高等代数 · 第 P59 集 · 五：初等矩阵、初等变换、对称矩阵

☰本集目录

◎学习目标

理解上三角矩阵和下三角矩阵集合分别构成子空间，并对乘法封闭；
掌握三种初等行变换：倍加（一行乘以 \(k\) 倍加到另一行）、互换（两行互换）、倍乘（一行乘以非零常数）；
理解初等矩阵的定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，共有三种形式；
掌握核心定理：初等矩阵左乘矩阵 \(A\) 等价于对 \(A\) 做相应的初等行变换；初等矩阵右乘 \(A\) 等价于对 \(A\) 做相应的初等列变换；
理解初等矩阵都是可逆矩阵，且其行列式只取 \(\pm 1\) 或 \(k\)（倍乘型）；
掌握对称矩阵的定义：\(A^T = A\)，即 \(a_{ij} = a_{ji}\)；
理解对称矩阵的元素结构：关于主对角线对称，主对角线两侧元素相等；
体会初等矩阵理论在矩阵分解、求逆、线性方程组求解中的应用价值。

1上三角矩阵与下三角矩阵封闭性 ⏱ 00:01

本节开头回顾了上三角矩阵的乘法封闭性。

性质 · 上三角矩阵乘法封闭设 \(A, B\) 都是 \(n\) 阶上三角矩阵，则 \(AB\) 仍为上三角矩阵。⏱ 00:01

验证：\((AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\)。当 \(i > j\) 时，对每一项 \(a_{ik} b_{kj}\)：若 \(k < j\)，则 \(b_{kj} = 0\)（\(B\) 上三角）；若 \(k \ge j\)，则 \(a_{ik} = 0\)（\(A\) 上三角且 \(i > j \ge k\)）。故 \((AB)_{ij} = 0\)，\(AB\) 为上三角矩阵。

性质 · 主对角线元素的乘积上三角矩阵 \(A, B\) 相乘后，\((AB)\) 的主对角线元素为

(AB)_{ii} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{ki} = a_{ii} b_{ii}

（因为 \(i > k\) 时 \(b_{ki} = 0\)，\(i < k\) 时 \(a_{ik} = 0\)，仅 \(k = i\) 项非零）。⏱ 01:34

下三角矩阵类似下三角矩阵（主对角线上方全为 0）对加法、乘法封闭，也构成一个子空间。⏱ 02:14

2初等行变换与初等矩阵概述 ⏱ 02:50

矩阵的初等行变换有三种。将初等变换"矩阵化"，就得到初等矩阵。

定义 · 初等矩阵（三种）由单位矩阵 \(I_n\) 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种形式对应三种初等行变换：⏱ 03:20

类型	变换操作	矩阵形式	记号
第一类（倍加）	第 2 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行	\(P(j, 2, k)\)（主对角线为 1，\((j,2)\) 位为 \(k\)）	\(P(j,2,k)\)
第二类（互换）	第 2 行与第 \(j\) 行互换	\(P(2, j)\)（\(I_n\) 中第 2、\(j\) 行互换）	\(P(2,j)\)
第三类（倍乘）	第 2 行乘以非零常数 \(c\)	\(P(2, c)\)（主对角线第 2 位为 \(c\)，其余为 1）	\(P(2,c)\)

老师说明 "箭头下方表示列变化，箭头上方表示行变化。" 初等矩阵既可以理解为由行变换得到，也可以理解为由列变换得到。⏱ 05:40

3第一类初等矩阵（倍加型） ⏱ 04:30

设 \(k \in K\)，由单位矩阵 \(I_n\) 将第 2 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行，得到矩阵 \(P(j, 2, k)\)。

第一类初等矩阵 \(P(j,2,k)\) 是一个 \(n\) 阶矩阵，其中：

P(j,2,k) = I_n \text{ 中 } (j,2) \text{ 位} = k, \text{ 其余主对角元} = 1, \text{ 其余非对角元} = 0.

具体地（以 4 阶为例，第 2 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行）：

P(j,2,k) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & k & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \end{pmatrix} \quad (j \text{ 行第 2 列} = k)

⏱ 05:00

列变换视角

同一个矩阵 \(P(j,2,k)\) 也可以由列变换得到：将单位矩阵的第 \(j\) 列的 \(k\) 倍加到第 2 列。⏱ 05:15

验证（以 3 阶、\(j=3\) 为例）：

I_3 \xrightarrow{\text{第 3 列} \times k + \text{第 2 列}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

注意：第 2 列的第 \(j\) 个元素（即 1）乘以 \(k\) 加到第 \(j\) 列的第 2 行位置，故 \((2, j)\) 位为 \(k\)。

4第二类初等矩阵（互换型） ⏱ 06:35

第二类初等矩阵由 \(I_n\) 将第 2 行与第 \(j\) 行互换得到矩阵 \(P(2, j)\)：

P(2,j) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & 1 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

其中第 2 行与第 \(j\) 行互换：\((2,2)\) 位 = 0，\((2,j)\) 位 = 1，\((j,2)\) 位 = 1，\((j,j)\) 位 = 0。⏱ 07:00

性质 · 互换型初等矩阵的自逆互换行与互换列操作互为逆操作，故

P(2,j) \cdot P(2,j) = I_n \quad \text{即} \quad P(2,j)^{-1} = P(2,j).

互换型初等矩阵是对合矩阵（involution），行列式 \(\det P(2,j) = -1\)。

5第三类初等矩阵（倍乘型） ⏱ 08:00

第三类初等矩阵由 \(I_n\) 将第 2 行乘以非零常数 \(c\) 得到矩阵 \(P(2, c)\)：

P(2,c) = \operatorname{diag}(1, c, 1, \dots, 1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.

其中 \(c \ne 0\)（保证可逆）。⏱ 08:30

性质 · 倍乘型初等矩阵的逆

P(2,c)^{-1} = P(2, c^{-1}), \quad \det P(2,c) = c.

行列式总结三种初等矩阵的行列式：
· 倍加型：\(\det = 1\)；
· 互换型：\(\det = -1\)；
· 倍乘型：\(\det = c\)。

6初等矩阵左乘 = 初等行变换 ⏱ 08:55

这是本节最核心的结论之一。

定理 · 初等矩阵左乘等价于行变换用初等矩阵 \(P\) 左乘矩阵 \(A\)，等价于对 \(A\) 做与 \(P\) 构造时相同的初等行变换。⏱ 09:10

P(j,2,k) \cdot A = \text{将 } A \text{ 的第 2 行的 } k \text{ 倍加到第 } j \text{ 行}.

证明（以倍加型为例）

设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，按行向量组写为：

A = \begin{pmatrix} \gamma_1^T \\ \gamma_2^T \\ \vdots \\ \gamma_j^T \\ \vdots \\ \gamma_s^T \end{pmatrix}

倍加型初等矩阵 \(P(j,2,k)\) 按行写为：第 \(j\) 行为 \((0, \dots, 0, k, 0, \dots, 1, 0, \dots)\)（第 2 位为 \(k\)，第 \(j\) 位为 1），其余行与单位矩阵相同。

计算 \(P(j,2,k) \cdot A\) 的第 \(j\) 行：

\text{第 } j \text{ 行} = k \cdot \gamma_2^T + 1 \cdot \gamma_j^T = (\gamma_j + k\gamma_2)^T.

其余行不变。这正是"将第 2 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行"。⏱ 10:00

互换型的证明

设 \(P(2,j)\) 互换型矩阵左乘 \(A\)。\(P(2,j)\) 的第 \(j\) 行为 \((0,\dots,1,\dots,0)\)（第 2 位为 1），第 2 行为 \((0,\dots,1,\dots,0)\)（第 \(j\) 位为 1）。

计算 \(P(2,j) \cdot A\)：

\text{第 2 行} = \gamma_j^T, \quad \text{第 } j \text{ 行} = \gamma_2^T, \quad \text{其余行不变}.

正是第 2 行与第 \(j\) 行互换。⏱ 11:15

核心记忆 初等矩阵左乘矩阵 \(A\) = 对 \(A\) 做相应的初等行变换。
"初等行变换非常直观，而矩阵乘法是硬算。将行变换转化为初等矩阵左乘，便于理论推导。"⏱ 15:58

7初等矩阵右乘 = 初等列变换 ⏱ 11:30

定理 · 初等矩阵右乘等价于列变换用初等矩阵 \(P\) 右乘矩阵 \(A\)，等价于对 \(A\) 做与 \(P\) 构造时相同的初等列变换。⏱ 12:00

A \cdot P(j,2,k) = \text{将 } A \text{ 的第 } j \text{ 列的 } k \text{ 倍加到第 2 列}.

证明（以倍加型为例）

设 \(A\) 按列向量组写为 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)。

初等矩阵 \(P(j,2,k)\) 的第 2 列为 \((0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)^T\)（第 2 位为 1），第 \(j\) 列为 \((0, \dots, k, \dots, 0)^T\)（第 2 位为 \(k\)）。

计算 \(A \cdot P(j,2,k)\) 的第 2 列：

\text{第 2 列} = A \cdot (\text{第 2 列}) = \alpha_1 \cdot 0 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_j \cdot k = \alpha_2 + k\alpha_j.

即第 2 列变为 \(\alpha_2 + k\alpha_j\)，等价于"将第 \(j\) 列的 \(k\) 倍加到第 2 列"。⏱ 12:45

互换型和倍乘型类似

互换型：\(A \cdot P(2,j)\) = 将 \(A\) 的第 2 列与第 \(j\) 列互换；
倍乘型：\(A \cdot P(2,c)\) = 将 \(A\) 的第 2 列乘以 \(c\)。

⏱ 13:30

左乘 vs 右乘

操作	等价变换
初等矩阵 \(P\) 左乘 \(A\)	对 \(A\) 做相应的初等行变换
初等矩阵 \(P\) 右乘 \(A\)	对 \(A\) 做相应的初等列变换

⏱ 15:58

8对称矩阵的定义 ⏱ 17:47

本节最后一部分介绍一种重要的特殊矩阵——对称矩阵。

定义 · 对称矩阵设 \(A\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶方阵。若

\[ A^T = A \]

即 \(A\) 的转置等于自身，则称 \(A\) 为对称矩阵（Symmetric Matrix）。⏱ 18:20

等价条件（元素层面） \(A\) 为对称矩阵的充要条件是

a_{ji} = a_{ij}, \quad \forall\, i, j \in \{1, 2, \dots, n\}.

即矩阵中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素等于第 \(j\) 行第 \(i\) 列的元素。⏱ 20:10

名称由来 "对称矩阵是关于主对角线对称的。" 初中几何中，等腰三角形关于底边中线对称；矩阵中，\(A^T = A\) 意味着元素关于主对角线"对称"。

9对称矩阵的结构特征 ⏱ 20:14

对称矩阵的元素呈现明显的对称模式。

对称矩阵的一般形式（4 阶示例）设 \(A\) 为 4 阶对称矩阵，则

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{pmatrix}

注意：

主对角线元素 \(a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}\) 自由取值；
主对角线两侧对称位置元素相等：\(a_{12} = a_{21}\)，\(a_{13} = a_{31}\)，\(a_{24} = a_{42}\) 等；
独立参数个数 = \(\frac{n(n+1)}{2}\)（4 阶为 10 个）。

⏱ 20:30

对称矩阵的子空间结构

设 \(A, B\) 都是 \(n\) 阶对称矩阵，\(k\) 为任意标量。则：

\((A+B)^T = A^T + B^T = A + B\)，故 \(A+B\) 对称；
\((kA)^T = kA^T = kA\)，故 \(kA\) 对称。

因此，所有 \(n\) 阶对称矩阵构成 \(K^{n \times n}\) 的一个子空间，维数为 \(\frac{n(n+1)}{2}\)。

对称矩阵与对角矩阵的关系

每个对角矩阵都是对称矩阵（因为对角矩阵主对角线两侧全为 0，自然相等）；
数量矩阵 \(kI_n\) 是对称矩阵；
但对称矩阵不必是对角矩阵。

★重点回顾

1

三种初等矩阵：倍加型 \(P(j,2,k)\)（\(\det=1\)）、互换型 \(P(2,j)\)（\(\det=-1\)，自逆）、倍乘型 \(P(2,c)\)（\(\det=c\)，\(c \ne 0\)）。

2

核心定理：初等矩阵左乘 \(A\) = 对 \(A\) 做行变换；右乘 \(A\) = 对 \(A\) 做列变换。这是矩阵分解和求逆的基础。

3

可逆性：所有初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵（倍加型 \(k \to -k\)；互换型自逆；倍乘型 \(c \to c^{-1}\)）。

4

对称矩阵：\(A^T = A\)，等价于 \(a_{ij} = a_{ji}\)，关于主对角线对称，独立参数 \(\frac{n(n+1)}{2}\) 个。

5

上三角/下三角矩阵封闭性：上（下）三角矩阵集合对加法和乘法封闭，构成子空间；主对角线元素在乘法下取对应乘积。

⚠易错点提醒

常见错误

左乘 vs 右乘混淆：左乘对应行变换，右乘对应列变换。倍加型 \(P(j,2,k)\) 左乘 \(A\) 是"第 2 行的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 行"；右乘 \(A\) 是"第 \(j\) 列的 \(k\) 倍加到第 2 列"（注意方向不同！）。
倍乘型 \(c = 0\) 不可：第三类初等矩阵要求 \(c \ne 0\)，否则不可逆。\(c = 0\) 时矩阵不再可逆，不属于初等矩阵范畴。
互换型初等矩阵的行列式：是 \(-1\) 而非 \(1\)。两个行互换改变行列式符号，故 \(\det P(2,j) = -1\)。
对称矩阵 ≠ 对角矩阵：对角矩阵是对称矩阵的子集，但对称矩阵可以主对角线两侧有非零元素。例如 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) 是对称矩阵但不是对角矩阵。
初等矩阵不是所有可逆矩阵：初等矩阵是"单次"变换产生的矩阵。一般可逆矩阵可以分解为若干初等矩阵的乘积，但单个可逆矩阵未必是初等矩阵。

✎自我检测

写出 3 阶矩阵 \(P(3,1,2)\)（第 1 行的 2 倍加到第 3 行），验证它是初等矩阵，并求其逆矩阵。
设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)。计算 \(P(2,1) \cdot A\)（第 1、2 行互换）和 \(A \cdot P(2,1)\)（第 1、2 列互换），说明二者不同。
证明：若 \(P\) 是倍加型初等矩阵 \(P(j,i,k)\)，则 \(P^{-1} = P(j,i,-k)\)。（提示：将第 \(i\) 行的 \(-k\) 倍加到第 \(j\) 行，可还原。）
设 \(A\) 为 \(n\) 阶对称矩阵，\(B\) 为 \(n\) 阶任意矩阵。问 \(AB + B^T A^T\) 是否对称？（提示：取转置验证。）
将 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\) 通过初等矩阵左乘化为上三角形式（行阶梯形），写出对应的初等矩阵乘积。
（思考）证明：\(n\) 阶可逆矩阵 \(A\) 可以唯一分解为初等矩阵的乘积。说明初等矩阵生成 \(GL_n(K)\)。

下一集预告第 P60 集将继续讨论初等矩阵在矩阵求逆、等价标准形等更复杂问题中的应用。