高等代数 · 第 P53 集 · 三十五：陪集、商集、商空间

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◎学习目标

理解如何从子空间 \(W\) 出发，在线性空间 \(V\) 上构造一个等价关系：\(\alpha \sim \beta \iff \beta - \alpha \in W\)；
掌握陪集的定义：\(\alpha\) 的等价类（陪集）为 \(\alpha + W = \{\alpha + \xi \mid \xi \in W\}\)，理解陪集代表的非唯一性；
理解商集 \(V/W\) 的定义：由 \(V\) 的所有陪集组成的集合，它是 \(V\) 关于子空间 \(W\) 的划分；
学会在商集上定义加法和数量乘法：\((\alpha+W) + (\beta+W) = (\alpha+\beta)+W\)，\(k(\alpha+W) = (k\alpha)+W\)；
验证上述定义与代表选取无关（well-defined），从而 \(V/W\) 构成一个线性空间；
理解商空间 \(V/W\) 的零元是 \(W\) 本身（即 \(\mathbf{0}+W = W\)），零元的代表是零向量；
掌握维数公式：若 \(\dim V = n\)，\(\dim W = s\)，则 \(\dim(V/W) = n - s\)；
体会商空间是研究线性空间结构的核心工具，理解其在抽象代数与几何中的统一意义。

1从几何到代数：构造等价关系 ⏱ 00:01

本节从一个几何实例出发，展示如何自然地在集合上建立等价关系。

几何直觉 · 平行平面设 \(\Gamma_1, \Gamma_2\) 是几何空间中两个平行平面，定义 \(\Gamma_1 \sim \Gamma_2\) 当且仅当它们平行（即在同一组平行平面中）。⏱ 00:01

两个平行平面的差向量属于过原点的指定平面（即指定方向的子空间），这给出了"差属于某子空间"这一核心思想。

从几何到抽象的过渡

老师强调："学高等代数一定要拿个具体例子，再抽象出来就不难。"⏱ 04:34

几何中"两个平面平行"等价于"它们的差向量属于指定子空间"。将此抽象到线性空间 \(V\) 中：

平行平面组 → 向量空间 \(V\) 的划分
一个平面 → 一个等价类（陪集）
平面间的平行关系 → 向量间的等价关系
过原点的平面 → 子空间 \(W\)

这种"具体→抽象"的思路是丘维声教授的典型教学风格。

老师强调 "你希望它有关系，那它就应该在同一个子体内…有关系的应该在同一个平面里，这很自然。"⏱ 00:54

2子空间上的等价关系 ⏱ 03:35

将几何思想形式化：设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的一个子空间。

定义 · 子空间诱导的等价关系在 \(V\) 上定义二元关系：\(\alpha, \beta \in V\)，规定

\alpha \sim \beta \iff \beta - \alpha \in W.

需要验证这是等价关系（自反性、对称性、传递性）。⏱ 04:11

验证自反性

\(\alpha \sim \alpha\)：因为 \(\alpha - \alpha = \mathbf{0}\)，而零向量属于任何子空间 \(W\)，故 \(\mathbf{0} \in W\)。因此 \(\alpha \sim \alpha\) 对一切 \(\alpha \in V\) 成立。⏱ 05:05

验证对称性

若 \(\beta \sim \alpha\)，即 \(\beta - \alpha \in W\)。由于 \(W\) 是子空间，对数量乘法封闭，故

-1 \cdot (\beta - \alpha) = -\beta + \alpha = \alpha - \beta \in W.

因此 \(\alpha \sim \beta\)。⏱ 05:35

验证传递性

若 \(\beta \sim \alpha\) 且 \(\alpha \sim \gamma\)，即 \(\beta - \alpha \in W\) 且 \(\alpha - \gamma \in W\)。

由 \(W\) 对加法封闭：

(\beta - \alpha) + (\alpha - \gamma) = \beta - \gamma \in W.

因此 \(\beta \sim \gamma\)。⏱ 06:47

关键点 · 子空间的三条封闭性子空间 \(W\) 必须满足：包含零向量（保证自反性）、对数量乘法封闭（保证对称性）、对加法封闭（保证传递性）。缺一不可。如果 \(W\) 不是子空间（例如不含零向量），等价关系不成立。⏱ 08:08

3陪集的定义与性质 ⏱ 08:41

等价关系将 \(V\) 划分为若干等价类（陪集）。每个陪集由一个代表元唯一确定。

定义 · 陪集（Coset）对 \(\alpha \in V\)，\(\alpha\) 的等价类（\(\alpha\) 的陪集）定义为

\alpha + W = \{\, \beta \in V \mid \beta - \alpha \in W \,\} = \{\, \alpha + \xi \mid \xi \in W \,\}.

称 \(\alpha\) 为陪集 \(\alpha + W\) 的一个代表元。⏱ 09:11

性质 1 · 两个陪集相等两个陪集 \(\alpha + W\) 和 \(\gamma + W\) 相等的充要条件是

\alpha + W = \gamma + W \iff \alpha - \gamma \in W.

即两个代表的差属于子空间 \(W\)。⏱ 11:41

⚠ 陪集代表的非唯一性若 \(\alpha - \gamma \in W\)，则 \(\alpha\) 和 \(\gamma\) 都可以作为同一陪集 \(\alpha + W\) 的代表。 陪集的代表不是唯一的！ 这一点在定义商集上的运算时至关重要（需验证 well-defined）。⏱ 13:31

特殊结论：\(W\) 本身是零陪集

零向量 \(\mathbf{0}\) 属于 \(W\)，故 \[ \mathbf{0} + W = W. \] 即子空间 \(W\) 本身是商集 \(V/W\) 中的一个元素（零元）。⏱ 14:44

若 \(\alpha \in W\)，则 \(\alpha + W = W\)。即 \(W\) 中任何向量作为代表，得到的陪集都是 \(W\) 本身。

与非齐次方程组的联系非齐次线性方程组解集的结构是 \(\gamma_0 + W\)（特解 + 解空间），与陪集的定义完全一致。 "那个叫陪集，我这个也叫陪集。" ⏱ 10:46

4商集的定义 ⏱ 15:48

有了等价关系和陪集的概念，可以定义商集。

定义 · 商集（Quotient Set） \(V\) 关于子空间 \(W\) 的商集定义为 \(V\) 的所有陪集组成的集合：

V/W = \{\, \alpha + W \mid \alpha \in V \,\}.

它是 \(V\) 的一个划分，记作 \(V\) 对 \(W\) 的商集。⏱ 16:43

老师说明 "我们说对于子空间 \(W\) 的商集…商集的元素是陪集。" 注意商集的元素不再是向量，而是向量类（陪集）。⏱ 16:35

对象	元素	运算
\(V\)	向量 \(\alpha \in V\)	向量加法、数量乘法
\(V/W\)	陪集 \(\alpha + W\)	待定（下一节定义）
\(W\)	向量 \(\xi \in W\)	子空间的运算

5商集上的加法运算 ⏱ 17:23

商集 \(V/W\) 的元素是陪集。能否在陪集之间定义加法？自然的想法是"代表相加"。

定义 · 陪集的加法对两个陪集 \(\alpha + W\) 和 \(\beta + W\)，定义

(\alpha + W) + (\beta + W) \stackrel{\text{def}}{=} (\alpha + \beta) + W.

即：取两个陪集各自的代表元相加，结果再构成陪集。⏱ 18:10

核心问题 · Well-defined 验证陪集代表不唯一！若 \(\alpha + W = \gamma + W\)（即 \(\alpha - \gamma \in W\)），且 \(\beta + W = \delta + W\)（即 \(\beta - \delta \in W\)），必须证明：

(\alpha + \beta) + W = (\gamma + \delta) + W.

否则加法定义不合理（不同代表得出不同结果）。⏱ 19:51

证明：加法定义与代表选取无关

设 \(\alpha - \gamma \in W\) 且 \(\beta - \delta \in W\)。考虑

(\alpha + \beta) - (\gamma + \delta) = (\alpha - \gamma) + (\beta - \delta).

由于 \(W\) 是子空间，对加法封闭，故 \((\alpha - \gamma) + (\beta - \delta) \in W\)。

由陪集相等条件：\((\alpha + \beta) - (\gamma + \delta) \in W\)，因此

(\alpha + \beta) + W = (\gamma + \delta) + W.

加法定义合理。⏱ 20:47

6商集上的数量乘法 ⏱ 21:21

定义 · 陪集的数量乘法对 \(k \in K\) 和陪集 \(\alpha + W\)，定义

k(\alpha + W) \stackrel{\text{def}}{=} (k\alpha) + W.

即：将代表元乘以 \(k\)，结果构成陪集。⏱ 21:36

Well-defined 验证（数量乘法）若 \(\alpha + W = \gamma + W\)（即 \(\alpha - \gamma \in W\)），则

k\alpha - k\gamma = k(\alpha - \gamma) \in W

（子空间对数量乘法封闭），故 \((k\alpha) + W = (k\gamma) + W\)。数量乘法定义与代表选取无关。⏱ 22:01

7商空间的结构 ⏱ 22:35

在 \(V/W\) 上定义了加法和数量乘法后，需验证它构成一个线性空间。老师称之为商空间。

定义 · 商空间（Quotient Space）数域 \(K\) 上线性空间 \(V\) 关于子空间 \(W\) 的商空间是指商集 \(V/W\) 连同上面定义的加法和数量乘法所构成的线性空间。⏱ 24:47

商空间的基本结构

零元：\(W\) 本身（即 \(\mathbf{0} + W = W\)）。它是商空间中的零向量。⏱ 23:05
负元：陪集 \(\alpha + W\) 的负元是 \((-\alpha) + W\)。⏱ 24:00
八条线性公理：结合律、交换律、分配律等全部继承自 \(V\)，逐条验证即可。

八条线性空间公理在商空间中的体现

由于陪集上的运算"透过代表元"在 \(V\) 上进行，而 \(V\) 已满足八条公理，商空间 \(V/W\) 自动继承。唯一的"额外"验证是运算的 well-defined（已在第 5、6 节完成）。⏱ 25:14

老师强调："我真正的目标是想利用商空间来研究线性空间的结构。"

直观理解若 \(V = \mathbb{R}^3\)，\(W\) 为 \(x\) 轴（一维子空间），则商空间 \(V/W\) 中每个陪集是一条"垂直于 \(x\) 轴的直线"。 \(V/W\) 是二维的，同构于 \(yOz\) 平面。

8维数公式 ⏱ 27:03

商空间最重要的结果之一是维数公式。

定理 · 维数公式设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的 \(s\) 维子空间，则

\dim(V/W) = n - s.

证明思路（补基法）

第一步：在 \(W\) 中取一组基 \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s\)。⏱ 28:03

第二步：将 \(\xi_1, \dots, \xi_s\) 扩充为 \(V\) 的一组基 \(\xi_1, \dots, \xi_s, \xi_{s+1}, \dots, \xi_n\)（线性代数基本定理）。

第三步：取 \(\xi_{s+1}, \dots, \xi_n\) 这 \(n-s\) 个向量作为"补充基"。则商空间 \(V/W\) 的一组基为：

\xi_{s+1} + W,\ \xi_{s+2} + W,\ \dots,\ \xi_n + W.

验证线性无关：若 \(\sum_{i=s+1}^{n} k_i(\xi_i + W) = W\)（商空间零元），则 \(\sum_{i=s+1}^{n} k_i \xi_i \in W\)，但 \(\xi_{s+1}, \dots, \xi_n\) 与 \(W\) 线性无关（基的扩充性质），故 \(k_i = 0\)。证毕。⏱ 31:23

推论 · 自然映射定义映射 \(\varphi: V \to V/W\)，\(\varphi(\alpha) = \alpha + W\)。则

\(\varphi\) 是满射（线性映射）；
\(\ker(\varphi) = W\)；
\(\operatorname{im}(\varphi)\) 的维数 = \(\dim V - \dim W = n - s\)。

★重点回顾

1

等价关系：由子空间 \(W\) 诱导的等价关系 \(\alpha \sim \beta \iff \beta - \alpha \in W\)，其自反、对称、传递性分别依赖于子空间"含零向量、对数量乘法封闭、对加法封闭"。

2

陪集：\(\alpha + W = \{\alpha + \xi \mid \xi \in W\}\)，代表元不唯一。两陪集相等 \(\iff\) 代表之差属于 \(W\)。

3

商集：\(V/W\) 是所有陪集的集合，即 \(V\) 关于 \(W\) 的划分。

4

商空间运算：\((\alpha+W)+(\beta+W) = (\alpha+\beta)+W\)，\(k(\alpha+W) = (k\alpha)+W\)。均与代表选取无关。

5

商空间零元：\(W\) 本身（即 \(\mathbf{0}+W\)），而非零向量。

6

维数公式：\(\dim(V/W) = \dim V - \dim W\)。证明核心：基扩充 + 补充基构成商空间基。

⚠易错点提醒

常见错误

陪集代表唯一？：不是！\(\alpha + W\) 可以有无穷多个代表。\(\gamma + W = \alpha + W\) 当且仅当 \(\gamma - \alpha \in W\)。
商集的元素是向量？：不是。商集 \(V/W\) 的元素是陪集（向量类），不是单个向量。
商空间的零元是零向量？：不是。商空间的零元是 \(W\)（即 \(\mathbf{0}+W\)）。混淆"向量 \(\mathbf{0}\)"与"陪集 \(W\) "是常见错误。
Well-defined 验证：定义商集上的运算时，必须证明结果与代表选取无关。这是最容易遗漏的步骤。
维数公式方向：\(\dim(V/W) = n - s\)，不是 \(s\)，也不是 \(n\)。商空间维数等于"被商去的子空间的补空间"的维数。

✎自我检测

设 \(V = \mathbb{R}^2\)，\(W = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\)（\(x\) 轴）。写出 \(W\)，并求出 \((1, 1) + W\) 的所有向量，说明 \((1, 1) + W\) 中还有哪些代表元。
设 \(V\) 是 \(\mathbb{R}^3\)，\(W\) 是由 \((1, 0, 0)\) 生成的一维子空间。计算 \(\dim(V/W)\)，并给出 \(V/W\) 的一组基。
设 \(W \subseteq U \subseteq V\) 均为 \(V\) 的子空间。证明 \((V/U)\) 关于 \((W+U)/U\) 的商空间同构于 \(V/W\)。（二重商定理）
设 \(V\) 是 \(n\) 维线性空间，\(W\) 是 \(V\) 的子空间。证明映射 \(\varphi: V \to V/W\)，\(\varphi(\alpha) = \alpha + W\) 是满射线性映射，且 \(\ker \varphi = W\)。
在 \(\mathbb{R}^2\) 中取 \(W = \{(a, a) \mid a \in \mathbb{R}\}\)（对角线），写出陪集 \((1, 0) + W\)，并验证 \((0, 1) + W\) 是否等于 \((1, 0) + W\)。
（思考）商空间 \(V/W\) 的线性映射理论（第一同态定理）：若 \(T: V \to U\) 是满射线性映射，\(\ker T = W\)，则存在唯一同构 \(\bar{T}: V/W \to U\)。用上述记号写出 \(\bar{T}\) 的定义。

下一集预告第 P54 集将继续讨论商空间的同构定理以及商空间在研究线性映射结构中的应用。