高等代数 · 第 P63 集 · 九：分块矩阵的初等变换

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◎学习目标

理解并掌握分块矩阵的乘法规则：把分块矩阵看作元素仍是矩阵的"大矩阵"，其乘法运算与普通矩阵乘法形式相同；
掌握分块矩阵的三种初等行变换：第一种是用可逆矩阵左乘某一块行加到另一块行；第二种是互换两个块行的位置；第三种是用可逆矩阵左乘某一块行；
掌握分块矩阵的三种初等列变换：与行变换对称，但必须右乘；
理解分块初等矩阵的概念：从单位矩阵出发经过一次分块初等变换得到，它们都是可逆矩阵；
掌握核心结论：用分块初等矩阵左乘（或右乘）矩阵，相当于对矩阵做相应的分块初等变换，不改变矩阵的秩；
理解为什么行变换必须左乘、列变换必须右乘，这与普通矩阵初等变换的道理完全一致。

1分块矩阵的乘法规则 ⏱ 00:01

先看分块矩阵乘法的规则。设矩阵 $A$ 按行分成 $p$ 组、按列分成 $q$ 组，矩阵 $B$ 按行分成 $q$ 组、按列分成 $r$ 组（注意：$A$ 的列分组数必须与 $B$ 的行分组数相同），则 $AB$ 可以按块相乘：

定理 · 分块矩阵乘法设 $A = (A_{ik})_{p \times q}$，$B = (B_{kj})_{q \times r}$，则

AB = \left( \sum_{k=1}^{q} A_{ik} B_{kj} \right)_{p \times r}.

即：左矩阵的第 $i$ 个块行，分别与右矩阵的第 $j$ 个块列对应块相乘再求和，形式与普通矩阵乘法完全一致。⏱ 00:35

为什么分块矩阵乘法成立？（从元素层面理解）

取左矩阵第 $i$ 个块行中的某一行（即原矩阵的第某一行），与右矩阵第 $j$ 个块列中的某一列（即原矩阵的第某一列），它们的内积就是 $(AB)$ 中对应位置的一个元素。⏱ 02:40

这个内积可以按列分组分段计算：先算左矩阵该行的前一段与右矩阵该列的前一段的内积，再加上下一段……正好等于各对应块矩阵相乘后再求和。因此分块矩阵乘法的规则是合理的。

老师强调分块矩阵乘法与普通矩阵乘法规则一模一样，只是元素换成了子矩阵。区别在于：子矩阵乘法不满足交换律，所以左矩阵只能写在左边，右矩阵只能写在右边。⏱ 09:00

关键提醒分块时，左矩阵的列分组方式必须与右矩阵的行分组方式一致，否则乘法无意义。具体来说，若左矩阵第 $k$ 个列组有 $n_k$ 列，则右矩阵第 $k$ 个行组必须有 $n_k$ 行。⏱ 09:28

2分块矩阵的初等行变换 ⏱ 10:15

类比普通矩阵的三种初等行变换，定义分块矩阵的三种初等行变换（以最常用的四块分法为例，即 $A = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}$）：

分块初等行变换的三种类型

第一种：用一个矩阵 $P$ 左乘第一个块行，加到第二个块行上：⏱ 10:59 $\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \xrightarrow{P \cdot R_1 + R_2} \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ PA_1 + A_3 & PA_2 + A_4 \end{pmatrix}.$
第二种：互换两个块行的位置： $\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{pmatrix} A_3 & A_4 \\ A_1 & A_2 \end{pmatrix}.$
第三种：用一个可逆矩阵 $P$ 左乘某一个块行（相当于普通变换中"某行乘非零数"）：⏱ 12:13 $\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \xrightarrow{P \cdot R_1} \begin{pmatrix} PA_1 & PA_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}.$

为什么必须是左乘？为什么第三型要用可逆矩阵？

为什么左乘：因为块行是一个矩阵行向量（元素是子矩阵），"左乘矩阵 $P$"才表示对这一行做线性组合。分块矩阵乘法规则要求左矩阵的小块在左边，右矩阵的小块在右边，所以只能是 $P$ 左乘块行，不能右乘。⏱ 11:42

为什么第三型要求 $P$ 可逆：为了能够"倒回去"——即用 $P^{-1}$ 左乘可以还原。类比普通初等变换中第三型要求乘的非零数 $c$ 有倒数 $c^{-1}$。⏱ 12:47

3分块矩阵的初等列变换 ⏱ 13:37

分块初等列变换与行变换对称，但必须右乘：

分块初等列变换的三种类型

第一种：右乘矩阵 $P$ 加到另一个块列上： $\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \xrightarrow{C_1 \cdot P + C_2} \begin{pmatrix} A_1 & A_2 + A_1P \\ A_3 & A_4 + A_3P \end{pmatrix}.$
第二种：互换两个块列的位置。
第三种：用一个可逆矩阵 $P$ 右乘某一个块列。

为什么列变换必须右乘？

块列是矩阵列向量（元素是子矩阵）。按分块矩阵乘法规则，"右矩阵的小块在右边"，所以对块列做变换时，矩阵 $P$ 必须写在右边，即右乘。⏱ 13:06

具体来说，把第二块列右乘 $P$ 后加到第一块列上，作用效果是：第一块列的每个子块都加上对应子块右乘 $P$，即 $A_i \mapsto A_i + A_j P$。这与分块矩阵乘法完全吻合。

易错点行变换必须左乘、列变换必须右乘，不能混淆。这是由分块矩阵乘法的规则决定的——左矩阵的小块必须在左边，右矩阵的小块必须在右边。

4分块初等矩阵 ⏱ 14:08

从单位矩阵出发，做一次分块初等变换，得到的矩阵称为分块初等矩阵。

常见分块初等矩阵示例将单位矩阵 $I_{s+n}$ 分成四块：

I_{s+n} = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}.

对 $I_{s+n}$ 做"第一块行左乘 $P$ 加到第二块行"：⏱ 14:36 $E_1 = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ P & I_n \end{pmatrix}.$
对 $I_{s+n}$ 做"第一块列右乘 $P$ 加到第二块列"： $E_2 = \begin{pmatrix} I_s & P \\ 0 & I_n \end{pmatrix}.$
对 $I_{s+n}$ 做"互换两块行（或两块列）"： $E_3 = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_s & 0 \end{pmatrix}.$
对 $I_{s+n}$ 做"第一块行左乘可逆矩阵 $P$"： $E_4 = \begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}.$

分块初等矩阵都是可逆矩阵

$E_1 = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ P & I_n \end{pmatrix}$ 的行列式：按上三角分块矩阵的行列式公式（或按前 $s$ 行展开），$\det E_1 = \det I_s \cdot \det I_n = 1 \neq 0$，故可逆。⏱ 16:53

$E_2 = \begin{pmatrix} I_s & P \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ 的行列式：同理为下三角分块，$\det E_2 = 1 \neq 0$，可逆。

$E_3 = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_s & 0 \end{pmatrix}$ 的行列式：按前 $s$ 行展开，唯一非零的 $s$ 阶子式是右下角 $I_n$ 中取前 $s$ 列……实际计算得 $\det E_3 = \pm 1 \neq 0$，可逆。⏱ 17:15

$E_4 = \begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ 的行列式：$\det E_4 = \det P \cdot \det I_n = \det P \neq 0$（因为 $P$ 可逆），故可逆。

重要结论所有分块初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵仍是同类型的分块初等矩阵。

核心性质对矩阵 $A$ 做一个分块初等行变换，等价于用一个相应的分块初等矩阵左乘 $A$；做一个分块初等列变换，等价于用一个相应的分块初等矩阵右乘 $A$。⏱ 14:52

5分块初等变换不改变矩阵的秩 ⏱ 00:07

定理 · 分块初等变换不改变秩用分块初等矩阵左乘（或右乘）矩阵 $A$，不改变 $A$ 的秩。即：

\operatorname{rank}(EA) = \operatorname{rank}(A), \quad \operatorname{rank}(AE) = \operatorname{rank}(A),

其中 $E$ 为任意分块初等矩阵。⏱ 00:27

证明

因为分块初等矩阵 $E$ 是可逆矩阵，而用可逆矩阵左乘或右乘矩阵，不改变矩阵的秩（这是已证命题）：⏱ 00:07

\operatorname{rank}(EA) = \operatorname{rank}(A), \quad \operatorname{rank}(AE) = \operatorname{rank}(A).

证毕。

意义此结论与"普通初等变换不改变秩"完全类似，是分块矩阵理论的基本工具，后续在矩阵分解、秩的计算中有重要应用。

课堂实例丘老师特别指出，分块矩阵在后续学习中有很大用处，今天的课要把接受（矩阵的秩）和矩阵乘积的行列式讲完，以便知识体系更完整。⏱ 01:28

★重点回顾

1

分块矩阵乘法规则：把子矩阵当作"元素"，乘法规则与普通矩阵完全相同，只需保证相邻块的维度兼容（左矩阵列分组 = 右矩阵行分组）。

2

分块初等行变换必须左乘：三种类型分别是：① $P$ 左乘一块行加到另一块行；② 互换两块行；③ $P$（可逆）左乘一块行。

3

分块初等列变换必须右乘：三种类型与行变换对称，但 $P$ 写在右边。

4

分块初等矩阵是从单位矩阵做一次分块初等变换得到，它们都是可逆矩阵。

5

核心结论：分块初等变换（左乘或右乘分块初等矩阵）不改变矩阵的秩。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆左乘与右乘：行变换必须左乘矩阵，列变换必须右乘矩阵。若方向搞反，结果完全错误。
忽略维度匹配：分块相乘时，左矩阵的列分组数必须等于右矩阵的行分组数，且每组内子矩阵的行列维度必须兼容。
第三型变换忘记可逆条件：第三型分块初等变换要求所乘矩阵 $P$ 必须是可逆矩阵（方阵），不能是任意长方形矩阵。
把分块矩阵乘法当成元素逐个相乘：分块乘法仍然是"行乘列求和"的模式，不是子矩阵逐个相乘。

✎自我检测

设 $A = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix}$，其中各子块维度兼容。计算 $AB$ 的四个块，写出表达式。
验证：用分块初等矩阵 $E = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ P & I_n \end{pmatrix}$ 左乘 $A = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix}$，结果正好是将第一块行左乘 $P$ 后加到第二块行。
验证：用分块初等矩阵 $F = \begin{pmatrix} I_s & Q \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ 右乘 $A$，结果正好是将第二块列右乘 $Q$ 后加到第一块列。
证明：$\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ 是可逆矩阵，并求其逆矩阵。
（思考）若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，对其进行一系列分块初等行变换和列变换后得到 $A'$，说明 $\operatorname{rank}(A') = \operatorname{rank}(A)$。
（选做）设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$，将其分块为 $2\times2$ 和 $1\times1$ 四块，用一个分块初等行变换把左下角块化为零矩阵，写出所用的分块初等矩阵及其作用效果。

下一集预告第 P64 集 · 十：矩阵乘积的行列式，探讨 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 的证明（首先处理 $A,B$ 均为方阵的情形），并引入分块矩阵技巧。