第 P78 集 · 十三：代数基本定理、复数域只有一次多项式不可约

反证法假设：设 \(f(z)\) 在复平面上没有复根，即对一切 \(z\in\mathbb{C}\)，\(f(z)\neq 0\)。⏱ 03:00

定义辅助函数：

由于 \(f(z)\) 是多项式函数，处处连续且处处可导（解析），且 \(f(z)\neq 0\)，故 \(\psi(z)\) 也在整个复平面上解析。⏱ 04:30

设 \(f(z)=a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0\)，\(n\ge 1\)，\(a_n\neq 0\)。对 \(\psi(z)\) 分子分母同除以 \(z^n\)：

当 \(|z|\to\infty\) 时，\(\frac{1}{z^n}\to 0\)，分母中各 \(\frac{a_k}{z^{n-k}}\to 0\)，而 \(a_n\neq 0\)，故：

这意味着：对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(R>0\)，使得当 \(|z|>R\) 时，\(|\psi(z)|<\varepsilon\)。⏱ 09:00

在圆盘 \(|z|\le R\) 上，\(\psi(z)\) 是连续函数（多项式函数在零点外连续），而闭圆盘是有界闭集（紧集），由闭区间上连续函数的最值定理，\(|\psi(z)|\) 在圆盘上必有最大值，记为 \(M\ge 0\)。⏱ 11:30

取 \(\varepsilon=1\)，由第二步知存在 \(R>0\) 使得 \(|z|>R\) 时 \(|\psi(z)|<1\)。于是对整个复平面：

即 \(\psi(z)\) 在复平面上有界。⏱ 13:00

由 Liouville 定理，\(\psi(z)\) 是常数，即 \(\psi(z)\equiv b\)（\(b\) 为非零常数），从而

这说明 \(f(z)\) 是零次多项式，与前提 \(\deg f=n\ge 1\) 矛盾！⏱ 15:00

反证法完成，故假设错误，\(f(z)\) 必有复根。⏱ 15:30

设 \(f(x)\in\mathbb{R}[x]\) 是不可约多项式。由代数基本定理，\(f(x)\) 在 \(\mathbb{C}\) 上有根。

情形 1：\(f(x)\) 有实根 \(\lambda\)，则 \(x-\lambda\mid f(x)\)。由不可约性，\(f(x)\) 必为 1 次多项式。

情形 2：\(f(x)\) 无实根，则其复根均为非实共轭对 \(\lambda,\bar{\lambda}\)。此时 \((x-\lambda)(x-\bar{\lambda})=x^2-2\operatorname{Re}(\lambda)x+|\lambda|^2\in\mathbb{R}[x]\) 是实系数二次多项式，且 discriminant \(\Delta<0\)。由于 \(f(x)\) 不可约，它不能进一步分解为两个次数更低的实系数多项式之积，故 \(f(x)\) 必为此二次多项式（乘一个非零常数）。

综合得：**\(\mathbb{R}[x]\) 上不可约多项式仅有两种——1 次多项式和判别式 \(\Delta<0\) 的 2 次多项式**。⏱ 27:00