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◎学习目标
- 掌握\(n\) 元齐次线性方程组解的结论：齐次方程组恒有零解；有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 \(r<n\)（此时必有无穷多解）；特别地，方程个数 \(s<n\) 时必有非零解；
- 理解“数域（域）”概念：复数域的子集 \(K\)，若含 0 与 1、对加减乘除（除数为 0 外）封闭，则 \(K\) 是一个数域；有理数域 \(\mathbb{Q}\)、实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\) 都是数域，有理数域是最小的数域；
- 体会“为什么在数域里解方程组”：消元需要对系数做加减乘除（除法除数为 0 外），故数集必须对四则运算封闭——整数集不满足（\(2x=1\) 无整数解），而 \(\mathbb{Q}/\mathbb{R}/\mathbb{C}\) 满足；
- 了解新方向：不“先化成阶梯形再判”，而是直接从原方程组的系数与常数项判断解的情况（有无解、唯一解、无穷多解）；
- 掌握二阶行列式的定义（系数矩阵 \(2\times2\) 对应的 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)）及其记号，知道它“\( \neq0\) 时二元方程组有唯一解”，从而引出 \(N\) 阶行列式（下一章主题）。
0承接：齐次方程组与“非零解”问题 ⏱ 00:00
第 6 集（判别准则下）已把“齐次线性方程组（常数项全为 0）”的解的情况归到：必有零解；若还有非零解则必无穷多解。本集（第 7 集）把这一结论整理成命题，并借它引出两个新东西——数域（域）与行列式。
本集主线
齐次方程组解的结论（秩 \(< n\) 有非零解）\(\to\) 为何要在“数域”里解（四则运算封闭，整数不够用）\(\to\) 不化成阶梯形、直接从系数判断解的情况 \(\to\) 由二元一次方程组解出“二阶行列式”，进而引出 \(N\) 阶行列式（第 8 集）。
1\(n\) 元齐次方程组解的结论 ⏱ 00:50
定义 · 齐次线性方程组
常数项全为 0 的线性方程组称为齐次线性方程组：
\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= 0,\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= 0,\\
\vdots &\\
a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \cdots + a_{sn}x_n &= 0.
\end{aligned}
结论（齐次方程组的解）
- 必有零解：\(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\) 恒是解；若还存在其他（非零）解，称为非零解；
- 有非零解 ⇒ 无穷多解：齐次方程组非零解的任意倍数仍是解，故一旦有非零解就必有无穷多个解；
- 有非零解的充要条件（由第 6 集定理一）：把齐次方程组的系数矩阵经初等行变换化为阶梯形后，非零行数目 \(r<n\)（常数项列全 0，故只需看系数矩阵）；
- 充分条件：若齐次方程组的方程个数 \(s\) 小于未知量个数 \(n\)（即 \(s<n\)），则系数矩阵只有 \(s\) 行，其非零行数 \(r\le s<n\)，故必有非零解（进而无穷多解）。
“方程个数少”这一条很有用
\(s<n\)（方程比未知量少）时齐次方程组一定有非零解——这是一个不需要具体化阶梯形就能用的充分条件（例如判断一个欠定方程组是否必有零解之外的解）。
2数域（域）概念的引入 ⏱ 04:00
定义 · 数域（域）
设 \(K\) 是复数域 \(\mathbb{C}\) 的一个非空子集。若 \(K\) 满足：
- \(0\in K\) 且 \(1\in K\)（含有 0 和 1 这两个数）；
- 对 \(K\) 中任意 \(a,b\)，有
\[ a+b,\ a-b,\ a b \in K,\] 且当 \(b\neq0\) 时 \(\dfrac{a}{b}\in K\)（即 \(K\) 对加法、减法、乘法、除法（除数为 0 外）封闭，四则运算“畅通无阻”）；
常见的数域
- 有理数域 \(\mathbb{Q}\)：所有分数；
- 实数域 \(\mathbb{R}\)：所有实数；
- 复数域 \(\mathbb{C}\)：所有复数。
最小数域 = 有理数域
任一数域 \(K\) 都必含所有有理数：含 \(1\)，反复相加得所有正整数 \(2=1+1,\ 3=2+1,\dots\)；含 \(0\) 与减法得所有负整数；再做除法（\(b\neq0\)）得所有分数 \(\frac{p}{q}\)。故有理数域 \(\mathbb{Q}\) 是最小的数域；而复数域 \(\mathbb{C}\) 是最大的数域（它是所有数域的“母体”）。
3为什么要在“数域”里解方程组：以 \(2x=1\) 为例 ⏱ 04:40
解线性方程组时，消元要对系数做加减乘除（某行的倍数加到另一行、某行乘一个非零数，甚至乘倒数把主元变成 1）。这就要求数集对四则运算封闭。
反例 · 整数集不够用
最简单的方程 \(2x=1\)：在整数集内解，\(x=\tfrac12\) 不是整数，故“无解”；但它在有理数域内有解 \(x=\tfrac12\)。把范围限制得太死（只用整数）显然不合理。因此解线性方程组时，数集必须对加减乘除（除数为 0 外）封闭——即一个数域。有理数域、实数域、复数域都满足，整数集不满足。
“数域 K 上的线性方程组 / 矩阵”的约定
以后说“在数域 \(K\) 上解线性方程组”，意思是：系数、未知量、常数项都取在 \(K\) 内；解也永远在 \(K\) 内的数。说“\(K\) 上的矩阵”，则指矩阵元素都取自数域 \(K\)。约定好 \(K\) 之后，具体可能是 \(\mathbb{Q}/\mathbb{R}/\mathbb{C}\) 或其他数域。
4新方向：从系数“直接”判断解的情况 ⏱ 08:00
第 3–6 集的方法都要“把增广矩阵化成阶梯形，然后看阶梯形”才判断出有无解、解的个数——这实际上已经把方程组“解完了”。我们希望更高效：不化成阶梯形，直接从原方程组的系数（和常数项）判断解的情况。
从“解剖麻雀”入手：二元一次方程组
先研究最简单的二元一次方程组（\(N\) 个方程对应 \(N\) 个未知量时）：
\begin{aligned}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 &= b_1,\\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 &= b_2,
\end{aligned}
\qquad (a_{11},a_{21}) \text{ 不全为 } 0.
按老办法把增广矩阵（或系数矩阵）化阶梯形，得到判断解的情况的关键表达式：
\[ D \;=\; a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}. \]
- \(D\neq0\)：方程组有唯一解（可直接求出 \(x_2,\ x_1\)）；
- \(D=0\)：方程组无解或无穷多解（需再结合常数项判断）。
由此引出 \(N\) 阶行列式
把“二元”推广到“\(N\) 个方程的 \(N\) 元”线性方程组，对应地就有一个\(N\) 阶行列式，使得“行列式 \(\neq0\) ⇒ 唯一解、\(=0\) ⇒ 无解或无穷多解”。因此下一章的主题就是\(N\) 阶行列式：它的定义、性质与计算。
5二阶行列式的定义 ⏱ 10:00
定义 · 二阶行列式
表达式 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) 用“两条竖线”的记号写为
\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}. \]
它称为二阶行列式。读法：两条竖线内按“左上乘右下、减去右上乘左下”（即主对角线之积减副对角线之积）展开。
二阶行列式的两种理解
- 作为数：它就是由 4 个数算出的一个具体的数（值）；
- 作为矩阵的行列式：它等于系数矩阵 \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\) 的行列式，可记作 \(\det A\) 或 \(|A|\)（\(\det\) 来自英文 determinant）。
记号说明（本笔记约定）
按题目要求，hero 标题、核心概念、页脚中不使用“·/≅/上下标”等特殊符号；正文公式中可正常使用 KaTeX 记号（如 \(\begin{vmatrix}\,\end{vmatrix}\)、\(\det A\)、上下标等）。
★重点回顾
1
齐次线性方程组（常数项全 0）：必有零解；有非零解 ⇔ 系数矩阵的秩 \(r<n\)（此时必无穷多解）；充分条件：方程个数 \(s<n\) 时必有非零解。
2
数域（域）\(K\)：复数域的非空子集，含 0、1 且对加减乘除（除数非 0）封闭；\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\) 都是数域，\(\mathbb{Q}\) 最小、\(\mathbb{C}\) 最大。
3
“在数域 \(K\) 上解方程组 / 矩阵”：系数、未知量、常数项、解都在 \(K\) 内；整数集因对除法不封闭（\(2x=1\) 无整数解）而不适合解方程组。
4
新方向：不化阶梯形，直接从系数（常数项）判断解的情况；从二元一次方程组的关键表达式 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) 入手。
5
二阶行列式：\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)（主对角线之积减副对角线之积），也即系数矩阵 \(A\) 的行列式 \(\det A\)；\(\neq0\) 时二元方程组有唯一解，\(=0\) 时无解或无穷多解。由此引出 \(N\) 阶行列式（下一章）。
⚠易错点提醒
常见错误
- 以为齐次方程组可能无解：齐次方程组恒有零解，故不可能无解；它只有“唯一解（=零解）”或“无穷多解”两种。
- 把“有非零解”与“无穷多解”分开：齐次方程组有非零解就必有无穷多解（非零解的倍数仍是非零解）。
- 数域定义漏掉“除法（除数非 0）封闭”：只要求加减乘封闭而不要求除法的，不是“域”；数域必须对四则运算（除数为 0 外）封闭。
- 误以为整数集是数域：整数集对除法不封闭（如 \(\frac12\notin\mathbb{Z}\)），故不是数域；这是引入“域”的原因。
- 把二阶行列式记成“\(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21}\)”（加号）：正确是主对角线之积减副对角线之积（\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)），是减号。
- 行列式是“一个数”而非“一个矩阵”：\(\det A\) 是一个具体的数；不要把它和矩阵 \(A\) 本身混淆（矩阵的“竖线记号”表示其行列式这一数值）。
✎自测题
- 说明：为什么 \(n\) 元齐次线性方程组必有零解？什么条件下（用系数矩阵的秩）它有非零解？为什么一旦有非零解就必有无穷多解？
- 若一个齐次方程组有 3 个方程、5 个未知量（\(s=3<5=n\)），判断它是否一定有非零解，并说明理由。
- 写出“数域（域）\(K\)”的定义（含 0、1、对四则运算封闭），并验证有理数域 \(\mathbb{Q}\) 是数域。
- 证明“有理数域是最小的数域”（任一数域都包含全部有理数：含 1 → 含全部正整数 → 含 0、减法得负整数 → 除法得全部分数）。
- 用整数集的局限（\(2x=1\) 无整数解）说明解线性方程组为何要在数域（而非整数集）内进行。
- 写出二元一次方程组的二阶行列式 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)，并说明：它 \(\neq0\) 时方程组有唯一解、\(=0\) 时无解或无穷多解。
下一集预告
第 8 集：N 阶行列式（一）：\(n\) 元排列——由二阶行列式“主对角线减副对角线”的规律，推广到 \(N\) 阶；为定义 \(N\) 阶行列式引入“\(n\) 元排列（全排列）、逆序、顺序、错排（逆序对）”等概念，讨论列指标构成的排列何时取正号、何时取负号。