"对每个 \(b\) 存在 \(a\)"，取 \(a = f^{-1}(b)\) 是关键一步，且要用到 \(f f^{-1} = E_B\)。
- 证明"单射"方向时"两边作用 \(f^{-1}\)"的方向：应是 \(f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow f^{-1}(f(a_1)) = f^{-1}(f(a_2)) \Rightarrow a_1 = a_2\)，依赖 \(f^{-1} f = E_A\)，注意是 \(g f\) 而非 \(f g\)。
- 构造 \(g\) 时忽略"唯一性"：仅满射不能保证每个 \(b\) 对应唯一的 \(a\)，需要单射保证唯一性；合起来（双射）才能定义 \(g\) 为映射。
- 符号混淆 \(a, b, x, y\)：老师在本集专门提醒"把 \(a\) 换成 \(x\) 更好一点，省得误会"——证明 \(g f = E_A\) 时，元素应在 \(A\) 中记作 \(x\)，而 \(f(x) \in B\)，再被 \(g\) 对应回 \(x\)，避免把"已给定的 \(b\)"与"任取的 \(x\)"混为一谈。
- 把"可逆"与"存在左逆"或"存在右逆"混淆：对一般集合（无穷情形）仅左逆 \(g f = E_A\) 不足以保证 \(f\) 可逆，需要 \(f g = E_B\) 也成立（即双射）。
✎自我检测
- 设 \(f: A \to B\) 可逆，证明 \(f\) 是满射（写出取 \(a = f^{-1}(b)\) 后的完整等式链）。
- 设 \(f: A \to B\) 可逆，证明 \(f\) 是单射（写出"两边作用 \(f^{-1}\)"的等式链）。
- 设 \(f: A \to B\) 是双射。按老师思路构造 \(g: B \to A\)（把 \(b\) 对应到唯一 \(a\) 使 \(f(a)=b\)），并验证 \(g f = E_A\) 与 \(f g = E_B\)。
- 用 \(A = \{1,2,3\}\)、\(B = \{a,b,c\}\)、\(f\) 为 \(1\mapsto a, 2\mapsto b, 3\mapsto c\) 的具体例子，写出 \(g\) 与两条恒等式，并画图说明"把 \(b\) 对应到唯一 \(a\) 使 \(f(a)=b\)"的过程。
- 设 \(f: A \to B\) 满足 \(g f = E_A\)（仅左逆）。判断：\(f\) 一定是单射吗？一定是满射吗？给出理由或反例。
- （分类思想）若某月 1 日是星期三，该月共 31 天。写出"该月各天"与整数（\(\cdots, -1, 0, 1, \dots\)）之间的双射，并说明 31 天中"星期三"对应的整数集合。
- 设 \(V\) 是 \(K\) 上 \(n\) 维线性空间，\(\sigma: V \to K^n\) 是同构（双射）。按本集定理，说明 \(\sigma\) 可逆，并写出其逆映射 \(\sigma^{-1}\) 的含义（坐标 \(\mapsto\) 向量）。
下一集预告
第 P50 集将基于"星期"例子正式抽象出集合的划分与等价关系：划分（并集为 \(S\)、两两不交）、二元关系、等价关系（反身、对称、传递），以及同余关系作为最典型的等价关系，并探索"等价关系 ⇔ 划分"的对应。