高等代数 · 课程学习笔记

第 P50 集 · 三十二：集合的划分、等价关系

Partitions of a Set and Equivalence Relations
北大丘维声教授 · 清华大学 进度 P50 / 151 集 核心概念：集合的划分 · 二元关系 · 同余 · 等价关系（反身、对称、传递）
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◎学习目标

  1. 理解以"星期"为例的划分思想：把整数集 \(\mathbb{Z}\) 按"被 7 除的余数"分成 7 个子集 \(H_0, H_1, \dots, H_6\)；
  2. 掌握集合的划分的定义：一组非空子集的并集等于 \(S\)，且每两个不等子集交集为空；
  3. 提出并理解"给任意非空集合 \(S\) 一个统一方法得到划分"的一般问题；
  4. 理解二元关系的定义：\(S \times S\) 的一个子集 \(W\)，\((a,b)\in W\) 时称 \(a\) 与 \(b\) 有关系；
  5. 掌握同余关系：\(a \equiv b \pmod{7}\) 当且仅当 \(7\mid(a-b)\)，它是 \(\mathbb{Z}\) 上最典型的等价关系；
  6. 掌握等价关系的定义：满足反身性、对称性、传递性的二元关系；并理解同余关系恰好满足这三条。

1回顾：用整数集描述"所有日子" ⏱ 00:02

接续上一集（P49）末尾：把"时间轴上所有日子"与整数集 \(\mathbb{Z}\) 建立一一对应（双射），"所有日子"这个集合就可以用 \(\mathbb{Z}\) 来描述了。 ⏱ 00:02

复习 · 双射 = 一一对应 "时间长（周）每一天对应到唯一的一个整数，不同的天对应到不同的整数，每一个整数肯定有时间长（周）某一天对应过来，所以这个对应法则是一个映射、单射、满射，从而是双射，从而是一一对应。"⏱ 00:02
为什么是整数集 "数学上你最熟悉的、小学就学过的、初一就学过的——当然应该对应到整数去，整数集最简单。数学越简单越好，别想复杂了。" ⏱ 21:36

2按"被 7 除余数"划分整数集 ⏱ 00:27

在整数集上按"被 7 除的余数"分类（对应"星期"7 天）：

7 个余类（子集） 对 \(i = 0, 1, \dots, 6\)，定义
\[ H_i \;=\; \{\, 7k + i \mid k \in \mathbb{Z} \,\}. \]
  • \(H_0 = \{ \dots, -14, -7, 0, 7, 14, \dots \}\)（"星期日"，余数为 0）；
  • \(H_1 = \{ \dots, -6, 1, 8, 15, 22, \dots \}\)（"星期一"，余数为 1）；
  • \(\cdots\)；
  • \(H_6 = \{ \dots, -1, 6, 13, 20, 27, \dots \}\)（"星期六"，余数为 6）。 ⏱ 01:08
这样把整数集分成了 7 个子集 \(H_0, H_1, \dots, H_6\)。⏱ 01:54

3划分的两条性质（验证） ⏱ 02:02

性质 1 · 并集等于整数集 任何一个整数被 7 除，余数必然是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 中必居其一，故
\[ \mathbb{Z} \;=\; H_0 \cup H_1 \cup \cdots \cup H_6. \]
"任何一个整数一定属于这个并集的，因此整数集包含于这个并集；反过来，每一个（\(H_i\) 的）（元素都是整数），它们的并集当然包含于整数集，所以整数集就等于……并集。" ⏱ 03:17
性质 2 · 两两不交 当 \(i \neq j\) 时，
\[ H_i \cap H_j \;=\; \varnothing. \]
"不可能有一天既是星期三又是星期四，那你到底哪一天来上课？……交集必然是空的。" ⏱ 03:11
类比 · 切蛋糕 老师打比方：一块蛋糕切给 8 个同学 8 小块，"这 8 小块并起来还是一块完整的蛋糕"（并集 = 原蛋糕）；"这两小块蛋糕的交集一定是空的"（不重叠才分得开）。生活中的"分蛋糕""分日子"都满足同样两条性质，"生活（里）多的是"。 ⏱ 03:41
小结 "（这个 7 个子集的并）把整数（就）做了一个划分。"——这 7 个子集正是整数集按"星期"的一个划分。 ⏱ 04:29

4集合的划分的定义 ⏱ 04:52

定义 · 集合的划分 设 \(S\) 是一个（非空）集合。若 \(S\) 是它的一些非空子集 \(S_1, S_2, \dots\) 的并集，即
\[ S \;=\; \bigcup_{i} S_i, \qquad S_i \neq \varnothing, \]
并且其中每两个不相等的子集的交集是空的，即
\[ i \neq j \;\Rightarrow\; S_i \cap S_j = \varnothing, \]
那么称这些子集组成的集合是 \(S\) 的一个划分（partition）。 ⏱ 05:16
老师强调两条条件 "（一）\(S\) 是它的一些非空子集的并集；（二）不相等的子集，每两个不相等的子集，它的交集是空的。满足这两个条件，这些子集组成的集合，就成为 \(S\) 的一个划分。" ⏱ 06:41
例子 · 整数集的 7 划分 \(H_0, H_1, \dots, H_6\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的 7 个非空子集：并起来正好是 \(\mathbb{Z}\)，其中每两个不相等的交集是空的——因此 \(\{H_0, H_1, \dots, H_6\}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 的一个划分。 ⏱ 07:22

5一般问题：如何统一地给集合 \(S\) 一个划分 ⏱ 08:04

问题 生活中"划分"很多（切蛋糕、排课表、分日子），但那些都是具体问题具体分析。数学上要解决的是统一的问题：
\textbf{任给一个非空集合 } S\textbf{，有没有一个统一的方法，给出它的一个划分？}
⏱ 08:46
老师的方法论 "研究问题，我们一定要按照数学思维方式……拿一个（来）解剖麻雀。……调查研究，解剖麻雀。"——先具体解剖"星期"这个例子，找出主要特征，再抽象成一般方法。 ⏱ 09:04
解剖"星期"例子：同一子集里的共同点 若整数 \(a, b\) 在同一个子集（比如都在星期日 \(H_0\)，或都在星期一 \(H_1\)），它们的共同点是：被 7 除的余数相同。 ⏱ 09:56

6同余：把"同一子集"抽象为关系 ⏱ 10:43

定义 · 同余（congruence） 整数 \(a\) 与 \(b\) 被 7 除余数相同，称为 \(a\) 与 \(b\) 模 7 同余（congruent modulo 7），简记
\[ a \equiv b \pmod{7}. \]
这里用三道横线表示"同余"（区别于等号的两道横线），下标写模 7。 ⏱ 11:20
老师解释记号 "同一（三道横线），等于（两道横线），同一三道横线……mod 是英文的 module（模）的前三个字母……读作 \(a\) 同余 \(b\) 模 7，或者 \(a\) 和 \(b\) 模 7 同余。" ⏱ 11:34
关键等价的充要条件 \(a, b\) 在同一个子集（同一个 \(H_i\)）里，当且仅当 \(a \equiv b \pmod 7\)（即 \(7 \mid (a-b)\)）。 ⏱ 11:57

于是"同余"自然成为整数集上的一个二元关系：任何一对有序整数 \((a, b)\)，要么模 7 同余（余数相同），要么不同余——非此即彼。⏱ 12:17

同余关系的集合刻画（\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) 的子集） 模 7 同余关系 = 下列 7 个笛卡尔积子集的并：
\[ W \;=\; \bigcup_{i=0}^{6} H_i \times H_i \;\subseteq\; \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}. \]
即 \((a,b)\) 属 \(W\) 当且仅当 \(a, b\) 同属某一个 \(H_i\)。⏱ 13:22
为什么要形式化"关系" "可是数学说，什么叫关系，你不能说'我都懂'……（我）还小的时候，我跟我爸爸父子关系、父女关系……数学（描述）都要给个概念、给个定义：什么叫关系？二元关系。" ⏱ 12:37

7二元关系的定义 ⏱ 16:08

定义 · \(S\) 上的二元关系 设 \(S\) 是一个非空集合。\(S\) 与 \(S\) 的笛卡尔积 \(S \times S\) 的一个子集（记作 \(W\)），就成为 \(S\) 上的一个二元关系。
  • 若有序元素对 \((a, b)\) 属于 \(W\)（\(a, b \in S\)），则称 \(a\) 与 \(b\) 有 \(W\) 关系，记作
    \[ a \mathrel{W} b \quad(\text{或省略下标写 } a \mathrel{W} b). \]
  • 若 \((a, b)\) 不属于 \(W\)，则称 \(a\) 与 \(b\) 没有 \(W\) 关系。 ⏱ 17:19
为什么用 \(S\times S\) 的子集来定义 "（一个元素对）要么属于这个子集，要么不属于这个子集（集合论公理：元素属于性非此即彼），（而）关系（本质上）应该是这样——要么这两个元素有这个关系，要么没有。所以正好高中学的（笛卡尔积的）子集正好用来描述关系。" ⏱ 18:34
核心要点 "关系的核心就是这两个元素：要么有这个关系，要么没有这个关系。" 直接说"要么有要么没有"循环了，所以必须用 \(S\times S\) 的子集（明确的对象）来定义"关系"。 ⏱ 19:34

8同余关系的三条性质 ⏱ 21:25

进一步研究同余（及一般划分所对应的关系）的三条性质：

性质 1 · 反身性 任何一个整数 \(a\) 跟自己一定模 7 同余（\(a\) 与 \(a\) 被 7 除余数相同，当然，因为 \(7\mid(a-a)=0\)）。 ⏱ 21:25
性质 2 · 对称性 若 \(a\) 与 \(b\) 模 7 同余（被 7 除余数相同），则 \(b\) 与 \(a\) 也模 7 同余。 ⏱ 21:35
性质 3 · 传递性 若 \(a\) 与 \(b\) 模 7 同余，且 \(b\) 与 \(c\) 模 7 同余，则 \(a\) 与 \(c\) 一定模 7 同余（余数相同可传递）。 ⏱ 21:45
为什么"恰好"这三条能给出划分 "（同余）所以能够把整数集给出一个划分，（它）除了一般的二元关系，还（具有）那三条（性质）。"——正是这三条性质（反身、对称、传递）使得"同余"能把 \(\mathbb{Z}\) 划成余类；反过来，任何满足这三条的关系都产生一个划分。 ⏱ 22:02

9等价关系的定义 ⏱ 22:02

定义 · 等价关系 \(S\) 上的一个二元关系，若满足下列三条性质，就称为 \(S\) 上的等价关系（equivalence relation）：
  1. 反身性：对一切 \(a \in S\)，\(a\) 与 \(a\) 有关系（\(a\sim a\)）； ⏱ 22:14
  2. 对称性：若 \(a\) 与 \(b\) 有关系，则 \(b\) 与 \(a\) 也有关系（\(a\sim b \Rightarrow b\sim a\)）； ⏱ 22:43
  3. 传递性：若 \(a\) 与 \(b\) 有关系且 \(b\) 与 \(c\) 有关系，则 \(a\) 与 \(c\) 有关系（\(a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c\)）。 ⏱ 23:01
"这个二元关系，如果满足反身性、对称性、传递性，那么我们就称这个二元关系 \(V\) 是 \(S\) 上的一个等价关系。" ⏱ 23:29
例子 · 模 7 同余是 \(\mathbb{Z}\) 上的等价关系 "模 7 同余，就是（整数）集上的一个等价关系。" ⏱ 23:45
本节标题 "所以今天我们的标题还要加上（等价关系）：集合的划分、还有等价关系。我们这一节的标题——第 13 节：集合的划分、等价关系。" ⏱ 24:05
预告：等价关系与划分的对应 本集建立了"划分 \(\Rightarrow\) 等价关系"（同余）的雏形；完整的"等价关系 \(\Leftrightarrow\) 划分"一一对应（商集 \(S/{\sim}\)、等价类 \([a]\) 的构造）将在后续章节系统展开——这是研究群/环的同余、线性空间的同构分类等问题的基础工具。

★重点回顾

1
按余数划分 \(\mathbb{Z}\)：\(H_i = \{7k + i \mid k\in\mathbb{Z}\}\)（\(i=0,\dots,6\)）是 7 个余类（同余类）。 ⏱ 00:27
2
划分的两条性质：\(\mathbb{Z} = \bigcup_{i=0}^6 H_i\)（并集为全集）；\(i\neq j\) 时 \(H_i \cap H_j = \varnothing\)（两两不交）。
3
集合的划分（定义）：\(S\) 的一组非空子集，并集为 \(S\) 且两两不相交。
4
一般问题：任给非空集合 \(S\)，如何"统一地"给出一个划分？——由"同一子集的公共特征"抽象出关系。
5
同余：\(a \equiv b \pmod 7\) 当且仅当 \(a, b\) 被 7 除余数相同（\(7\mid(a-b)\)）。用三道横线记号。
6
二元关系（定义）：\(S\) 上的二元关系 = \(S\times S\) 的子集 \(W\)；\((a,b)\in W\) 时称 \(a\) 与 \(b\) 有 \(W\) 关系。
7
等价关系（定义）：满足反身性、对称性、传递性的二元关系。模 7 同余是最典型例子。
8
核心思想：划分 ⇔ 等价关系（本集已给出同余方向；一般对应留待后续）。"把元素放在同一子集" 与 "元素之间满足等价关系" 是同一枚硬币的两面。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 划分要求子集"非空"：定义明确排除空集；把 \(\varnothing\) 放进"划分"里是错误。
  2. 划分要求两两不交：两个不同子集若有公共元素（交集非空）就破坏"划分"；"切蛋糕"比方中若两块蛋糕有重叠就不是合法切法。
  3. 写同余记号时用等号代替三道横线：\(a \equiv b \pmod 7\) 不能写成 \(a = b\)；等号是"相等"，同余是"余数相同"。老师反复强调"同一三道横线，等于两道横线"。
  4. 把"等价关系"三条件记错：是反身（\(a\sim a\)）、对称（\(a\sim b \Rightarrow b\sim a\)）、传递（\(a\sim b, b\sim c \Rightarrow a\sim c\)）三条；"自反"与"对称"不要混淆。
  5. 用 \(S\times S\) 子集定义"关系"时的理解：关系本身不是一个"动作"，而是一个"由有序对组成的子集"；\((a,b)\in W\) 才是"有关系"。直接说"要么有要么没有"是循环定义，所以必须用笛卡尔积的子集来表达。
  6. "统一的划分方法"不是"任意都能分"：本集只指出"从同一子集的公共特征抽象出等价关系"这一条路；并非每个划分都必须来自等价关系——但满足三条件的关系一定能产生划分（留待后续证明）。

✎自我检测

  1. 写出 \(\mathbb{Z}\) 按"被 5 除余数"划分所得的 5 个子集 \(K_0, K_1, \dots, K_4\)，验证并集与两两不交两条性质。
  2. 说明"切蛋糕给 8 个同学 8 块"为什么是（蛋糕的）一个划分；若允许某两块蛋糕重叠，哪里破坏了划分的哪一条性质？
  3. 设 \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\)。判断下列子集族是否为 \(S\) 的划分：\(\{\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}\)；\(\{\{1,2,3\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}\)；\(\{\{1,2\}, \{3\}\}\)。分别指出哪条性质不满足。
  4. 写出"模 7 同余"关系 \(W \subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) 的显式集合形式（用 \(H_i\times H_i\) 的并集），并验证 \(W\) 满足反身性、对称性、传递性。
  5. 设 \(\sim\) 是 \(S\) 上的二元关系。若 \(\sim\) 满足"传递"和"对称"，是否能推出"反身"？（提示：取 \(a\in S\)，用 \(a\sim a\) 与对称性构造；若不能，说明反例。）
  6. 用"被 2 除余数"给出 \(\mathbb{Z}\) 的一个 2 划分，并说明"奇偶性"作为 \(\mathbb{Z}\) 上的等价关系满足哪三条性质。
  7. （思考，下集展开）设 \(S\) 上有一个划分 \(\{S_1, S_2, \dots\}\)。定义 \(a \sim b\) 当且仅当 \(a, b\) 属于同一个 \(S_i\)。验证 \(\sim\) 是等价关系；并思考"等价关系 \(\Rightarrow\) 划分"方向的构造思路。
  8. 设 \(f: A\to B\) 是可逆映射（双射）。把"同构映射"类比到 \(V\)（\(\dim V=n\)）与 \(K^n\) 之间：用本集"划分"思想，说明"有限维 \(K\)-线性空间按维数分类"本质上就是用一个等价关系（维数相等）把"所有线性空间"分成"每个维数一类"。
下一集预告 后续章节将系统完成等价关系与划分的相互构造：给定划分，"属于同一块"是等价关系；给定等价关系，每个元素 \(a\) 的等价类 \([a] = \{x\in S \mid x\sim a\}\) 组成 \(S\) 的划分，\(S\) 的所有等价类组成的集合称为商集 \(S/{\sim}\)——这是研究群同余、矩阵等价分类等问题的通用工具。