高等代数 · 第 P65 集 · 十一：比内-柯西公式

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◎学习目标

理解分块矩阵在行列式计算中的辅助作用：将非方阵的行列式问题转化为方阵情形；
掌握构造辅助分块行列式 \(\det\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix}\) 的技术，用于处理 \(AB\) 的行列式问题（当 \(A, B\) 为非方阵时）；
学会利用行列式按行/列展开定理计算辅助行列式的两端，提取 \(AB\) 的子式；
理解并掌握比内-柯西公式（Binet-Cauchy Formula）： \[ \det(AB) = \sum_{\sigma} (-1)^{\sum \sigma} A_{\sigma} B_{\sigma} \] （当 \(A\) 为 \(s \times n\)，\(B\) 为 \(n \times s\)，\(s \le n\) 时，\(\det(AB) = \sum A_{\sigma} B_{\sigma}\)）；
理解公式中子式（minor）的含义：取 \(A\) 的 \(s\) 个列（共 \(C_n^s\) 种选法）与 \(B\) 的 \(s\) 个行构成的子式；
掌握比内-柯西公式在 \(s = n\)（方阵）时退化为 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\) 的特例；
体会分块矩阵 + 展开定理 + 符号分析的组合证明技术，这是线性代数中"硬算"与"技巧"结合的经典范例。

1分块矩阵的技巧 ⏱ 00:01

本节证明的核心工具是分块矩阵。老师特别强调分块矩阵的重要性。

老师强调 "穿最好了，可以有分块矩阵做，就好得多了。原来我前面做，没有讲分块矩阵做，证明比较麻烦。"⏱ 00:01

分块矩阵行列式的基本性质对于分块矩阵 \(\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}\)（各块为方阵），当 \(P\) 可逆时：

\det\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \det(P) \cdot \det(S - R P^{-1} Q).

这是证明本公式的关键工具。

2构造辅助行列式 ⏱ 00:26

设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times s\) 矩阵（\(s \le n\)），\(AB\) 为 \(s\) 阶方阵。需要计算 \(\det(AB)\)。

构造 · 辅助分块行列式构造 \((s+n) \times (s+n)\) 的分块矩阵：

\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix}.

这是一个 \((s+n)\) 阶方阵（\(s+n\) 行，\(s+n\) 列），因此有行列式。⏱ 00:51

关键等式（一式）利用分块矩阵的初等行（列）变换，可以证明：

\det\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_n + BA) = \det(I_s + AB).

证明：对分块矩阵作初等行变换 \(R_2 \leftarrow R_2 + B \cdot R_1\)，得 \(\begin{pmatrix} I_s & A \\ 0 & I_n + BA \end{pmatrix}\)，故行列式为 \(\det(I_n + BA)\)。类似地，作初等列变换 \(C_1 \leftarrow C_1 - A \cdot C_2\)，得 \(\begin{pmatrix} I_s - AB & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}\)，故行列式也为 \(\det(I_s + AB)\)（注意这里出现的是 \(I_s + AB\) 而非 \(I_s - AB\)）。由 Sylvester 行列式恒等式，\(\det(I_n + BA) = \det(I_s + AB)\)，因此三者相等。⏱ 01:14

为什么要构造这个？ \(A\) 和 \(B\) 都不是方阵（\(s < n\) 时），没有行列式。但 \(AB\) 是 \(s\) 阶方阵，有行列式。辅助分块矩阵将 \(AB\) 和 \(BA\) "嵌"进去，利用方阵行列式工具间接处理 \(AB\) 的子式问题。⏱ 02:30

3右端行列式的计算 ⏱ 02:52

分别计算辅助行列式的两端（左端和右端），然后令其相等。

右端：\(\det(I_s - AB)\) 的展开先计算 \(\det(I_s - AB)\)。由于 \(AB\) 是 \(s\) 阶矩阵，这是常规行列式。 但更关键的是：将辅助分块矩阵按前 \(s\) 行展开（Laplace 展开），提取 \(AB\) 的子式。⏱ 03:09

展开定理的引用

引用第二章行列式按 \(K\) 行（列）展开的定理（Laplace 展开）：⏱ 03:15

\det(M) = \sum_{\sigma \in C_n^K} (-1)^{\sum \sigma} M_{\sigma} \cdot M_{\sigma}',

其中 \(\sigma\) 为列标组合，\(M_{\sigma}\) 为取前 \(K\) 行和列 \(\sigma\) 的子式，\(M_{\sigma}'\) 为余子式。

4按前 \(s\) 行展开 ⏱ 03:37

对辅助分块矩阵 \(\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix}\) 按前 \(s\) 行展开。

展开过程前 \(s\) 行共有 \(s + n\) 列。按前 \(s\) 行、\(s\) 列展开，列标组合为 \(\sigma = (v_1, v_2, \dots, v_s)\)，其中 \(1 \le v_1 < v_2 < \dots < v_s \le s+n\)。⏱ 04:00

非零项的筛选

前 \(s\) 行的左半部分（前 \(s\) 列）是 \(I_s\)（单位矩阵），右半部分是 \(A\)（\(s \times n\)）。

取列标组合 \(\sigma = (1, 2, \dots, s)\)（即只取前 \(s\) 列，也就是 \(I_s\) 所在列）时：

M_{\sigma} = \det(I_s) = 1, \quad M_{\sigma}' = \det(-AB) = (-1)^s \det(AB).

符号：\((-1)^{\sum \sigma} = (-1)^{1+2+\cdots+s} = (-1)^{s(s+1)/2}\)。

若列标组合中有列 \(> s\)（即进入 \(A\) 或右半部分），则余子式中必然出现 \(I_n\) 的行列式（\(= 1\)）或 \(-B\) 的子式，结构不同。

关键：当列标组合中取 \(v_1 < \cdots < v_s \le s\) 时（即全部取前 \(s\) 列），对应的项为

(-1)^{s(s+1)/2} \cdot 1 \cdot (-1)^s \det(AB) = (-1)^{s(s+1)/2 + s} \det(AB).

⏱ 05:12

5左端行列式的计算 ⏱ 07:10

对辅助矩阵的左端（另一种分块形式）按前 \(s\) 行展开，提取 \(A\) 和 \(B\) 的子式。

左端展开考虑 \(\det\begin{pmatrix} A & I_s \\ I_n & 0 \end{pmatrix}\)（或类似的分块形式），按前 \(s\) 行展开。⏱ 07:20

列标组合的选取

设列标组合为 \(\sigma = (v_1, v_2, \dots, v_s)\)，其中 \(1 \le v_1 < v_2 < \dots < v_s \le n\)。

取 \(A\) 的列 \(v_1, \dots, v_s\) 构成 \(s\) 阶子式 \(A_{v_1, \dots, v_s}\)（即 \(A\) 中取前 \(s\) 行、列 \(v_1, \dots, v_s\) 的子式）。

对应的余子式包含 \(B\) 中取前 \(n-s\) 列、行 \(v_1, \dots, v_s\) 的子式（即 \(B_{v_1, \dots, v_s}\) 的"互补"子式）。

展开后得到：⏱ 09:00

\det(\text{左端}) = \sum_{1 \le v_1 < \cdots < v_s \le n} (-1)^{\Sigma} A_{v_1, \dots, v_s} \cdot B_{v_1, \dots, v_s}^*,

其中 \(\Sigma\) 是符号指数（行标和 + 列标和），\(B_{v_1,\dots,v_s}^*\) 是 \(B\) 中对应的余子式。

直观理解求和指标 \(v_1, \dots, v_s\) 遍历 \(\{1, \dots, n\}\) 的所有 \(s\) 元子集，共 \(C_n^s\) 项。每项是 \(A\) 的一个 \(s\) 阶子式乘以 \(B\) 的对应 \(s\) 阶子式（余子式形式）。这正是比内-柯西公式的"骨架"。

6符号的化简 ⏱ 15:35

证明中遇到的关键技术难点是化简符号指数 \((-1)^{\Sigma}\)。

符号化简过程行指标和：\(1 + 2 + \cdots + s = \frac{s(s+1)}{2}\)。⏱ 16:00

列指标和（对于组合 \(\sigma = (v_1, \dots, v_s)\)）：

\sum_{i=1}^{s} v_i + \sum_{j=1}^{n-s} u_j = \text{（某表达式）}

其中 \(u_1, \dots, u_{n-s}\) 是 \(\{1, \dots, n\} \setminus \{v_1, \dots, v_s\}\) 的补集（升序排列）。⏱ 17:30

符号恒等式的验证

符号指数的化简是证明的关键。使用 Laplace 展开定理，符号因子为 \((-1)^{\text{行标和} + \text{列标和}}\)：

前 \(s\) 行的行标和为 \(1+2+\cdots+s = \frac{s(s+1)}{2}\)；
选取的 \(s\) 个列标为 \(v_1 < \cdots < v_s\)，和为 \(\sum v_i\)；
余子式来自后 \(n\) 行（行标 \(s+1,\dots,s+n\)，和为 \(ns + \frac{n(n+1)}{2}\)）与补列 \(u_1 < \cdots < u_{n-s}\)（和为 \(\sum u_j\)）。

总符号指数为：

\frac{s(s+1)}{2} + \sum v_i + ns + \frac{n(n+1)}{2} + \sum u_j.

由于 \(\{v_i\}\) 与 \(\{u_j\}\) 构成 \(\{1,2,\dots,s+n\}\) 的一个划分，故 \(\sum v_i + \sum u_j = \frac{(s+n)(s+n+1)}{2}\)。代入得：

\begin{aligned} \text{指数} &= \frac{s(s+1)}{2} + ns + \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(s+n)(s+n+1)}{2} \\ &= s^2 + n^2 + s + n + 2sn \\ &= s(s+1) + n(n+1) + 2sn. \end{aligned}

由于 \(s(s+1)\) 和 \(n(n+1)\) 都是两个连续整数之积，必为偶数； \(2sn\) 也是偶数。因此总指数为偶数，即 \((-1)^{\Sigma} = 1\)。这说明在展开式中每一项的符号都是正的，无需额外引入符号因子。⏱ 19:30

符号计算是最易出错的地方老师特别强调符号指数的计算，要求学生"每个从你自己算一算，看我算对没有"。实际证明中，符号错误是最常见的漏洞。⏱ 19:30

7比内-柯西公式 ⏱ 21:53

将左右两端的行列式相等，提取出 \(AB\) 的行列式，得到核心结论。

定理 · 比内-柯西公式（Binet-Cauchy Formula）设 \(A\) 为 \(s \times n\) 矩阵，\(B\) 为 \(n \times s\) 矩阵，\(s \le n\)。则

\det(AB) = \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le n} A_{i_1, i_2, \dots, i_s} \cdot B_{i_1, i_2, \dots, i_s}.

其中：

\(A_{i_1, i_2, \dots, i_s}\) 是 \(A\) 取所有 \(s\) 行、列 \(i_1, \dots, i_s\) 构成的 \(s\) 阶子式；
\(B_{i_1, i_2, \dots, i_s}\) 是 \(B\) 取行 \(i_1, \dots, i_s\)、所有 \(s\) 列构成的 \(s\) 阶子式；
求和遍历 \(\{1, \dots, n\}\) 的所有 \(s\) 元子集，共 \(C_n^s\) 项。

⏱ 21:53

公式的核心意义

将 \(s\) 阶行列式 \(\det(AB)\) 表示为 \(C_n^s\) 个 \(s\) 阶子式乘积之和；
当 \(s = n\)（方阵）时，只有 \(C_n^n = 1\) 项，公式退化为 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)；
当 \(s < n\) 时，\(\det(AB)\) 一般不为零（多项式），这是方阵情形的自然推广。

"不容易吧，这个叫做比内-柯西公式。" ⏱ 21:53

特殊情况 \(s = n\)（方阵）

当 \(A\) 为 \(n \times n\)，\(B\) 为 \(n \times n\)（方阵）时，\(C_n^s = C_n^n = 1\)，只有一项：

\det(AB) = A_{1,2,\dots,n} \cdot B_{1,2,\dots,n} = \det(A) \cdot \det(B).

这正是熟悉的行列式乘法公式。⏱ 22:10

例子 · \(s = 1\) 的情形当 \(s = 1\) 时，\(A\) 是 \(1 \times n\) 行向量 \((a_1, \dots, a_n)\)，\(B\) 是 \(n \times 1\) 列向量 \((b_1, \dots, b_n)^T\)，

AB = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \quad (\text{1 阶矩阵，即标量}). \] \[ \det(AB) = AB = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i.

比内-柯西公式给出：\(\sum_{i=1}^{n} A_{\{i\}} B_{\{i\}} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\)。完美一致。

8特殊情况与推论 ⏱ 22:08

推论 1 · 方阵退化当 \(s = n\) 时，比内-柯西公式退化为：

\det(AB) = \det(A)\det(B).

这是行列式最基本的乘法性质。

推论 2 · \(s = n-1\) 的情形当 \(s = n-1\)（即 \(A\) 为 \((n-1) \times n\)，\(B\) 为 \(n \times (n-1)\)）时， \(C_n^{n-1} = n\) 项，公式变为：

\det(AB) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} a_i \cdot A_i,

这与行列式按行展开的代数余子式公式直接相关。

推论 3 · 秩不等式由比内-柯西公式：若 \(\operatorname{rank}(A) < s\)，则 \(A\) 的所有 \(s\) 阶子式全为零，故 \(\det(AB) = 0\)，即 \(\operatorname{rank}(AB) < s\)。这印证了 \(\operatorname{rank}(AB) \le \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\)\) 的秩不等式。

老师说明 "这公式今天没回系我"——老师提到此公式在本次课程中只做基本证明，更深入的推广留待后续。⏱ 22:08

★重点回顾

1

分块矩阵辅助法：构造 \((s+n)\) 阶辅助分块矩阵 \(\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix}\)，将 \(s \times n\) 和 \(n \times s\) 非方阵问题转化为方阵行列式问题。

2

Laplace 展开：按前 \(s\) 行、\(s\) 列展开，列标组合遍历 \(C_n^s\) 种，提取 \(A\) 和 \(B\) 的子式。

3

比内-柯西公式：\(\det(AB) = \sum_{\sigma} A_{\sigma} B_{\sigma}\)（\(s \le n\)）。每一项是 \(A\) 的 \(s\) 阶子式乘以 \(B\) 的对应 \(s\) 阶子式。

4

方阵退化：\(s = n\) 时，\(C_n^n = 1\)，公式化为 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)。

5

符号计算：证明中最易出错的地方是化简 \((-1)^{\Sigma}\) 的指数，必须仔细验证每一项的符号。

⚠易错点提醒

常见错误

\(\det(AB) \ne \det(A)\det(B)\)（一般情形）：当 \(A\) 为 \(s \times n\)，\(B\) 为 \(n \times s\)，\(s < n\) 时，\(A\) 和 \(B\) 没有行列式，不能直接相乘。必须用比内-柯西公式。
子式的选取方向：\(A\) 取所有行、\(s\) 个列（列标组合 \(i_1 < \cdots < i_s\)）；\(B\) 取 \(s\) 个行（同样的行标组合）、所有列。行标/列标对应关系不能搞混。
符号项的化简：\((-1)^{\Sigma}\) 中的 \(\Sigma\) 包含行标和 + 列标和，化简时需验证奇偶性。老师特别提醒"每个从你自己算一算"。
辅助矩阵的构造：分块矩阵 \(\begin{pmatrix} I_s & A \\ -B & I_n \end{pmatrix}\) 中，\(I_s\) 和 \(I_n\) 的阶数要与 \(A, B\) 的维度匹配。\(A\) 为 \(s \times n\)，故左上为 \(s\) 阶 \(I_s\)，右下为 \(n\) 阶 \(I_n\)。
\(s > n\) 的情形：比内-柯西公式在 \(s > n\) 时不成立（此时 \(\det(AB) = 0\)，因为 \(AB\) 的秩不超过 \(n < s\)）。公式仅在 \(s \le n\) 时有效。

✎自我检测

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)（\(2 \times 3\)），\(B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}\)（\(3 \times 2\)）。用比内-柯西公式计算 \(\det(AB)\)，并与直接计算验证。
设 \(A\) 为 \(2 \times 4\) 矩阵，\(B\) 为 \(4 \times 2\) 矩阵。比内-柯西公式中共有多少项？写出求和指标。
验证：当 \(s = 1\) 时，比内-柯西公式退化为向量点积公式 \(\sum a_i b_i\)。
设 \(A\) 为 \(s \times n\)，\(B\) 为 \(n \times s\)，\(\operatorname{rank}(A) < s\)。证明 \(\det(AB) = 0\)。（提示：用比内-柯西公式。）
（证明）设 \(A\) 为 \(n \times n\) 可逆矩阵，\(B\) 为 \(n \times n\) 矩阵。证明 \(\det(BA) = \det(A)\det(B) = \det(AB)\)。（用比内-柯西公式 \(s = n\) 的特例。）
（思考）比内-柯西公式与行列式的外幂（exterior power）有何联系？设 \(\bigwedge^s A\) 和 \(\bigwedge^s B\) 分别为 \(A, B\) 的 \(s\) 阶外幂矩阵，说明 \(\det(AB) = \det(\bigwedge^s A \cdot \bigwedge^s B)\)。

下一集预告第 P66 集将讨论行列式的其他重要性质及其在线性映射中的应用。