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◎学习目标
- 理解互素的概念：两个多项式 \(f(x), g(x)\) 互素，当且仅当它们的首一最大公因式为 1，记作 \(\big(f(x),\, g(x)\big) = 1\)；
- 掌握互素的Bézout 刻画：\(\big(f,g\big)=1 \iff\) 存在 \(u(x), v(x) \in K[x]\) 使得 \(u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1\)；
- 理解并证明互素性不随数域扩大而改变：若 \(E \supseteq K\)，则 \(f, g\) 在 \(K[x]\) 中互素当且仅当在 \(E[x]\) 中互素；
- 熟练掌握互素的三条重要性质，尤其是性质 1（若 \(f\mid hg\) 且 \((f,g)=1\)，则 \(f\mid h\)），它是后续大量证明的核心工具。
1互素的定义 ⏱ 00:07
设 \(f(x), g(x) \in K[x]\)，不全为零。如果它们的首一最大公因式等于 1，即
则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 互素（coprime / relatively prime）。⏱ 04:59
定义的几何意义与直觉
从整除的角度看，任何一对多项式都有公因式（至少非零常数）。"互素"意味着公因式尽可能少——只有那些"人人都有"的公因式（非零常数），没有额外的公共因式。⏱ 05:44
从根的角度（在代数闭包中看）：互素意味着 \(f\) 与 \(g\) 没有公共根（计入重数后也没有公共不可约因式）。
2互素的 Bézout 刻画 ⏱ 05:53
证明
\(\Rightarrow\)：若 \(\big(f,g\big)=1\)，由 P72 的 Bézout 等式（定理），存在 \(u,v\) 使 \(uf + vg = \big(f,g\big) = 1\)。⏱ 05:53
\(\Leftarrow\)：设存在 \(u,v\) 使 \(uf + vg = 1\)。任取 \(f\) 与 \(g\) 的一个公因式 \(c(x)\)，则 \(c\mid f\) 且 \(c\mid g\)，故 \(c\mid (uf + vg) = 1\)，从而 \(c\) 是零次多项式。因此 \(f\) 与 \(g\) 的任何公因式都是零次的，即 \(\big(f,g\big) = 1\)。⏱ 06:16
3互素性不随数域扩大而改变 ⏱ 07:19
即：\(f\) 与 \(g\) 在 \(K[x]\) 中互素，当且仅当它们在扩域 \(E[x]\) 中也互素。
证明（利用首一 GCD 不随扩域改变）
由 P72 的定理：首一最大公因式不随数域扩大而改变，即 \[ \big(f, g\big)_{K[x]} = \big(f, g\big)_{E[x]}. \] ⏱ 07:47
因此 \(\big(f,g\big)_{K[x]} = 1\) 当且仅当 \(\big(f,g\big)_{E[x]} = 1\)，互素性等价成立。⏱ 08:02
更深层的原因：辗转相除法的全过程（每一步的商和余式）只涉及系数的加、减、乘、除运算，而这些运算在 \(K\) 中封闭，不需要扩充到 \(E\)。因此，即使在更大的域 \(E\) 中做辗转相除，过程与结果完全相同。
4互素的三条性质 ⏱ 08:44
性质 1
证明
由 \(\big(f,g\big) = 1\)，根据 Bézout 等式，存在 \(u, v \in K[x]\) 使得
两边同乘 \(h(x)\)： \[ u(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = h(x). \]
因为 \(f \mid gh\)，设 \(gh = f \cdot q\)，代入得 \[ ufh + v(fh) \cdot q \;\; \text{??} \quad \text{等等，更直接：} \quad f \mid ufh \text{（显然）},\quad f \mid vgh \text{（因为 } f \mid gh\text{）}. \]
故 \(f\) 整除左边两项之和，即 \(f \mid h\)。⏱ 08:44 证毕。
（若 \(f = 0\)，结论显然。）
性质 2
证明（留作练习）
提示：由 \(\big(f_1,f_2\big)=1\) 有 Bézout 等式 \(u f_1 + v f_2 = 1\)，两边同乘 \(g\)，再利用 \(f_1\mid g\) 和 \(f_2\mid g\) 推出 \(f_1f_2\mid g\)。⏱ 10:44
性质 3：两两互素多项式的乘积性质
更一般地，若 \(f_1, \dots, f_s\) 两两互素，则对任意子集 \(I \subsetneq \{1,\dots,s\}\)，有 \[ \Big(\prod_{i \in I} f_i,\;\; \prod_{j \notin I} f_j\Big) = 1. \]
证明（数学归纳法，性质 2 的推广）
基础：\(s = 2\) 时，由两两互素即 \(\big(f_1,f_2\big)=1\)，结论显然。⏱ 11:00
归纳步：假设对 \(s-1\) 个多项式成立。考虑 \(f_1, \dots, f_s\) 两两互素。记 \(A = f_1 \cdots f_{s-1}\)，\(B = f_s\)。由归纳假设 \(\big(A, f_s\big) = 1\)（因为每个 \(f_i\ (i<s)\) 都与 \(f_s\) 互素，反复用性质 2 即得），结论得证。
丘老师在课堂中指出，这个推广可以用数学归纳法严格完成，留给同学自行完成证明。⏱ 11:12
- 性质 1 是最核心的工具性结论，后续所有证明几乎都要用它；
- 性质 2 是性质 1 的直接推论（也是自测题）；
- 性质 3 是性质 2 向多个多项式的推广，本质仍是反复使用性质 1。
★重点回顾
⚠易错点提醒
- 混淆"互素"与"没有公共根"：在代数闭域上两者等价，但在一般数域 \(K\) 上，互素是指没有非常数公共因式（可能在扩域中才有根）。
- 忽略 Bézout 等式是充要条件：互素 \(\iff\) Bézout 等式成立，两者可相互推导，不要只记单向。
- 性质 1 的条件缺一不可：若没有 \((f,g)=1\) 的条件，\(f\mid gh\) 不能推出 \(f\mid h\)（例如 \(6\mid 2\times 3\) 但 \(6\nmid 2\) 且 \(6\nmid 3\)）。
- 两两互素 ≠ 整体互素：\(f_1,f_2,f_3\) 两两互素并不意味着 \(\big(f_1f_2,\, f_3\big)=1\) 需要单独验证（虽然结论成立，但需要性质 3 来保证）。
- 互素性不变性的方向：是从 \(K[x]\) 互素推出 \(E[x]\) 互素，反之亦然（双向）。不能只记单向。
✎自测与作业
- 证明：若 \(\big(f,g\big)=1\) 且 \(\big(f,h\big)=1\)，则 \(\big(f,\, gh\big)=1\)。（提示：用 Bézout 等式分别写出 \(uf+vg=1\) 和 \(f'\!f+wh=1\)，相乘展开。）
- 证明性质 2：若 \(f_1\mid g\)，\(f_2\mid g\)，且 \(\big(f_1,f_2\big)=1\)，则 \(f_1f_2\mid g\)。
- 证明：若 \(\big(f,g\big)=1\)，则 \(\big(f^n,\, g\big)=1\) 对任意正整数 \(n\) 成立。（提示：归纳法 + 性质 1。）
- （综合题）设 \(f(x), g(x), h(x) \in K[x]\)，且 \(\big(f,g\big)=1\)。证明：若 \(f\mid h\) 且 \(g\mid h\)，则 \(fg\mid h\)。
- （证明题）设 \(f(x) = x^4 + 1\)，\(g(x) = x^2 - 1\)。在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中判断 \(f\) 与 \(g\) 是否互素，并在 \(\mathbb{R}[x]\) 中验证互素性不变性。
- （思考）为什么"互素性不随数域扩大而改变"对代数闭包也成立？即 \(\big(f,g\big)_{K[x]}=1 \iff \big(f,g\big)_{\overline{K}[x]}=1\)。结合根的观点解释。