高等代数 · 第 P67 集 · 无限维线性空间、环

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◎学习目标

掌握无限维线性空间的判定方法：证明一组无穷集合线性无关；
理解并记忆多项式⏱ 00:02次数公式 \(\deg(f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)\) 和 \(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)；
掌握无零因子性及其推论——消去律的证明；
理解从具体代数结构（整数环、矩阵环、多项式环）中抽象出"环"这一概念的方法论；
熟练掌握环的六条运算律：加法四条（结合、交换、零元、负元）+ 乘法两条（结合、分配）。

1\(K[x]\) 是无限维线性空间 ⏱ 00:00

由前一集（P66）知，\(K[x]\) 是数域 \(K\) 上的线性空间。现在来研究它的维数。

考虑集合 \(\omega = \{1, x, x^2, x^3, \ldots\}\)，即所有非负整数次幂的集合。

命题 · \(K[x]\) 的生成集 \(K[x]\) 中任意多项式 \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) 均可表为 \(\omega\) 中有限多个元素的线性组合：

f(x) = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot x + \cdots + a_n \cdot x^n.

因此 \(\omega\) 生成 \(K[x]\)。

证明 \(\omega\) 线性无关

步骤 1：任取 \(\omega\) 的有限子集 \(\{1, x, x^2, \ldots, x^m\}\)，证明其线性无关。⏱ 01:05

设 \(k_0 \cdot 1 + k_1 x + \cdots + k_m x^m = 0\)（零多项式）。

由一元多项式的定义（表法唯一），等号两端系数必须完全相同。右端零多项式所有系数均为 0，故：

k_0 = k_1 = \cdots = k_m = 0.

因此 \(\{1, x, \ldots, x^m\}\) 线性无关。⏱ 03:22

步骤 2：由于 \(\omega\) 的任一有限子集均线性无关，由定义知 \(\omega\) 本身无限线性无关。

结论：\(\omega\) 是 \(K[x]\) 的一个⏱ 04:46无限基，故 \(K[x]\) 是无限维线性空间。这是本課程中第一个真正的无限维线性空间实例。

重要结论丘老师强调："今天我们第一次向同学们介绍无限维的线性空间……以前的例子都是有限维的。"⏱ 05:08

关键洞见证明无穷集线性无关的标准方法：只需验证其中任意有限子集线性无关。这正是利用了线性组合只涉及有限项的性质。

2多项式次数的基本性质 ⏱ 07:00

设 \(f(x), g(x) \in K[x]\) 均非零，\(\deg f = n\)，\(\deg g = m\)，首项分别为 \(a_n x^n\) 和 \(b_m x^m\)。

命题一 · 次数公式

（加法的次数上界）

\deg(f + g) \leq \max(\deg f, \deg g).

等号在 \(\deg f \neq \deg g\) 时一定成立；当 \(\deg f = \deg g\) 时，若首项系数互为相反数则可能严格小于。

（乘法的次数等式）

\deg(f \cdot g) = \deg f + \deg g.

乘法次数公式的证明

\(f(x)\) 的首项为 \(a_n x^n\)（\(a_n \neq 0\)），\(g(x)\) 的首项为 \(b_m x^m\)（\(b_m \neq 0\)）。

按乘法定义，\(f \cdot g\) 的最高次项来自首项相乘：⏱ 11:18

a_n x^n \cdot b_m x^m = (a_n b_m) x^{n+m}.

由于 \(K\) 是数域（无零因子），\(a_n \neq 0\) 且 \(b_m \neq 0\)，故 \(a_n b_m \neq 0\)。

因此 \(f \cdot g\) 的首项就是 \(a_n b_m x^{n+m}\)，次数为 \(n + m = \deg f + \deg g\)。⏱ 12:00

零多项式情形：若 \(g = 0\)，则 \(f \cdot g = 0\)，\(\deg(fg) = -\infty\)，而 \(\deg f + \deg g = n + (-\infty) = -\infty\)，等式仍成立。这正是规定 \(\deg 0 = -\infty\) 的意义所在。⏱ 12:46

推论 · 无零因子性若 \(f(x) \neq 0\) 且 \(g(x) \neq 0\)，则 \(f(x) \cdot g(x) \neq 0\)。⏱ 13:49
证明：由命题一，\(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)，两边均非 \(-\infty\)，故 \(fg \neq 0\)。

3多项式乘法的消去律 ⏱ 15:00

命题二 · 消去律设 \(f(x), g(x), h(x) \in K[x]\)，若 \(f(x) \neq 0\) 且 \(f(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot h(x)\)，则 \(g(x) = h(x)\)。

证明

由 \(fg = fh\)，移项得：

f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot h(x) = 0.

由分配律：

f(x) \cdot (g(x) - h(x)) = 0.

由无零因子性（推论），\(f \neq 0\)，故必须有 \(g(x) - h(x) = 0\)，即 \(g(x) = h(x)\)。证毕。⏱ 16:00

几何意义消去律保证可以在多项式方程两边同时"约去"非零因子，类似于实数运算中 \(ab = ac, a \neq 0 \Rightarrow b = c\)。

小结：多项式乘法的运算律多项式乘法满足：结合律、交换律、对加法的分配律（左、右）、消去律（在非零因子下）。这些性质使 \(K[x]\) 成为一个非常"好"的代数结构。

4环的概念引入 ⏱ 17:10

丘老师从几个熟悉的代数结构出发，通过共性提取抽象出"环"的概念。

四个典型代数结构

结构	加法运算律	乘法运算律	单位元
整数环 \(\mathbb{Z}\)	结合、交换、零元 0、负元	结合、交换	有（1）
矩阵环 \(M_n(K)\)	结合、交换、零元 \(O\)、负元	结合（不交换）	有（\(I_n\)）
数域 \(K\)	结合、交换、零元 0、负元	结合、交换	有（1）
偶数集合 \(2\mathbb{Z}\)	结合、交换、零元 0、负元	结合（不交换时需注意）	无

定义 · 环一个非空集合 \(R\)，配备两种代数运算（称为加法和乘法），满足以下六条运算律：

加法结合律：\((a+b)+c = a+(b+c)\)，\(\forall a,b,c \in R\)；
加法交换律：\(a+b = b+a\)，\(\forall a,b \in R\)；
加法零元：存在 \(0 \in R\)，使 \(a+0 = 0+a = a\)，\(\forall a \in R\)；
加法负元：\(\forall a \in R\)，存在 \(-a \in R\)，使 \(a+(-a)=(-a)+a=0\)；
乘法结合律：\((ab)c = a(bc)\)，\(\forall a,b,c \in R\)；
左右分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)，\((a+b)c=ac+bc\)，\(\forall a,b,c \in R\)。

满足以上条件的 \((R, +, \cdot)\) 称为环（Ring）。⏱ 23:35

本集核心结论数域 \(K\) 上的一元多项式集合 \(K[x]\) 对加法和乘法满足环的全部六条运算律，故 \(K[x]\) 是一个环。这是第五章研究的核心对象——一元多项式环。⏱ 23:41

5环的进一步讨论 ⏱ 24:00

环的定义中，不要求乘法交换，也不要求存在乘法单位元。这样定义的目的在于尽可能包容更多结构（如矩阵环没有交换律，偶数环没有单位元）。

环的基本性质（可由定义推出）

零元性质：对任意 \(a \in R\)，\(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)。证明只用分配律：⏱ 06:36

证明：\(a \cdot 0 = 0\)

由加法零元定义：\(0 + 0 = 0\)。对任意 \(a \in R\)，用分配律：

a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0.

两边同时加上 \(-(a \cdot 0)\)（加法负元存在）：

a \cdot 0 + (-(a \cdot 0)) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-(a \cdot 0)) \implies 0 = a \cdot 0.

同理可证 \(0 \cdot a = 0\)。证毕。

特殊类型的环（下集预告）

交换环：乘法满足交换律 \(ab = ba\) 的环；
含幺环：存在乘法单位元 \(E\)（\(Ea = aE = a\)）的环；
零因子：存在 \(a \neq 0\)，使得存在 \(b \neq 0\) 满足 \(ab = 0\)（或 \(ba = 0\)）。

\(K[x]\) 同时是交换环和含幺环，且无零因子（由消去律等价）。

★重点回顾

1

\(K[x]\) 是无限维线性空间：\(\omega = \{1, x, x^2, \ldots\}\) 是其无限基，证明关键是验证任意有限子集线性无关（由表法唯一性）。

2

次数公式：\(\deg(f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)\)，\(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)。后者是多项式理论中最基本的工具之一。

3

无零因子性：非零多项式的乘积非零，由此推出消去律 \(fg = fh, f \neq 0 \Rightarrow g = h\)。

4

环的定义：六个运算律（加法四条 + 乘法结合 + 分配律）。不要求交换律和单位元，体现高度的抽象包容性。

5

方法论：从整数环、矩阵环、数域、偶数环等具体实例中提取共同特征 → 抽象出"环"的公理化定义。这是近代代数学的基本思维方式。

⚠易错点提醒

常见错误

误认为乘法必须交换：环的定义不要求乘法交换！矩阵环是典型的非交换环，忽略这一点会导致后续学习 confusion。
误认为环必须有单位元：偶数环 \(2\mathbb{Z}\) 没有乘法单位元，它是环但不是含幺环。题目问"是否含单位元"时需单独验证。
混淆零元与零因子：零元 \(0\) 是加法单位元，是"平凡零因子"；零因子是指非零元素 \(a\)，存在非零 \(b\) 使 \(ab=0\)。二者概念不同。
\(\deg(f+g) = \max(\deg f, \deg g)\) 无条件成立：仅当 \(\deg f \neq \deg g\) 时等号恒成立；当首项系数互为相反数时可能严格小于。
证明 \(\omega\) 线性无关时思路不清：必须明确"无限线性无关"的定义——任意有限子集线性无关；不能直接假设一个"无限线性组合"等于 0。

✎自测与作业

（基础）证明：在环 \(R\) 中，对任意 \(a \in R\)，有 \((-a) \cdot b = -(a \cdot b)\)。（提示：利用分配律和负元的定义。）
（计算）设 \(f(x) = 3x^3 - 2x + 1\)，\(g(x) = -3x^3 + x^2 + 2x - 5\)，计算 \(f+g\) 并验证 \(\deg(f+g) < \max(\deg f, \deg g)\)。
（证明）证明：若 \(f(x) \cdot g(x) = 0\)，则 \(f(x) = 0\) 或 \(g(x) = 0\)。（利用 \(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)。）
（概念辨析）下列集合对通常加法和乘法是否构成环？说明理由：
(a) 正实数集合 \(\mathbb{R}^+\)；(b) 所有偶数集合 \(2\mathbb{Z}\)；(c) 所有 \(2 \times 2\) 对称矩阵集合。
（思考）为什么环的定义不要求乘法交换？举一个乘法不交换但满足其他六条运算律的具体例子，并验证。
（进阶）证明：环 \(R\) 中的零元 \(0\) 满足 \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)（对一切 \(a \in R\)）。

下一集预告第 P68 集 · 多项式三：一元多项式环的概念和性质、交换环、子环、同构映射——深入研究环的子结构及环同态。