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◎学习目标
- ✅ 理解等价类的定义：给定集合 \(S\) 上的等价关系 \(\mathcal{R}\)，对任意元素 \(A \in S\)，所有与 \(A\) 有关系的元素构成的子集称为 \(A\) 的等价类，记作 \(\overline{A}\)。
- ✅ 掌握等价类的基本性质：\(A \in \overline{A}\)（自反性保证），等价类的代表元不唯一。
- ✅ 掌握两个等价类相等的充要条件：\(\overline{A} = \overline{B}\) 当且仅当 \(A\) 与 \(B\) 有关系（即 \(A\ \mathcal{R}\ B\)）。
- ✅ 理解并能够证明：两个不相等的等价类，其交集必为空集。
- ✅ 掌握核心定理：集合 \(S\) 上任意一个等价关系，其所有等价类组成的集合构成 \(S\) 的一个划分。
- ✅ 通过模 \(m\) 剩余类的例子，理解抽象理论的具体应用。
- ✅ 体会"从具体实例出发，抽象出一般概念"的数学思维方式。
1等价类的定义与基本性质 ⏱ 02:35
从熟悉的星期例子出发：整数集 \(\mathbb{Z}\) 上的模 \(7\) 同余关系将整数分成七个剩余类，恰好对应星期日、星期一……星期六，构成 \(\mathbb{Z}\) 的一个划分。⏱ 00:20
证明：由等价关系的自反性，\(A\ \mathcal{R}\ A\) 成立，根据等价类的定义，立即得到 \(A \in \overline{A}\)。⏱ 06:28
推论：每个等价类 \(\overline{A} \neq \varnothing\)（非空），因为至少包含代表元 \(A\) 本身。
2等价类相等的判别条件 ⏱ 09:42
研究两个等价类何时相等，这是证明"不相等等价类交集为空"的关键工具。
性质 2 的完整证明
必要性（\(\Rightarrow\)）：假设 \(\overline{A} = \overline{B}\)。由性质 1 知 \(A \in \overline{A}\)，故 \(A \in \overline{B}\)。再由等价类的定义，\(A \in \overline{B}\) 当且仅当 \(A\ \mathcal{R}\ B\)。必要性得证。⏱ 10:08
充分性（\(\Leftarrow\)）：假设 \(A\ \mathcal{R}\ B\)，需证 \(\overline{A} = \overline{B}\)。按高中所学，证明两集合相等只需证互相包含。⏱ 11:42
第一步：证 \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\)。任取 \(C \in \overline{A}\)，则 \(C\ \mathcal{R}\ A\)（等价类定义）。又已知 \(A\ \mathcal{R}\ B\)。由等价关系的传递性，得 \(C\ \mathcal{R}\ B\)，从而 \(C \in \overline{B}\)。故 \(\overline{A} \subseteq \overline{B}\)。
第二步：证 \(\overline{B} \subseteq \overline{A}\)。由 \(A\ \mathcal{R}\ B\) 及等价关系的对称性，得 \(B\ \mathcal{R}\ A\)。这与第一步完全对称——将第一步中 \(A\) 与 \(B\) 的角色互换，立即可得 \(\overline{B} \subseteq \overline{A}\)。⏱ 14:04
结论：\(\overline{A} \subseteq \overline{B}\) 且 \(\overline{B} \subseteq \overline{A}\)，故 \(\overline{A} = \overline{B}\)。充分性得证。
3不相等等价类的交集为空 ⏱ 15:54
这是证明"等价类构成划分"的第二条关键性质，需要用到反证法。
性质 3 的证明（反证法）
已知：\(\overline{A} \neq \overline{B}\)。要证：\(\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing\)。
反设：\(\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing\)。则存在元素 \(C\) 使得 \(C \in \overline{A}\) 且 \(C \in \overline{B}\)。⏱ 16:05
由 \(C \in \overline{A}\) 及等价类定义，得 \(C\ \mathcal{R}\ A\)；再由对称性，得 \(A\ \mathcal{R}\ C\)。
由 \(C \in \overline{B}\) 得 \(C\ \mathcal{R}\ B\)。
由 传递性（\(A\ \mathcal{R}\ C\) 且 \(C\ \mathcal{R}\ B\)），推出 \(A\ \mathcal{R}\ B\)。⏱ 17:28
由 性质 2（\(A\ \mathcal{R}\ B \Rightarrow \overline{A} = \overline{B}\)），得 \(\overline{A} = \overline{B}\)。⏱ 17:38
但这与已知条件 \(\overline{A} \neq \overline{B}\) 矛盾！故反设不成立，即 \(\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing\)。证毕。
4等价关系推出划分的定理 ⏱ 19:16
现在把前面所有性质组合起来，证明本集的核心定理。
- 覆盖性：\(\displaystyle\bigcup_{\overline{A} \in \mathcal{P}} \overline{A} = S\)；
- 互不相交：对任意 \(\overline{A}, \overline{B} \in \mathcal{P}\)，若 \(\overline{A} \neq \overline{B}\)，则 \(\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing\)。
定理的完整证明
证明覆盖性（条件 1）：
首先，对每个 \(A \in S\)，\(\overline{A}\) 是 \(S\) 的子集，故所有等价类的并集显然是 \(S\) 的子集。
反过来，任取 \(B \in S\)，由性质 1（\(B \in \overline{B}\)），知 \(B\) 属于某个等价类（即 \(\overline{B}\) 本身），因此 \(B\) 属于所有等价类的并集。⏱ 22:44
故 \(S \subseteq \bigcup_{\overline{A} \in \mathcal{P}} \overline{A}\)，结合反向包含，得/bigcup = S\)。覆盖性得证。
证明互不相交（条件 2）：
直接由性质 3：若 \(\overline{A} \neq \overline{B}\)，则 \(\overline{A} \cap \overline{B} = \varnothing\)。⏱ 23:42
两条划分条件全部满足，定理得证。
5模 \(m\) 剩余类：整数集的划分实例 ⏱ 00:04
回到本课开头的例子。在整数集 \(\mathbb{Z}\) 上，模 \(m\) 同余关系 \(\equiv_m\) 是最经典的等价关系。
它满足自反性（\(a \equiv_m a\)）、对称性（\(a \equiv_m b \Rightarrow b \equiv_m a\)）、传递性（\(a \equiv_m b\) 且 \(b \equiv_m c \Rightarrow a \equiv_m c\)），故为等价关系。⏱ 00:15
其等价类（剩余类）为：
这 \(m\) 个剩余类构成 \(\mathbb{Z}\) 的一个划分，正如星期例子的抽象推广：⏱ 00:29
| 剩余类 | 模 \(m\) 同余类 | 对应的"星期" |
|---|---|---|
| \(\overline{0}\) | \(mk,\ k \in \mathbb{Z}\) | 星期日 |
| \(\overline{1}\) | \(mk+1,\ k \in \mathbb{Z}\) | 星期一 |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(\overline{m-1}\) | \(mk+(m-1),\ k \in \mathbb{Z}\) | 星期六 |
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆"元素属于等价类"与"等价类等于等价类"：\(C \in \overline{A}\) 表示 \(C\ \mathcal{R}\ A\)；\(\overline{C} = \overline{A}\) 是集合相等，由性质 2，两者等价。两者密切关联但层次不同。
- 忽略代表元不唯一性：认为 \(\overline{A}\) 只"属于" \(A\)。实际上，\(\overline{A}\) 中任一元素 \(B\)（满足 \(B\ \mathcal{R}\ A\)）都可以作为代表元，且 \(\overline{B} = \overline{A}\)。
- 证明两集合相等方法不当：高等代数中频繁出现集合相等的证明（如性质 2），标准方法是"互相包含"，而非直接元素比较。
- 忽视无限并集的定义：当 \(S\) 为无限集时，"所有等价类的并"是无限并集，其定义与有限并集相同：\(x\) 属于无限并当且仅当 \(x\) 属于某个成员集。
- 将"等价类"与"子集"混为一谈：等价类是特殊的子集（具有等价关系决定的结构），并非任意子集都能作为等价类出现。
✎自测与作业
- （基础）设 \(S = \{a, b, c, d\}\)，\(\mathcal{R} = \{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\}\)。验证 \(\mathcal{R}\) 是 \(S\) 上的等价关系，并写出所有等价类，验证它们构成 \(S\) 的一个划分。
- （证明）设 \(\mathcal{R}\) 是 \(S\) 上的等价关系。证明：对任意 \(A, B \in S\)，若 \(\overline{A} \cap \overline{B} \neq \varnothing\)，则 \(\overline{A} = \overline{B}\)。（这是性质 3 的逆否命题，换个角度理解。）
- （计算）在 \(\mathbb{Z}\) 上考虑模 \(5\) 同余关系。写出所有剩余类 \(\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}\)，并验证：（a）它们的并集为 \(\mathbb{Z}\)；（b）任意两个不同的剩余类交集为空。
- （深入）设 \(S\) 是非空集合，定义关系 \(\Delta\)：对任意 \(x, y \in S\)，\(x\ \Delta\ y\) 当且仅当 \(x = y\)。（\(\Delta\) 称为相等关系。）证明 \(\Delta\) 是 \(S\) 上的等价关系，并描述其等价类及由此得到的划分。
- （思考）设 \(S\) 是所有平面上直线的集合。定义关系：两条直线平行（或重合）时为有关系。验证这是等价关系，并描述其等价类与划分。这条划分有什么几何意义？
- （拓展）证明：若 \(\overline{A} = \overline{B}\)，则对任意 \(C \in \overline{A}\)，也有 \(\overline{C} = \overline{A}\)。（这说明等价类中任一元素都可以充当代表元。）