高等代数 · 课程学习笔记

第 P69 集 · 三十八：一元多项式环的结构和性质、整除、相伴

Structure and Properties of Polynomial Ring, Divisibility, Associates
北大丘维声教授 · 清华大学 2011 级 进度 P69 / 151 集 核心概念：一元多项式环 · 整除关系 · 相伴多项式 · 整除性质
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◎学习目标

  1. 理解一元多项式环 \(F[x]\) 的定义：以数域 \(F\) 上的一元多项式全体构成的环，其中的加法和乘法运算分别由系数加法和多项式乘法定义；
  2. 掌握整除概念：对 \(f(x), g(x) \in F[x]\)，若存在 \(h(x) \in F[x]\) 使得 \(f(x) = g(x)h(x)\)，则称 \(g(x)\) 整除 \(f(x)\)，记作 \(g(x) \mid f(x)\)；
  3. 理解相伴（associate）多项式的定义：\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 相伴当且仅当 \(f(x) = c \cdot g(x)\)，其中 \(c \in F^*\)（即 \(c\) 是数域 \(F\) 中的非零元）；
  4. 掌握整除的三个基本例子：非零常数整除任意多项式；任意多项式整除零多项式；零多项式只整除零多项式；
  5. 掌握整除的次数不等式：若 \(g(x) \mid f(x)\) 且 \(f(x) \neq 0\)，则 \(\deg g(x) \leq \deg f(x)\)；
  6. 掌握整除的传递性、线性组合性质等基本性质，并理解相伴关系是一种等价关系，将非零多项式按相伴关系分类为不同的等价类。

1一元多项式环 \(F[x]\) 的概念 ⏱ 00:01

设 \(F\) 是一个数域（如有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\) 等）。所有系数取自 \(F\) 的一元多项式构成的集合，记作 \(F[x]\)：

\[ F[x] = \left\{ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \;\middle|\; n \geq 0,\; a_i \in F \right\}. \]

其中 \(a_n\) 可以为 0（此时多项式的实际次数可能小于 \(n\)），\(a_0\) 称为常数项，当 \(a_0 \neq 0\) 而其余系数全为 0 时，称为零次多项式（即非零常数）。

定义 · 多项式环 在 \(F[x]\) 中规定通常的多项式加法与乘法运算，则 \(F[x]\) 构成一个环（满足加法交换群、乘法结合律、分配律三条公理），称之为数域 \(F\) 上的一元多项式环。
说明\(F[x]\) 是一个有单位元的交换环：单位元是常数多项式 \(1\)；乘法交换律成立，即 \(f(x)g(x) = g(x)f(x)\) 对所有 \(f,g \in F[x]\) 成立。

2整除的概念与记号 ⏱ 00:26

类比整数环中的整除概念，在多项式环 \(F[x]\) 中引入整除：

定义 · 整除 设 \(f(x), g(x) \in F[x]\)。若存在 \(h(x) \in F[x]\) 使得
\[ f(x) = g(x) \cdot h(x), \]
则称 \(g(x)\) 整除 \(f(x)\)，记作 \(g(x) \mid f(x)\)。此时也称 \(g(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个因式，\(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的一个倍式。

若不存在这样的 \(h(x)\)，则称 \(g(x)\) 不能整除\(f(x)\)，记作 \(g(x) \nmid f(x)\)。

动机示例 例：\((x+1) \mid (x^2 - 1)\)，因为 \(x^2 - 1 = (x+1)(x-1)\)。这正是初中所学因式分解的结果。⏱ 00:38

3整除的三个基本例子 ⏱ 03:56

性质 1：非零常数整除一切多项式 对任意 \(f(x) \in F[x]\) 和任意非零常数 \(c \in F^*\)，都有 \(c \mid f(x)\)。
理由：\(f(x) = c \cdot \left(\dfrac{1}{c} f(x)\right)\)，而 \(\dfrac{1}{c} f(x) \in F[x]\)。
性质 2：任意多项式整除零多项式 对任意 \(f(x) \in F[x]\)，有 \(f(x) \mid 0\)。
理由：\(0 = f(x) \cdot 0\)，其中 \(0 \in F[x]\) 是零多项式。
性质 3：零多项式只整除零多项式 若 \(0 \mid f(x)\)，则必有 \(f(x) = 0\)。
理由：若 \(0 \mid f(x)\)，则存在 \(h(x) \in F[x]\) 使 \(f(x) = 0 \cdot h(x) = 0\)。因此零多项式不能整除任何非零多项式。

这三个例子揭示：零多项式在整除关系中是特殊的——它被一切多项式整除，但它本身只能整除零多项式。

4整除的次数不等式 ⏱ 06:15

定理 1 · 整除的次数性质 设 \(f(x), g(x) \in F[x]\)。若 \(g(x) \mid f(x)\) 且 \(f(x) \neq 0\)，则
\[ \deg g(x) \leq \deg f(x). \]
证明

由 \(g(x) \mid f(x)\)，存在 \(h(x) \in F[x]\) 使得 \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\)。⏱ 06:45

因为 \(f(x) \neq 0\)，故 \(g(x) \neq 0\) 且 \(h(x) \neq 0\)（零乘以任何多项式都为零多项式）。⏱ 07:05

由多项式乘法的次数公式（上一集已证）：

\[ \deg f(x) = \deg(g(x) \cdot h(x)) = \deg g(x) + \deg h(x). \]

由于 \(h(x) \neq 0\)，故 \(\deg h(x) \geq 0\)（自然数），从而 \(\deg g(x) \leq \deg f(x)\)。证毕。

注意定理的前提条件 \(f(x) \neq 0\) 不可省略。若 \(f(x) = 0\)，则 \(g(x)\) 可以是任意多项式（包括次数任意的），此时 \(\deg g(x) \leq \deg f(x) = (-\infty)\) 无意义。

5相伴（Associate）多项式 ⏱ 09:15

整除关系不是对称的（例如 \(x+1 \mid x^2-1\) 但 \(x^2-1 \nmid x+1\)）。当两个多项式互相整除时，我们给它一个专门的名称。

定义 · 相伴 设 \(f(x), g(x) \in F[x]\)。若 \(f(x) \mid g(x)\) 且 \(g(x) \mid f(x)\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 相伴，记作 \(f(x) \sim g(x)\)。
定理 2 · 相伴的刻画 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 相伴（\(f(x) \sim g(x)\)）当且仅当存在非零常数 \(c \in F^*\) 使得
\[ f(x) = c \cdot g(x). \]
证明

必要性：设 \(f(x) \sim g(x)\)，则 \(f(x) \mid g(x)\) 且 \(g(x) \mid f(x)\)。⏱ 09:50

故存在 \(h_1(x), h_2(x) \in F[x]\) 使 \(f(x) = g(x) \cdot h_1(x)\) 且 \(g(x) = f(x) \cdot h_2(x)\)。代入得 \(f(x) = f(x) \cdot h_1(x) \cdot h_2(x)\)。

若 \(f(x) \neq 0\)，两边消去 \(f(x)\) 得 \(h_1(x) \cdot h_2(x) = 1\)。由于 \(1\) 是零次多项式，由次数公式知 \(\deg h_1(x) + \deg h_2(x) = 0\)，故 \(\deg h_1(x) = \deg h_2(x) = 0\)，即 \(h_1(x) = c\)（非零常数）。从而 \(f(x) = c \cdot g(x)\)。

若 \(f(x) = 0\)，则由 \(f(x) \mid g(x)\) 知 \(g(x) = 0\)，此时也满足 \(f(x) = c \cdot g(x)\)（任意 \(c \in F^*\) 均可）。⏱ 10:30

充分性：设 \(f(x) = c \cdot g(x)\)，\(c \in F^*\)。则 \(g(x) \mid f(x)\)（取 \(h(x) = c\)）；同时 \(f(x) \mid g(x)\)（取 \(h(x) = c^{-1}\)）。故 \(f(x) \sim g(x)\)。证毕。

等价关系相伴关系 \(\sim\) 是 \(F[x]\) 上的等价关系：反身性（\(f \sim f\)）、对称性（若 \(f \sim g\) 则 \(g \sim f\)）、传递性（若 \(f \sim g, g \sim h\) 则 \(f \sim h\)）均成立。

按相伴关系可将 \(F[x]\) 中的多项式划分为等价类：每个非零多项式 \(f(x)\) 所属的等价类为

\[ [f(x)] = \{ c \cdot f(x) \mid c \in F^* \}. \]

6整除的基本性质 ⏱ 11:50

性质 1（自反性） 对任意 \(f(x) \in F[x]\)，有 \(f(x) \mid f(x)\)。
理由：\(f(x) = 1 \cdot f(x)\)，而 \(1 \in F[x]\)。
性质 2（传递性） 若 \(f(x) \mid g(x)\) 且 \(g(x) \mid h(x)\)，则 \(f(x) \mid h(x)\)。
理由：由 \(f \mid g\) 有 \(g = f \cdot u\)；由 \(g \mid h\) 有 \(h = g \cdot v\)。故 \(h = f \cdot (uv)\)，即 \(f \mid h\)。
性质 3（线性组合性质） 若 \(g(x) \mid f_i(x)\)（\(i = 1, 2, \dots, s\)），则对任意 \(u_1(x), \dots, u_s(x) \in F[x]\)，有
\[ g(x) \mid \bigl(u_1(x) f_1(x) + u_2(x) f_2(x) + \cdots + u_s(x) f_s(x)\bigr). \]

即：一个多项式若整除若干个多项式，则它整除这些多项式的任意线性组合。⏱ 13:22

重要提示整除关系是 \(F[x]\) 上的一个二元关系，它满足反身性但不满足对称性（一般多项式之间不互相整除），也不满足反对称性（相伴但不相等是常态）。相伴关系则是整除关系的"对称化"，它将整除关系提升为等价关系。

★重点回顾

1
一元多项式环 \(F[x]\)：系数取自数域 \(F\) 的一元多项式全体，配备通常的多项式加法与乘法，构成有单位元的交换环。单位元是常数多项式 \(1\)。
2
整除定义：\(g(x) \mid f(x) \iff \exists h(x) \in F[x],\ f(x) = g(x)h(x)\)。整除是多项式之间的一个二元关系。
3
三个特殊整除关系：①非零常数整除一切多项式；②任意多项式整除零多项式；③零多项式只整除零多项式。
4
整除的次数不等式：若 \(g \mid f\) 且 \(f \neq 0\)，则 \(\deg g \leq \deg f\)。证明依靠乘积的次数公式 \(\deg(fg) = \deg f + \deg g\)。
5
相伴（associate）：\(f \sim g \iff f \mid g\) 且 \(g \mid f \iff \exists c \in F^*,\ f = cg\)。相伴是等价关系，将多项式分为等价类。\([f] = \{cf \mid c \in F^*\}\)。
6
整除基本性质：反身性、传递性、线性组合性质（若 \(g \mid f_i\) 对所有 \(i\)，则 \(g \mid \sum u_i f_i\)）。

⚠易错点提醒

常见错误
  1. 忽略 \(f(x) \neq 0\) 的前提条件：定理 \(\deg g \leq \deg f\) 仅在 \(f \neq 0\) 时成立。若 \(f = 0\)，则任意 \(g\) 都整除 \(f\)，次数不等式失去意义。
  2. 混淆"整除"与"相等"：\(f \mid g\) 并不意味着 \(f = g\)。例如 \(2 \mid (2x+2)\) 但 \(2 \neq 2x+2\)。相伴意味着"相差一个非零常数倍"，而非严格相等。
  3. 误认为整除关系是对称的：一般 \(f \mid g\) 推不出 \(g \mid f\)。例如 \(x+1 \mid x^2-1\) 但 \(x^2-1 \nmid x+1\)。
  4. 误认为整除关系是反对称的：\(f \mid g\) 且 \(g \mid f\) 只能推出 \(f \sim g\)（相伴），而非 \(f = g\)。例如 \(x\) 与 \(2x\) 相伴但不相等。
  5. 混淆"因式"与"根"：\(g(x) \mid f(x)\) 是多项式环中的整除关系；而 \(f(a) = 0\) 是说 \(a\) 是 \(f\) 的一个根。两者通过后续的余因式定理建立联系，但在本节不要混用。

✎自测与作业

  1. 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中，判断下列整除关系是否成立，并说明理由：
    • (a) \(2 \mid (4x^2 + 6x + 8)\)
    • (b) \((x-1) \mid (x^2 - 1)\)
    • (c) \((x^2+1) \mid (x^4-1)\)
    • (d) \(0 \mid (x^2+1)\)
  2. 验证相伴关系是等价关系：证明反身性、对称性、传递性。⏱ 参考定理2证明
  3. 在 \(\mathbb{R}[x]\) 中，写出下列多项式的相伴类：
    • (a) \(f(x) = 3x^2 - 6x + 9\)：\([f] = \{c(3x^2-6x+9) \mid c \in \mathbb{R}^*\}\)
    • (b) \(g(x) = x^3 + 2x\)：\([g] = \{c(x^3+2x) \mid c \in \mathbb{R}^*\}\)
  4. 证明：若 \(g(x) \mid f_1(x)\) 且 \(g(x) \mid f_2(x)\)，则 \(g(x) \mid (f_1(x) \pm f_2(x))\)。⏱ 01:33:30（这是性质 3 在 \(s=2\) 时的特例）
  5. （思考题）在 \(\mathbb{Z}[x]\)（整系数多项式环）中，\(2 \mid 6\) 是否成立？\(2\) 与 \(6\) 是否相伴？为什么 \(\mathbb{Z}[x]\) 中的相伴关系与 \(F[x]\) 中的不同？⏱ 扩展思考
  6. 设 \(f(x), g(x) \in F[x]\) 且 \(f(x) \neq 0\)。证明：\(f(x) \sim g(x)\) 当且仅当 \(f(x) \mid g(x)\) 且 \(\deg f(x) = \deg g(x)\)。⏱ 挑战题
下一集预告 第 P70 集 · 三十九：继续研究多项式环的结构，引入带余除法（多项式版本的欧几里得除法），这是后续研究最大公因式、不可约多项式的核心工具。