高等代数 · 第 P57 集 · 三：矩阵的幂、转置的运算、乘积的秩

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◎学习目标

理解单位矩阵的性质：对任意 \(s \times n\) 矩阵 \(A\)，有 \(I_s A = A\) 且 \(A I_n = A\)；
掌握矩阵的幂的定义与基本运算律：\(A^k \cdot A^l = A^{k+l}\)，\((A^k)^l = A^{kl}\)（\(A\) 为方阵）；
理解并会证明矩阵乘法与数量乘法和谐共存的四条法则（结合律、分配律、数量乘交换律）；
掌握转置运算的三条基本性质：\((A+B)^T = A^T + B^T\)，\((kA)^T = kA^T\)，\((AB)^T = B^T A^T\)（注意顺序互换！）；
会用矩阵乘法将线性方程组简洁地写成 \(AX = \beta\) 的形式；
理解乘积的秩的不等式：\(\mathrm{rank}(AB) \leq \min\{\mathrm{rank}(A),\, \mathrm{rank}(B)\}\)，并能给出证明。

1单位矩阵与矩阵的幂 ⏱ 00:00

上一集我们定义了单位矩阵 \(I_n\)（\(n\) 级，主对角线上全为 1，其余全为 0）。本节首先确认单位矩阵在矩阵乘法中的作用。

定理 · 单位矩阵的性质设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，则

I_s A = A, \qquad A I_n = A,

即左乘 \(s\) 级单位矩阵或右乘 \(n\) 级单位矩阵，均等于 \(A\) 本身。⏱ 01:27

当 \(A\) 本身为 \(n\) 级方阵时，左乘和右乘的都是 \(I_n\)，因此 \(I_n A = A I_n = A\)。单位矩阵的作用类似于实数乘法中的 1。⏱ 01:25

矩阵的幂

当 \(A\) 是 \(n\) 级方阵时，可以定义 矩阵的幂：

定义 · 矩阵的幂设 \(A\) 为 \(n\) 级方阵，\(m\) 为正整数，规定：

A^m = \underbrace{A \cdot A \cdot \cdots \cdot A}_{m\text{ 个 }A}, \qquad A^0 = I_n.

由于矩阵乘法满足结合律，无论怎样加括号，结果唯一确定，因此 \(A^m\) 是无歧义的。⏱ 04:00

幂运算律对任意非负整数 \(k,l\)，有

A^k \cdot A^l = A^{k+l}, \qquad (A^k)^l = A^{kl}.

这两个公式由定义直接看出。⏱ 04:48

为什么需要结合律才能定义幂运算？

如果没有结合律，\(A \cdot A \cdot A\) 就可能产生歧义：\((A\cdot A)\cdot A \neq A\cdot(A\cdot A)\)。矩阵乘法满足结合律 \((AB)C = A(BC)\)，因此 \(m\) 个 \(A\) 相乘的结果与括号的位置无关，\(A^m\) 是唯一确定的。⏱ 03:40

2矩阵乘法的第四组法则：乘法与数量乘法的和谐 ⏱ 02:11

矩阵有三种运算：加法、数量乘法、乘法。我们已经知道：

加法与乘法：由左、右分配律联系起来；
加法与数量乘法：由数量乘法的后两条法则联系起来。

现在还剩下：矩阵乘法与数量乘法的关系。需要确保两者"不打架"，而是和谐共存。

定理 · 乘法与数量乘法的和谐法则设 \(A, B\) 为可乘的矩阵，\(k\) 为任意数量，则以下四条成立：

\[ (kA)B = k(AB) = A(kB). \]

四条法则的具体内容是：左结合、右结合、左分配、右分配。⏱ 02:20 证明只需验证等式两边的每个元素相等，读者可自行完成。

重要提示这四条法则保证了：先做乘法再做数量乘法，与先做数量乘法再做乘法，结果相同——谁先谁后都可以，不产生冲突。⏱ 03:00

3转置运算的性质 ⏱ 05:10

矩阵还有第四种运算——转置。我们需要了解转置与加法、数量乘法、乘法之间的关系。

转置的三个基本性质设 \(A, B\) 为同型矩阵，\(k\) 为任意数量，则：

\[ (A+B)^T = A^T + B^T, \]

\[ (kA)^T = kA^T, \]

(AB)^T = B^T A^T. \quad \text{（注意顺序互换！）}

前两个性质很容易证明。第三个性质是关键，也是容易出错的地方。

证明 \((AB)^T = B^T A^T

前提：设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times m\) 矩阵，则 \(AB\) 为 \(s \times m\) 矩阵。\((AB)^T\) 为 \(m \times s\) 矩阵；\(B^T\) 为 \(m \times n\)，\(A^T\) 为 \(n \times s\)，故 \(B^T A^T\) 也是 \(m \times s\) 矩阵，两侧维度匹配。⏱ 06:24

比较第 \((i,j)\) 元：\((AB)^T\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 元等于 \(AB\) 的第 \(j\) 行第 \(i\) 元，即 \(\sum_{k=1}^{n} a_{jk} b_{ki}\)。⏱ 07:22

而 \(B^T A^T\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 元，由矩阵乘法定义，等于 \(B^T\) 的第 \(i\) 行与 \(A^T\) 的第 \(j\) 列对应元素乘积之和：

\sum_{k=1}^{n} (B^T)_{ik} \cdot (A^T)_{kj} = \sum_{k=1}^{n} b_{ki} \cdot a_{jk} = \sum_{k=1}^{n} a_{jk} b_{ki}.

两式相等，故 \((AB)^T = B^T A^T\)。证毕。⏱ 09:27

易错点很多同学会错误地写成 \((AB)^T = A^T B^T\)，这是错误的！正确的公式是 \((AB)^T = B^T A^T\)，顺序必须互换。可以类比：对复数有 \(\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}\)（不交换），但对矩阵乘法顺序是有影响的。

4线性方程组的矩阵表示 ⏱ 09:50

有了矩阵乘法的概念，线性方程组可以写得非常简洁。

考虑一般线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \cdots + a_{sn}x_n = b_s. \end{cases}

记系数矩阵 \(A = (a_{ij})_{s\times n}\)，未知数组成的列向量 \(X = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T\)，常数项列向量 \(\beta = (b_1, b_2, \dots, b_s)^T\)，则原方程组可以写成：

矩阵形式的线性方程组

AX = \beta.

验证：左边 \(AX\) 的第 \(i\) 行第 1 列元素，按矩阵乘法定义，恰好是 \(a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n\)，等于右边的 \(b_i\)，即第 \(i\) 个方程。⏱ 11:04

相应的齐次线性方程组（常数项全为 0）可写成：

AX = \mathbf{0}.

意义这种矩阵表示非常简洁，使得我们可以用矩阵的理论来处理线性方程组的问题，打通了第一章（线性方程组）、第三章（向量组）和第四章（矩阵运算）之间的联系。⏱ 12:30

5乘积的秩的不等式 ⏱ 12:44

本节最重要的结论——矩阵乘积的秩的一个基本不等式。

定理 · 乘积的秩设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times m\) 矩阵，则

\mathrm{rank}(AB) \leq \min\{\mathrm{rank}(A),\; \mathrm{rank}(B)\},

即乘积矩阵的秩不超过左矩阵的秩，也不超过右矩阵的秩。

证明

第一步：证明 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(A)\)。

将 \(A\) 按列向量组写出：\(A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)，\(B = (b_{ij})_{n\times m}\)。⏱ 13:08

计算 \(AB\) 的第 \(j\) 列：由矩阵乘法的列向量组表示（第二种表述），\(AB\) 的第 \(j\) 列为

b_{1j}\alpha_1 + b_{2j}\alpha_2 + \cdots + b_{nj}\alpha_n,

这正是 \(A\) 的列向量组 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 的线性组合。⏱ 15:50

由第三章的结论：若向量组 I 可由向量组 II 线性表出，则 \(\mathrm{rank}(\text{I}) \leq \mathrm{rank}(\text{II})\)。⏱ 20:51

因此 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(A)\)。

第二步：证明 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(B)\)。

利用转置性质：\((AB)^T = B^T A^T\)，且 \(\mathrm{rank}(M) = \mathrm{rank}(M^T)\)。⏱ 00:08

于是 \(\mathrm{rank}(AB) = \mathrm{rank}((AB)^T) = \mathrm{rank}(B^T A^T)\)。⏱ 00:28

对 \(B^T A^T\) 应用第一步的结论（把 \(B^T\) 看作左矩阵，\(A^T\) 看作右矩阵）：

\mathrm{rank}(B^T A^T) \leq \mathrm{rank}(B^T) = \mathrm{rank}(B).

故 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(B)\)。⏱ 00:59

综合：\(\mathrm{rank}(AB)\) 同时不超过 \(\mathrm{rank}(A)\) 和 \(\mathrm{rank}(B)\)，所以不超过两者的较小值，即 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \min\{\mathrm{rank}(A), \mathrm{rank}(B)\}\)。证毕。⏱ 01:11

重要结论乘积矩阵的秩不会超过任何一个因子矩阵的秩。这是一个非常实用的不等式，在后续讨论线性方程组解的结构时会反复使用。⏱ 01:45

★重点回顾

1

单位矩阵：\(I_s A = A\)，\(A I_n = A\)；方阵 \(A\) 有 \(I_n A = A I_n = A\)。作用如同实数中的 1。

2

矩阵的幂：\(A^m = A \cdot A \cdot \cdots \cdot A\)（\(m\) 个），\(A^0 = I_n\)；运算律 \(A^k A^l = A^{k+l}\)，\((A^k)^l = A^{kl}\)。

3

转置的三个性质：\((A+B)^T = A^T + B^T\)，\((kA)^T = kA^T\)，\((AB)^T = B^T A^T\)（顺序互换，最易错！）。

4

线性方程组的矩阵形式：\(AX = \beta\)（非齐次），\(AX = \mathbf{0}\)（齐次），非常简洁。

5

乘积的秩不等式：\(\mathrm{rank}(AB) \leq \min\{\mathrm{rank}(A), \mathrm{rank}(B)\}\)；证明关键是：① 用列向量组线性组合说明 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(A)\)；② 用转置性质说明 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(B)\)。

⚠易错提醒

常见错误

转置公式记反顺序：错误地认为 \((AB)^T = A^T B^T\)。正确是 \((AB)^T = B^T A^T\)，顺序必须互换！
矩阵幂只对方阵有意义：\(A^m\) 要求 \(A\) 是方阵（否则 \(A \cdot A\) 无定义）；零矩阵 \(O\) 的幂定义需小心（\(O^0 = I\) 仅在方阵情形下成立）。
混淆 rank(AB) 与 rank(A)·rank(B)：乘积的秩只满足不等式 \(\leq\)，并不等于 rank(A)·rank(B)，也没有简单的等式关系。
单位矩阵的阶数：左乘单位矩阵必须是 \(s\) 级（与 \(A\) 的行数相同），右乘必须是 \(n\) 级（与 \(A\) 的列数相同），不要写错阶数。

✎自我检测

证明：若 \(A\) 为 \(n\) 级方阵且 \(A^2 = A\)（称 \(A\) 为幂等矩阵），则 \(\mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(I - A) = n\)。（提示：考虑 \(A(I-A) = 0\) 及秩的不等式。）
设 \(A\) 为 \(3 \times 3\) 矩阵，\(A = \begin{pmatrix} 1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}\)，计算 \(A^T\) 并验证 \((AA^T)^T = A^T (A^T)^T\)。
证明：若 \(AB = O\)（零矩阵），则 \(\mathrm{rank}(A) + \mathrm{rank}(B) \leq n\)（其中 \(A\) 为 \(s \times n\)，\(B\) 为 \(n \times m\)）。提示：利用 \(\mathrm{rank}(AB) = 0\) 和秩的不等式。
设 \(A\) 为 \(n\) 级可逆矩阵，证明 \(\mathrm{rank}(AB) = \mathrm{rank}(B)\) 且 \(\mathrm{rank}(CA) = \mathrm{rank}(C)\)。（提示：可逆矩阵乘矩阵不改变秩。）
验证：对任意 \(2 \times 2\) 矩阵 \(A, B\)，直接计算验证 \((AB)^T = B^T A^T\)。
（思考）为什么 \(\mathrm{rank}(AB) \leq \mathrm{rank}(A)\) 的几何意义是：\(AB\) 的列向量组可由 \(A\) 的列向量组线性表出？

下一集预告第 P58 集 · 四：特殊矩阵、对角矩阵——介绍基本矩阵 \(E_{ij}\)、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵及其运算性质。