高等代数 · 课程学习笔记

第 P64 集 · 十：矩阵乘积的行列式

Determinant of a Matrix Product: det(AB) = det(A)det(B)
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P64 / 151 集 核心概念：乘积行列式 · 初等矩阵 · 分块矩阵技巧
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◎学习目标

  1. 理解矩阵乘积行列式问题的提出背景：当 \(A\) 为 \(S \times N\)、\(B\) 为 \(N \times M\) 时，\(AB\) 为 \(S \times M\)，仅当 \(S = M\)（方阵）时 \(\det(AB)\) 才有定义；
  2. 掌握第一种情况：当 \(S > N\) 时，\(\det(AB) = 0\)，理由是 \(\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \leq N < S\)，故 \(AB\) 不满秩，行列式为 0；
  3. 掌握第二种情况的核心定理：当 \(A, B\) 均为 \(N \times N\) 方阵时，\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)；
  4. 理解证明的两种路径：① 利用可逆矩阵分解为初等矩阵乘积；② 利用分块矩阵构造和行列式按 \(k\) 行展开公式（为下集比内-柯西公式铺垫）。

1问题的提出 ⏱ 00:00

设 \(A\) 是 \(S \times N\) 矩阵，\(B\) 是 \(N \times M\) 矩阵，则 \(AB\) 是 \(S \times M\) 矩阵。只有当 \(S = M\)（即 \(AB\) 为方阵）时，\(\det(AB)\) 才有意义。⏱ 02:40

自然地，我们会问：\(\det(AB)\) 与 \(\det(A)\)、\(\det(B)\) 之间有什么关系？

问题 当 \(A, B\) 均为 \(N\) 阶方阵时，是否总有 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)？⏱ 07:30

更一般地，当 \(S \leq N\)（此时 \(AB\) 为 \(S \times S\) 方阵）时，\(\det(AB)\) 如何用 \(A, B\) 的子式来表达？这就是下一集要讲的比内-柯西（Binet-Cauchy）公式。

2情形一：\(S > N\)，\(\det(AB) = 0\) ⏱ 03:26

当 \(S > N\) 时，\(A\) 是 \(S \times N\) 瘦高型矩阵，\(B\) 是 \(N \times S\) 胖型矩阵，\(AB\) 是 \(S \times S\) 方阵。

命题 若 \(S > N\)，则 \(\det(AB) = 0\)。⏱ 04:12
证明

由秩的不等式：\(\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \leq N\)（因为 \(A\) 只有 \(N\) 列）。⏱ 04:40

而 \(AB\) 是 \(S\) 阶方阵，其满秩应为 \(S\)。但 \(\operatorname{rank}(AB) \leq N < S\)，故 \(AB\) 不满秩。

不满秩的方阵，其行列式等于 0。因此 \(\det(AB) = 0\)。证毕。

关键逻辑"方阵满秩 \(\Leftrightarrow\) 行列式非零；方阵不满秩 \(\Leftrightarrow\) 行列式为零"，这是判定方阵行列式是否为 0 的基本工具。

3情形二：\(S = N\)，\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) ⏱ 07:40

当 \(A, B\) 均为 \(N\) 阶方阵时，这是线性代数中最基本也最重要的行列式恒等式之一。

定理 · 矩阵乘积的行列式 设 \(A, B\) 均为 \(N\) 阶方阵，则
\[ \det(AB) = \det(A)\det(B). \]

证明思路概览

丘老师采用两种情况讨论 + 初等矩阵分解的证明方法：

  1. 情况 1：\(\det(A) = 0\)，此时 \(A\) 不满秩，从而 \(AB\) 也不满秩（\(\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) < N\)），故 \(\det(AB) = 0 = \det(A)\det(B)\)。
  2. 情况 2：\(\det(A) \neq 0\)，此时 \(A\) 可逆，可分解为初等矩阵的乘积 \(A = P_1 P_2 \cdots P_m\)，通过逐项验证初等矩阵左乘时对行列式的影响来证明。
详细证明（情况 2：\(\det(A) \neq 0\)）

第一步：因 \(A\) 可逆，由前面所学命题，\(A\) 可分解为若干个初等矩阵的乘积：⏱ 15:30

\[ A = P_1 P_2 \cdots P_m. \]

于是 \(AB = P_1 P_2 \cdots P_m B\)。

第二步：只需验证对任意初等矩阵 \(P\) 和任意 \(N\) 阶方阵 \(B\)，有

\[ \det(PB) = \det(P)\det(B). \]

因为一旦此式成立，反复应用即得：

\[ \det(AB) = \det(P_1)\det(P_2)\cdots\det(P_m)\det(B) = \det(A)\det(B). \]

第三步：逐类验证三种初等矩阵：

  • 第一类（倍加）：\(P = P_{ij(k)}\)，将第 \(j\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(i\) 行。\(\det(P) = 1\)。\(PB\) 相当于对 \(B\) 做同样的行变换，行列式不变，故 \(\det(PB) = \det(B) = 1 \cdot \det(B) = \det(P)\det(B)\)。⏱ 17:00
  • 第二类（对换）：\(P = P_{ij}\)，互换第 \(i, j\) 行。\(\det(P) = -1\)。\(PB\) 使 \(B\) 的行互换，行列式反号，故 \(\det(PB) = -\det(B) = \det(P)\det(B)\)。⏱ 17:23
  • 第三类（倍乘）：\(P = P_{i(c)}\)，第 \(i\) 行乘非零数 \(c\)。\(\det(P) = c\)。\(PB\) 使 \(B\) 的第 \(i\) 行乘 \(c\)，行列式乘 \(c\)，故 \(\det(PB) = c\det(B) = \det(P)\det(B)\)。⏱ 17:41

三类均验证完毕，定理得证。⏱ 24:22

另一种证明思路：利用分块矩阵（通向比内-柯西公式）

考虑分块矩阵 \(\begin{pmatrix} I_s & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} A & 0 \\ I_n & B \end{pmatrix}\)，通过分块初等变换将其化为 \(\begin{pmatrix} 0 & AB \\ I_n & B \end{pmatrix}\) 等形式，再利用分块行列式公式推出结论。此方法不仅证明了 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)，还为一般情形（\(S \leq N\)）的比内-柯西公式提供了统一的证明框架。⏱ 09:30–13:00

提示具体推导见下一集（P65）比内-柯西公式的证明，那里会给出完整的分块矩阵证法。

4初等矩阵的行列式 ⏱ 18:46

在证明过程中，需要知道三种初等矩阵的行列式值。下面用"令 \(B = I\)（单位矩阵）"的技巧快速得到：

三种初等矩阵的行列式
  • 第一类（倍加）\(P_{ij(k)}\)：\(\det P_{ij(k)} = 1\)；⏱ 18:52
  • 第二类（对换）\(P_{ij}\)：\(\det P_{ij} = -1\)；
  • 第三类（倍乘）\(P_{i(c)}\)：\(\det P_{i(c)} = c\)（\(c \neq 0\)）。
推导方法：令 B = I

将上面已证的公式 \(\det(PB) = \det(P)\det(B)\) 中的 \(B\) 取为单位矩阵 \(I\)：

\[ \det(P \cdot I) = \det(P) \det(I) \implies \det(P) = \det(P) \cdot 1. \]

而 \(PI\) 就是对单位矩阵 \(I\) 做相应的初等行变换，得到的正是初等矩阵 \(P\) 本身。因此：

  • 第一类：对 \(I\) 做倍加变换，行列式不变，\(\det P = 1\)；
  • 第二类：对 \(I\) 做对换，行列式反号，\(\det P = -1\)；
  • 第三类：对 \(I\) 的第 \(i\) 行乘 \(c\)，行列式乘 \(c\)，\(\det P = c\)。

这与我们从定义直接计算的结论完全一致。⏱ 19:27

5本集小结 ⏱ 24:18

核心结论汇总
\[ \boxed{\det(AB) = \det(A)\det(B)} \quad \text{（\(A, B\) 均为 \(N\) 阶方阵）} \]
补充：当 \(A\) 为 \(S \times N\)、\(B\) 为 \(N \times S\) 且 \(S > N\) 时，\(\det(AB) = 0\)。⏱ 24:22
证明方法对比 分块矩阵法
方法关键工具适用范围
初等矩阵分解法\(A = P_1 \cdots P_m\)，验证 \(\det(PB) = \det(P)\det(B)\)\(A, B\) 均为方阵
构造分块矩阵，用行列式按 \(k\) 行展开一般 \(S \leq N\)（比内-柯西公式）

★重点回顾

1
乘积行列式公式：\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)，当 \(A, B\) 同阶方阵时成立。这是行列式理论中最基本的恒等式之一。
2
秩的论证：当 \(S > N\) 时，\(\operatorname{rank}(AB) \leq N < S\)，故 \(AB\) 不满秩，\(\det(AB) = 0\)。
3
初等矩阵分解：可逆矩阵必可分解为初等矩阵的乘积，这是证明乘积行列式公式的核心工具。
4
三种初等矩阵的行列式：倍加型为 1，对换型为 −1，倍乘型为 \(c\)。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 无条件套用 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)：该公式要求 \(A, B\) 均为同阶方阵。若 \(A\) 为 \(S \times N\)、\(B\) 为 \(N \times S\) 且 \(S \neq N\)，则 \(\det(A)\)、\(\det(B)\) 无定义，公式不能直接使用。
  2. 忽略秩的限制：当 \(S > N\) 时，\(\det(AB) = 0\) 是由秩决定的，不是公式失效，而是自然结论。
  3. 混淆行列式与矩阵相等：\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) 是数量等式，不是矩阵等式 \(AB = BA\) 或类似关系。

✎自我检测

  1. 设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)，直接计算 \(\det(AB)\) 和 \(\det(A)\det(B)\)，验证公式成立。
  2. 设 \(A\) 为 \(3 \times 2\) 矩阵，\(B\) 为 \(2 \times 3\) 矩阵。证明 \(\det(AB) = 0\)。
  3. 利用 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) 证明：若 \(A\) 可逆，则 \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)。
  4. 已知 \(\det(A) = 3\)，\(\det(B) = -2\)，求 \(\det(2A)\)、\(\det(A^3)\)、\(\det(AB^{-1})\)（其中 \(A, B\) 均为 3 阶方阵）。
  5. （思考）为什么证明中只对"初等矩阵左乘 B"做了验证，而没有验证"右乘"的情况？右乘的情形是否同样成立？
  6. （选做）用分块矩阵法证明：对任意 \(S \times N\) 矩阵 \(A\) 和 \(N \times S\) 矩阵 \(B\)（\(S \leq N\)），有 \[ \det\begin{pmatrix} I_S & A \\ B & I_N \end{pmatrix} = \det(I_N - BA) = \det(I_S - AB). \] （此恒等式是比内-柯西公式的萌芽。）
下一集预告 第 P65 集 · 十一：比内-柯西（Binet-Cauchy）公式，将行列式乘积公式推广到一般 \(S \times N\) 和 \(N \times S\) 矩阵（\(S \leq N\)），给出 \(\det(AB)\) 用 \(A, B\) 的所有 \(S\) 阶子式表达的公式。