高等代数 · 课程学习笔记

第 P60 集 · 六：对称矩阵性质、斜反称矩阵、可逆矩阵

Symmetric Matrices, Skew-Symmetric Matrices & Invertible Matrices
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P60 / 151 集 核心概念：对称矩阵子空间 · 斜对称矩阵 · 可逆矩阵定义
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◎学习目标

  1. 理解对称矩阵的定义 \(A^{T} = A\)，并掌握所有 \(n\) 阶对称矩阵构成数域 \(K\) 上 \(M_{n \times n}(K)\) 的一个线性子空间；
  2. 理解斜对称（反对称）矩阵的定义 \(A^{T} = -A\)，掌握其主对角线元素全为 0、关于主对角线对称位置互为相反数的结构特征；
  3. 理解斜对称矩阵全体也构成 \(M_{n \times n}(K)\) 的一个线性子空间；
  4. 掌握可逆矩阵的定义：存在 \(B\) 使得 \(AB = BA = I_n\)，并理解其名称来源于可逆映射；
  5. 理解满足定义的逆矩阵是唯一的，因此 \(A^{-1}\) 记号是良定义的；
  6. 掌握可逆矩阵的一个必要条件：\(\det A \neq 0\)（满秩矩阵）；
  7. 了解可逆矩阵与满秩矩阵的关系，为后续判定定理（伴随矩阵法）做铺垫。

1对称矩阵的子空间性质 ⏱ 00:15

对称矩阵是最常见的特殊矩阵之一。定义：

定义 · 对称矩阵 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若满足 \(A^{T} = A\)，则称 \(A\) 为对称矩阵。

接下来，丘老师验证所有 \(n\) 阶对称矩阵构成的集合是否构成 \(M_{n \times n}(K)\) 的线性子空间。需要验证三点：非空、对加法封闭、对数乘封闭。⏱ 00:32

证明：对称矩阵全体构成线性子空间

第一步：验证对加法封闭。设 \(A, B\) 都是 \(n\) 阶对称矩阵，即 \(A^{T} = A\)，\(B^{T} = B\)。考察 \((A+B)^{T}\)：⏱ 00:40

\[(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B.\]

因此 \(A+B\) 也是对称矩阵，加法封闭。⏱ 00:49

第二步：验证对数乘封闭。设 \(k \in K\)，考察 \((kA)^{T}\)：⏱ 01:14

\[(kA)^{T} = kA^{T} = kA.\]

因此 \(kA\) 也是对称矩阵，数乘封闭。⏱ 01:19

第三步：验证非空。零矩阵 \(O\) 满足 \(O^{T} = O\)，是对称矩阵；单位矩阵 \(I\) 也满足 \(I^{T} = I\)，是对称矩阵。故集合非空。⏱ 01:37

结论：所有 \(n\) 阶对称矩阵构成数域 \(K\) 上 \(M_{n \times n}(K)\) 的一个线性子空间。⏱ 02:02

小结 对称矩阵子空间是后面研究矩阵空间结构的基础工具。丘老师强调，这是六种特殊矩阵中的第一种系统讲解的。⏱ 02:08

2斜对称（反对称）矩阵的结构 ⏱ 02:45

定义 · 斜对称矩阵 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若满足 \(A^{T} = -A\)，则称 \(A\) 为斜对称矩阵（又称反对称矩阵）。

注：英文 skew-symmetric，"skew" 有"歪、斜"之意，故"斜对称"更贴合英文原意；国内教材多称"反对称"，两种叫法等价。

现在分析斜对称矩阵的结构特征。由 \(A^{T} = -A\)，比较两边 \((i,j)\) 元：⏱ 03:45

\[a_{ji} = -a_{ij}, \quad \forall\, 1 \le i,j \le n.\]

特别地，取 \(i = j\)，得 \(a_{ii} = -a_{ii}\)，从而 \(2a_{ii} = 0\)，即 主对角线上的元素全为 0。⏱ 05:00

重要结论 斜对称矩阵的主对角线元素全为 0，且关于主对角线对称位置的两个元素互为相反数：
\[A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & \cdots & 0 \end{pmatrix}.\]

类似地，可以验证斜对称矩阵全体也对加法和数乘封闭，且包含零矩阵，因此它也构成 \(M_{n \times n}(K)\) 的一个线性子空间。⏱ 06:50

重要背景 对称矩阵子空间和斜对称矩阵子空间对于研究 \(M_{n \times n}(K)\) 的整体结构起着重要作用。丘老师指出，整个 \(M_{n \times n}(K)\) 可以分解为这两个子空间的直和，这是后续考题的热点。⏱ 07:40

3可逆矩阵的定义与唯一性 ⏱ 08:20

从映射的角度引入可逆矩阵的概念。在映射理论中，可逆映射的定义是：存在反映射，使得复合后得到恒等映射。⏱ 08:28

定义 · 可逆矩阵 设 \(A\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶方阵。若存在 \(K\) 上的 \(n\) 阶方阵 \(B\)，使得
\[AB = BA = I_n,\]
则称 \(A\) 为可逆矩阵（invertible matrix），并称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵（inverse matrix），记作 \(A^{-1}\)。
逆矩阵的唯一性证明

假设 \(B\) 和 \(C\) 都满足定义中的条件，即：

\[AB = BA = I_n, \quad AC = CA = I_n.\]

则：

\[B = B \cdot I_n = B(AC) = (BA)C = I_n \cdot C = C.\]

因此 \(B = C\)，逆矩阵唯一。⏱ 11:05

由唯一性，我们可合法地使用记号 \(A^{-1}\) 表示 \(A\) 的逆矩阵。⏱ 11:25

基本性质 由定义可直接推出：若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}\) 也可逆，且 \((A^{-1})^{-1} = A\)。⏱ 13:00

4可逆矩阵的必要条件 ⏱ 13:40

现在探讨：若 \(A\) 可逆，它需要满足什么必要条件？

假设 \(A\) 可逆，则存在 \(A^{-1}\) 使得 \(AA^{-1} = I_n\)。两边取行列式：⏱ 14:50

\[\det(AA^{-1}) = \det(I_n) = 1.\]

由行列式乘法公式 \(\det(AB) = \det A \cdot \det B\)，得：

\[\det A \cdot \det(A^{-1}) = 1.\]
必要条件 由此立得 \(\det A \neq 0\)。⏱ 16:30

即：\(A\) 可逆 \(\Longrightarrow\) \(\det A \neq 0\)（\(A\) 为满秩矩阵）。

丘老师在课堂上强调，这个结论非常重要，是从三个不同角度刻画同一件事的第一步：

这三个条件在后续定理中将逐一证明等价。⏱ 17:00

注意 上述推导仅证明了必要性（可逆 \(\Longrightarrow\) \(\det A \neq 0\)）。充分性（\(\det A \neq 0\) \(\Longrightarrow\) 可逆）将在下一集 P61 中用伴随矩阵方法证明。

★重点回顾

1
对称矩阵子空间：满足 \(A^{T}=A\) 的全体 \(n\) 阶矩阵构成 \(M_{n\times n}(K)\) 的子空间（对加法、数乘封闭，含零矩阵）。
2
斜对称矩阵子空间：满足 \(A^{T}=-A\)，主对角线全为 0，关于主对角线对称位置元素互为相反数。也构成子空间。
3
可逆矩阵定义：\(AB = BA = I_n\) 时称 \(A\) 可逆，\(B = A^{-1}\)。逆矩阵唯一，记号 \(A^{-1}\) 良定义。
4
可逆的必要条件：\(A\) 可逆 \(\Longrightarrow\) \(\det A \neq 0\)（即 \(A\) 满秩）。充分性待证。
5
三种刻画角度的统一：可逆性、行列式非零、满秩，三个概念本质相同，后续将严格证明等价。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 混淆对称与斜对称：对称矩阵满足 \(A^T=A\)，斜对称满足 \(A^T=-A\)，符号一正一负，切勿记反。
  2. 忽略主对角线为0：斜对称矩阵主对角线元素必为 0，这是由 \(a_{ii}=-a_{ii}\) 推出的重要结论，解题时不要忘记检验。
  3. 可逆矩阵不一定是方阵：可逆矩阵必须是方阵（否则无法同时满足左乘和右乘等于单位矩阵），非方阵矩阵不存在逆矩阵。
  4. \(\det A \neq 0\) 只是必要条件：第 P60 集只证明了必要性，充分性需要在第 P61 集用伴随矩阵证明，切勿误认为定义。

✎自测与作业

  1. 验证：若 \(A, B\) 为对称矩阵，则 \(A+B\) 也是对称矩阵；若 \(A\) 为斜对称矩阵，则 \(kA\) 也是斜对称矩阵（\(k\in K\)）。
  2. 写出所有 3 阶斜对称矩阵的一般形式，并说明其自由参数的个数（即该子空间的维数）。
  3. 证明：若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}\) 也可逆，且 \((A^{-1})^{-1} = A\)。
  4. 设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，证明 \(\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}\)。
  5. （思考）为什么从 \(AA^{-1}=I_n\) 取行列式能推出 \(\det A\neq 0\)？若 \(\det A=0\) 会发生什么矛盾？
  6. （选做）已知 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)，验证 \(A\) 是对称矩阵；已知 \(B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}\)，验证 \(B\) 是斜对称矩阵。
下一集预告 第 P61 集 · 七：可逆矩阵的充要条件、伴随矩阵法求逆矩阵，以及逆矩阵的转置性质 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。