高等代数 · 课程学习笔记

第 P61 集 · 七：可逆矩阵、逆矩阵转置

Invertible Matrices, Adjugate Matrix & Transpose of Inverse
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P61 / 151 集 核心概念：伴随矩阵 · 可逆充要条件 · 逆矩阵转置公式
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◎学习目标

  1. 理解伴随矩阵\(A^*\) 的定义，掌握其构造方法（代数余子式的转置排列）；
  2. 掌握核心恒等式 \(AA^* = A^*A = (\det A)I_n\)，并会用其证明可逆的充要条件；
  3. 掌握命题一：若 \(AB = I_n\)（仅一侧），则 \(A, B\) 均可逆，且互为逆矩阵；
  4. 验证三种类型的初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵仍为同型初等矩阵；
  5. 掌握可逆矩阵乘积的逆公式 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)，并会推广到多个矩阵乘积的情形；
  6. 掌握逆矩阵的转置公式 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)，理解其证明技巧（取转置运算）。

1伴随矩阵与基本恒等式 ⏱ 00:01

利用第 P15 集的行列式按一行展开定理，引入伴随矩阵的概念。

定义 · 伴随矩阵 设 \(A = (a_{ij})\) 为 \(n\) 阶方阵，\(A_{ij}\) 为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式。将代数余子式排列成矩阵，并转置，得到 \(A\) 的伴随矩阵 \(A^*\)：
\[A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}.\]

注意：第 \(i\) 行第 \(j\) 列位置放的是 \(A_{ji}\)（代数余子式指标交换），即先排成代数余子式矩阵再转置。

核心恒等式 \(AA^* = A^*A = (\det A)I_n\) 的证明

右乘情形 \(AA^*\)：考察 \((AA^*)_{ij}\)，即第 \(i\) 行与第 \(j\) 列的乘积：

\[(AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} (A^*)_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk}.\]

当 \(i = j\) 时，\(\sum_k a_{ik} A_{ik} = \det A\)（按第 \(i\) 行展开定理）；⏱ 00:36

当 \(i \neq j\) 时，\(\sum_k a_{ik} A_{jk} = 0\)（第 \(i\) 行元素与第 \(j\) 行代数余子式的乘积之和为 0，即第 P15 集性质 3）。

故 \(AA^* = (\det A)I_n\)。⏱ 01:00

左乘情形 \(A^*A\)：类似地，利用按列展开定理，可证 \(A^*A = (\det A)I_n\)。请同学们自己练习：分别用第二列、第三列展开验证。⏱ 01:30

核心恒等式
\[AA^* = A^*A = (\det A) \cdot I_n.\]
这是全章最重要的公式，后续几乎所有结论都源于此。⏱ 02:00

2可逆矩阵的充要条件 ⏱ 02:30

定理 1 · 可逆矩阵的充要条件 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则以下三个条件等价：
\[\text{(1) } A \text{ 可逆} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{(2) } \det A \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \text{(3) } R(A) = n \text{（满秩）}.\]
充分性证明（\(\det A \neq 0 \Longrightarrow A\) 可逆）

假设 \(\det A \neq 0\)。由核心恒等式 \(AA^* = (\det A)I_n\)，两边同除以 \(\det A\)：⏱ 03:00

\[A \cdot \left(\frac{1}{\det A}A^*\right) = I_n.\]

同理，由 \(A^*A = (\det A)I_n\) 可得：

\[\left(\frac{1}{\det A}A^*\right) \cdot A = I_n.\]

因此 \(B = \frac{1}{\det A}A^*\) 满足可逆矩阵定义，故 \(A\) 可逆，且 ⏱ 04:30

\[A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^*.\]
逆矩阵公式
\[A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^*.\]
当 \(\det A \neq 0\) 时，逆矩阵可以用伴随矩阵法求出。⏱ 04:00
特别注意 伴随矩阵 \(A^*\) 的构造容易出错：第 \(i\) 行第 \(j\) 列位置放 \(A_{ji}\)（注意下标交换），即第一行的代数余子式放在第一列，第二行的代数余子式放在第二列，以此类推。⏱ 05:20

3单侧逆即双侧逆（命题一） ⏱ 06:00

定义要求 \(AB = BA = I_n\)（双侧），但实际使用中只需验证一侧就够了。

命题一 设 \(A, B\) 均为 \(n\) 阶方阵，若 \(AB = I_n\)，则：
\[BA = I_n, \quad A^{-1} = B, \quad B^{-1} = A.\]
即 \(A\) 和 \(B\) 都可逆，且互为逆矩阵。
命题一的证明思路

由 \(AB = I_n\)，两边取行列式：⏱ 07:00

\[\det A \cdot \det B = \det I_n = 1.\]

因此 \(\det A \neq 0\) 且 \(\det B \neq 0\)。由定理 1，\(A\) 和 \(B\) 均可逆。⏱ 07:25

在 \(AB = I_n\) 左乘 \(A^{-1}\)：\(A^{-1}(AB) = A^{-1}\)，由结合律 \((A^{-1}A)B = A^{-1}\)，即 \(I_n B = A^{-1}\)，故 \(B = A^{-1}\)。⏱ 07:45

同理可证 \(A = B^{-1}\)（或在 \(AB=I_n\) 右乘 \(B^{-1}\) 得 \(A = B^{-1}\)）。

实用价值 命题一大大简化了验证过程：只要找到一个矩阵 \(B\) 使得 \(AB = I_n\)（或 \(BA = I_n\)），便无需再验证另一侧，直接得到 \(A\) 可逆且 \(A^{-1} = B\)。⏱ 08:10

4初等矩阵的可逆性 ⏱ 09:30

三种类型的初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是同类型初等矩阵。

类型操作初等矩阵 \(E\)逆矩阵 \(E^{-1}\)
第一类第 \(i\) 行 \(\times k\)（\(k\neq 0\)）单位阵第 \(i\) 行乘以 \(k\)第 \(i\) 行乘以 \(k^{-1}\)
第二类第 \(i\) 行 \(\times k\) 加到第 \(j\) 行单位阵对应位置为 \(k\)第 \(j\) 行 \(\times (-k)\) 加到第 \(i\) 行
第三类交换第 \(i\) 行与第 \(j\) 行单位阵对调第 \(i,j\) 行自身（再交换一次还原）

以第二类为例：对单位阵做"第 2 行乘以 \(k\) 加到第 \(j\) 行"得到 \(E\)，再对其左乘"第 2 行乘以 \(-k\) 加到第 \(j\) 行"的初等矩阵，即可消去 \(k\) 还原为单位阵。⏱ 11:30

结论 三种初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为同类型初等矩阵。⏱ 12:30

5可逆矩阵乘积的逆 ⏱ 13:00

命题二 若 \(A, B\) 均为 \(n\) 阶可逆矩阵，则 \(AB\) 也可逆，且
\[(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.\]
证明

验证 \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I_n\)：⏱ 14:00

\[(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A \cdot I_n \cdot A^{-1} = AA^{-1} = I_n.\]

同理 \((B^{-1}A^{-1})(AB) = I_n\)。由命题一，\(AB\) 可逆且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。证毕。

重要推广 对 \(s\) 个 \(n\) 阶可逆矩阵 \(A_1, A_2, \ldots, A_s\)，有
\[(A_1 A_2 \cdots A_s)^{-1} = A_s^{-1} A_{s-1}^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}.\]
次序完全颠倒，与转置公式 \((AB)^T = B^T A^T\) 形式完全相同。⏱ 15:20
推论 所有 \(n\) 阶可逆矩阵组成的集合对矩阵乘法封闭，即两个可逆矩阵的乘积仍可逆。⏱ 15:50

6逆矩阵的转置 ⏱ 16:30

命题三 若 \(A\) 可逆，则 \(A^T\) 也可逆，且
\[(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T.\]
证明

已知 \(AA^{-1} = I_n\)。两边取转置：⏱ 17:00

\[(AA^{-1})^T = I_n^T = I_n.\]

利用转置公式 \((XY)^T = Y^T X^T\)：

\[(A^{-1})^T \cdot A^T = I_n.\]

由命题一，\(A^T\) 可逆，且 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。证毕。

关键技巧 证明的核心在于对恒等式 \(AA^{-1}=I_n\) 取转置，巧妙利用 \((XY)^T = Y^T X^T\) 这一已有公式。⏱ 17:45

★重点回顾

1
核心恒等式：\(AA^* = A^*A = (\det A)I_n\)，由此推出 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^*\)（当 \(\det A \neq 0\)）。
2
可逆充要条件：\(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(\det A \neq 0\) \(\Longleftrightarrow\) \(R(A) = n\)。三种角度刻画同一件事。
3
命题一：\(AB = I_n \Longrightarrow A, B\) 均可逆且互为逆矩阵，不必验证双侧。
4
初等矩阵可逆：三种初等矩阵都可逆，逆矩阵仍是同类型初等矩阵。
5
乘积的逆：\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)，次序颠倒；多个矩阵乘积同理。
6
逆的转置：\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)，证明关键是取转置运算。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 伴随矩阵下标顺序：\(A^*\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列是 \(A_{ji}\)，不是 \(A_{ij}\)。务必记住"先排代数余子式，再转置"。
  2. \((AB)^{-1}\) 次序颠倒：\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)，不是 \(A^{-1}B^{-1}\)。与转置公式 \((AB)^T = B^T A^T\) 类比记忆。
  3. 忽略命题一的使用条件：命题一仅对方阵成立。非方阵不存在"可逆"概念。
  4. 混淆 \((A^{-1})^T\) 与 \((A^T)^{-1}\)：两者相等，即 \((A^{-1})^T = (A^T)^{-1}\)，不要写成 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\) 以外的形式。

✎自测与作业

  1. 设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，计算 \(A^*\)，验证 \(AA^* = A^*A = (\det A)I_2\)，并求出 \(A^{-1}\)。
  2. 证明：若 \(A^2 = A\) 且 \(A\) 可逆，则 \(A = I_n\)。
  3. 利用命题一证明：若 \(ABC = I_n\)，则 \(BCA = I_n\) 且 \(CAB = I_n\)。
  4. 验证：三种初等矩阵的逆矩阵确实分别是同类型初等矩阵（写出具体形式）。
  5. 设 \(A\) 可逆且对称，证明 \(A^{-1}\) 也对称。
  6. （选做）设 \(A, B\) 可逆且 \(AB = BA\)，证明 \(A^{-1}B = BA^{-1}\)。
下一集预告 第 P62 集 · 八：初等变换法求逆矩阵（高斯-约旦消元法），以及矩阵的分块运算，为大规模矩阵求逆提供高效方法。