高等代数 · 课程学习笔记

第 P62 集 · 八：初等变换法求逆矩阵、矩阵的分块

Elementary Row Operation Method & Block Matrix Multiplication
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P62 / 151 集 核心概念：初等变换求逆 · 分块矩阵乘法 · 秩的不变性
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◎学习目标

  1. 理解可逆矩阵经初等行变换可化为单位矩阵这一关键性质，并掌握其证明；
  2. 掌握初等变换法（高斯-约旦消元法）求逆矩阵的标准步骤：将 \([A\ |\ I_n]\) 通过初等行变换化为 \([I_n\ |\ A^{-1}]\)；
  3. 理解命题六：\(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 可表为若干初等矩阵的乘积；
  4. 掌握可逆矩阵左乘/右乘不改变矩阵秩的性质，并能灵活运用；
  5. 理解矩阵分块的概念，能将大矩阵划分为若干子矩阵；
  6. 掌握分块矩阵乘法的规则：分块方式必须兼容（左矩阵列分法 = 右矩阵行分法）。

1可逆矩阵与初等变换 ⏱ 00:37

从初等变换的角度重新审视可逆矩阵。

命题五 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 可逆，当且仅当 \(A\) 经过一系列初等行变换可化为单位矩阵 \(I_n\)。
证明

必要性：若 \(A\) 可逆，则 \(R(A) = n\)（满秩）。满秩矩阵的简化行阶梯形只能是 \(I_n\)（有 \(n\) 个主元，每个主元为 1，且位于不同列，故恰好在第 \(i\) 行第 \(i\) 列）。⏱ 01:30

充分性：若 \(A\) 经初等行变换化为 \(I_n\)，则存在初等矩阵 \(P_1, P_2, \ldots, P_t\) 使得

\[P_t \cdots P_2 P_1 A = I_n.\]

由命题一（第 P61 集），左端乘积可逆，故 \(A\) 可逆，且

\[A^{-1} = P_t \cdots P_2 P_1.\]
关键推论 可逆矩阵 \(A\) 必能经初等行变换化为单位矩阵；反之，若能，则 \(A\) 可逆。这是判断可逆性的又一个实用标准。⏱ 02:40

2初等变换法求逆矩阵 ⏱ 04:00

由命题五的证明过程，我们得到一个实用的求逆矩阵方法。

方法：初等变换法（增广矩阵法） 构造增广矩阵 \([\,A \mid I_n\,]\)，对其施行初等行变换，目标是将左半部分化为 \(I_n\)。当左半部分变为 \(I_n\) 时，右半部分即为 \(A^{-1}\)：
\[\left[\,A \ \middle|\ I_n\,\right] \xrightarrow{\text{初等行变换}} \left[\,I_n \ \middle|\ A^{-1}\,\right].\]
方法原理

每一步初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。设所做的初等行变换对应的初等矩阵依次为 \(P_1, P_2, \ldots, P_t\)，则：

\[P_t \cdots P_2 P_1 [\,A \mid I_n\,] = [\,P_t \cdots P_1 A \mid P_t \cdots P_1 I_n\,] = [\,I_n \mid A^{-1}\,].\]

左半部分化为 \(I_n\) 的同时，右半部分恰好是 \(P_t \cdots P_1 = A^{-1}\)。这就是方法的精髓：对同一个增广矩阵同时做两次操作——左半部分消成单位阵，右半部分自动记录变换过程。⏱ 06:00

操作步骤
  1. 写出增广矩阵 \([\,A\ |\ I_n\,]\)（左为 \(A\)，右为单位阵）；
  2. 对整个增广矩阵做初等行变换（左、右同时变换）；
  3. 当左半部分化为 \(I_n\) 时停止；
  4. 右半部分即为 \(A^{-1}\)。
丘老师强调：这个方法是最标准、最基本的求逆矩阵方法，适用于任意阶数。⏱ 07:00
与伴随矩阵法比较 伴随矩阵法 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}A^*\) 需要计算 \(n^2\) 个 \((n-1)\) 阶行列式，计算量巨大。初等变换法只需做行消元，效率远高于伴随矩阵法，是实际计算的首选方法。⏱ 08:00

3可逆矩阵左乘/右乘不改变矩阵的秩 ⏱ 09:00

命题七 设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(P\) 为 \(s \times s\) 可逆矩阵，\(Q\) 为 \(n \times n\) 可逆矩阵，则：
\[R(PA) = R(A), \quad R(AQ) = R(A).\]
即左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩。
证明思路

左乘情形 \(R(PA)=R(A)\)：由命题六，可逆矩阵 \(P\) 可表为初等矩阵的乘积：\(P = E_1 E_2 \cdots E_k\)。每次左乘一个初等矩阵对应做一次初等行变换，而初等行变换不改变矩阵的秩（第 P35 集结论）。因此 \(R(PA) = R(A)\)。⏱ 09:40

右乘情形 \(R(AQ)=R(A)\)：利用转置和左乘结论：

\[R(AQ) = R\bigl((AQ)^T\bigr) = R\bigl(Q^T A^T\bigr) = R(A^T) = R(A).\]

其中用到了：(1) 矩阵的秩等于其转置的秩；(2) \(Q\) 可逆 \(\Longrightarrow\) \(Q^T\) 可逆（第 P61 集命题三）；(3) 左乘可逆矩阵不改变秩。⏱ 10:40

重要应用 此性质在证明矩阵秩的等式、不等式时非常有用，可以将复杂矩阵乘积中的可逆因子"消掉"，简化问题。⏱ 11:30

4矩阵分块的概念 ⏱ 12:00

当矩阵阶数很大时（如 100 阶），直接处理每个元素不现实，需要分块思想。

定义 · 分块矩阵 设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，将 \(A\) 的行分成 \(u\) 组（第 \(i\) 组 \(s_i\) 行，\(\sum s_i = s\)），列分成 \(t\) 组（第 \(j\) 组 \(n_j\) 列，\(\sum n_j = n\)），则 \(A\) 被划分成 \(u \times t\) 个子矩阵 \(A_{ij}\)（\(s_i\) 行 \(n_j\) 列），记作：
\[A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1t} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{u1} & A_{u2} & \cdots & A_{ut} \end{pmatrix}.\]
每个 \(A_{ij}\) 称为 \(A\) 的一个子块，整个矩阵视为由子块组成的"矩阵的矩阵"。
分块的原则 分块没有固定规则，根据计算需要灵活选择。关键是使后续运算（乘法、求逆等）变得简便。⏱ 14:00

5分块矩阵乘法 ⏱ 15:00

分块矩阵最重要的应用是简化矩阵乘法运算。

分块矩阵乘法规则 设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times m\) 矩阵。若 \(A\) 的列分法与 \(B\) 的行分法一致（即 \(A\) 分为 \(t\) 列组，\(B\) 分为 \(t\) 行组），且分块方式兼容，则 \(AB\) 可按块相乘：
\[AB = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^{t} A_{ik}B_{kj} \end{pmatrix}_{u \times v}.\]
即乘积的第 \((i,j)\) 块等于 \(A\) 的第 \(i\) 行块分别与 \(B\) 的第 \(j\) 列块对应相乘后再求和。
计算示例

设

\[A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix},\]

其中 \(A_{11}\) 为 \(s_1 \times n_1\)，\(A_{12}\) 为 \(s_1 \times n_2\)，\(A_{21}\) 为 \(s_2 \times n_1\)，\(A_{22}\) 为 \(s_2 \times n_2\)（\(s_1+s_2=s\)，\(n_1+n_2=n\)），且 \(B\) 的分块与之兼容（\(B_{11}\) 为 \(n_1 \times m_1\) 等）。则：

\[AB = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}.\]

形式上与二阶矩阵乘法完全相同，只是元素换成了子块矩阵。⏱ 16:30

重要结论 分块矩阵乘法的规则与 ordinary 矩阵乘法完全一致，只需把子块当作"元素"来处理。这大大简化了大型矩阵的运算，尤其当子块中有很多零块或特殊结构时。⏱ 17:00
关键注意点 分块矩阵乘法成立的前提是：左矩阵的列分法必须与右矩阵的行分法一致。即左矩阵第 \(k\) 列组的列数必须等于右矩阵第 \(k\) 行组的行数。若不兼容，则无法进行分块乘法。⏱ 18:00

★重点回顾

1
初等变换法求逆：\([A\ |\ I_n] \xrightarrow{\text{行变换}} [I_n\ |\ A^{-1}]\)。左半部分消成单位阵，右半部分自动记录逆矩阵。这是最实用的求逆方法。
2
命题六：\(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 可表为若干初等矩阵的乘积。可逆矩阵 ⇔ 满秩矩阵 ⇔ 行列式非零，三种刻画完全等价。
3
秩的不变性：左乘或右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，即 \(R(PA)=R(A)\)，\(R(AQ)=R(A)\)。
4
分块矩阵：将大矩阵划分为若干子块，使运算更简洁。分块矩阵乘法规则与普通矩阵相同，但要求左矩阵列分法 = 右矩阵行分法。
5
三种求逆方法：(1) 定义法（凑 \(AB=I\)）；(2) 伴随矩阵法（\(A^{-1}=\frac{1}{\det A}A^*\)）；(3) 初等变换法（最实用，适用于任意阶数）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 初等变换只作用左半部分：增广矩阵 \([A\ |\ I_n]\) 的行变换必须同时作用左右两部分，不能只变左边不变右边，否则右半部分不是 \(A^{-1}\)。
  2. 分块乘法条件不满足：左矩阵的列分法必须与右矩阵的行分法一致，否则分块乘法不成立。务必检查维度兼容性。
  3. 混淆行变换与列变换：求逆矩阵时用初等行变换（不能混用列变换），因为行变换对应左乘初等矩阵，列变换对应右乘，会影响结果。
  4. 忽略不可逆的情况：若在消元过程中发现 \(A\) 无法化为 \(I_n\)（某行全为 0），则 \(A\) 不可逆，此时增广矩阵法无法求出逆矩阵。

✎自测与作业

  1. 用初等变换法求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵，验证结果与伴随矩阵法一致。
  2. 用初等变换法求 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}\) 的逆矩阵。
  3. 证明：若 \(A\) 可逆，则对任意矩阵 \(B\)，有 \(R(AB) = R(B)\) 和 \(R(BA) = R(B)\)。
  4. 设 \(A = \begin{pmatrix} A_{11} & O \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}\)，其中 \(A_{11}\)、\(A_{22}\) 均为可逆方阵，\(O\) 为零块。用分块矩阵求 \(A^{-1}\)。
  5. 验证分块矩阵乘法规则：设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)，分别用普通乘法和分块乘法计算 \(AB\)，比较结果。
  6. （选做）设 \(A\) 为 \(n\) 阶可逆矩阵，证明：对任意 \(s \times n\) 矩阵 \(B\)，有 \(R\begin{pmatrix} A & O \\ B & I_s \end{pmatrix} = n + s\)。
下一集预告 第 P63 集 · 九：分块矩阵的初等变换，将初等变换推广到分块矩阵层面，为后续矩阵标准形的研究奠定基础。