高等代数 · 第 P82 集 · 十七：Eisenstein艾森斯坦判别法

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◎学习目标

理解并掌握Eisenstein 判别法的陈述和三个条件，能在具体多项式中快速识别并应用；
掌握 Eisenstein 判别法的反证法证明思路，特别是「找第一个不能被 \(p\) 整除的系数」这一关键技巧；
了解 Eisenstein 判别法的局限性（不是充要条件），学会使用 \(f(x+1)\)、\(f(x-1)\) 变量替换来扩大适用范围；
通过实例 \(x^n+2\)（\(n\ge 1\)）证明 \(\mathbb{Q}\) 上存在任意次数的不可约多项式，且有无穷多个；
体会「观察→猜想→验证→证明」这一经典数学研究范式在本集中的完整呈现。

1问题的提出：从 P81 的遗留问题出发 ⏱ 00:00

上一集（P81）解决了 2次和 3次多项式的不可约判定问题（通过有理根定理），但对 4次及以上 多项式，仅靠有理根定理远远不够——无有理根不等于不可约。

遗留问题我们需要一个适用于所有次数的不可约判定工具。丘老师指出：⏱ 01:00「数学思维方式告诉你——观察、具体例子、解剖麻雀，来进行探索。」

回到 P81 的两个对比实例

P81 中对比了两个二次多项式：

\(f(x)=x^2+4x+2\) — 不可约；
\(g(x)=x^2+4x+4\) — 可约（\(=(x+2)^2\)）。

共同点：首项系数 1 不被素数 2 整除，一次项系数 4 和常数项均被 2 整除。⏱ 02:30

不同点：\(f\) 的常数项 2 不被 \(2^2=4\) 整除；\(g\) 的常数项 4 被 \(2^2=4\) 整除。⏱ 03:30

这个差异强烈暗示：「存在素数 \(p\)，\(p\nmid a_n\)，\(p\mid a_i\ (i

2Eisenstein 判别法（定理二） ⏱ 04:30

定理二 · Eisenstein 判别法设 \(f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\) 是次数 \(n \ge 1\) 的整系数多项式。若存在素数 \(p\) 满足以下三个条件：

\text{(i) } p \nmid a_n \quad \text{（p 不整除首项系数）}, \] \[ \text{(ii) } p \mid a_i \text{ 对所有 } i = 0,1,\dots,n-1 \quad \text{（p 整除其余所有系数）}, \] \[ \text{(iii) } p^2 \nmid a_0 \quad \text{（p² 不整除常数项）},

则 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。

记忆口诀与条件解读

口诀：「一素数 \(p\)，首项不被整，其余全被整，常数不被平方整，则不可约。」

条件 (i)：\(p\) 不能整除最高次项系数——保证分解后两个因式的首项系数均不被 \(p\) 整除；
条件 (ii)：\(p\) 整除除首项外的所有系数——是证明中的核心约束；
条件 (iii)：\(p^2\) 不整除常数项——与条件 (i)(ii) 配合，导出矛盾。

三个条件缺一不可：⏱ 06:00 若仅满足 (i)(ii) 而不满足 (iii)，例如 \(f(x)=x^2+4x+4\)（取 \(p=2\)），则 \(f(x)=(x+2)^2\) 是可约的。

重要推论对任意正整数 \(n\)，多项式 \(x^n+2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。取 \(p=2\)：\(2\nmid 1\)（首项系数），\(2\mid 0\)（中间系数全为 0），\(2\mid 2\)（常数项），\(4\nmid 2\)（平方不整除常数项）。全部满足，故不可约。⏱ 07:30

3反证法证明 ⏱ 08:00

证明采用经典的反证法：假设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上可约，推出矛盾。

完整证明过程

假设：\(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上可约。由 P81 推论（整系数多项式在 \(\mathbb{Q}\) 上可约 \(\Leftrightarrow\) 可分解为两个次数更低的整系数多项式之积），可设：

f(x) = g(x) \cdot h(x),

其中 \(g(x) = b_m x^m + \cdots + b_0\)，\(h(x) = c_l x^l + \cdots + c_0\)，且 \(m < n\)，\(l < n\)，\(m\ge 1\)，\(l\ge 1\)。⏱ 09:30

第一步（比较首项系数）：\(a_n = b_m \cdot c_l\)。由条件 (i) \(p \nmid a_n\)，故 \(p \nmid b_m\) 且 \(p \nmid c_l\)。⏱ 10:30

第二步（比较常数项）：\(a_0 = b_0 \cdot c_0\)。由条件 (ii) \(p \mid a_0\)，故 \(p \mid b_0\) 或 \(p \mid c_0\)（\(p\) 是素数，具有质因子性质）。不妨设 \(p \mid b_0\)。⏱ 11:30

第三步（找第一个不被整除的系数）：因为 \(p \nmid b_m\)，而从 \(b_0\) 开始逐个向上看，必然存在某个 \(k\)（\(0 \le k \le m\)）使得：

p \mid b_0,\ p \mid b_1,\ \dots,\ p \mid b_{k-1}, \quad \text{但} \quad p \nmid b_k.

这样的 \(k\) 一定存在（因为 \(b_m\) 不被 \(p\) 整除，而 \(b_0\) 被 \(p\) 整除，所以这样的分界点必然存在），且 \(k \ge 1\)（因为 \(p\mid b_0\)，故 \(k\neq 0\)），\(k \le m < n\)。⏱ 13:00

第四步（比较 \(x^k\) 的系数，导出矛盾）：比较 \(f(x)=g(x)h(x)\) 中 \(x^k\) 的系数：

a_k = b_k c_0 + b_{k-1}c_1 + b_{k-2}c_2 + \cdots + b_0 c_k.

由条件 (ii)：\(p \mid a_k\)（因为 \(k < n\)）。

由归纳假设：\(p \mid b_0, p\mid b_1, \dots, p\mid b_{k-1}\)，故 \(p\) 整除右端除第一项 \(b_k c_0\) 之外的所有项。

因此 \(p \mid b_k c_0\)。又 \(p \nmid b_k\)（\(k\) 的定义），且 \(p\) 是素数，故 \(p \mid c_0\)。⏱ 15:00

第五步（得出最终矛盾）：现在 \(p \mid b_0\) 且 \(p \mid c_0\)，故 \(p^2 \mid b_0 c_0 = a_0\)。但这与条件 (iii) \(p^2 \nmid a_0\) 矛盾！⏱ 16:00

结论：假设不成立，\(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。证毕。

证明技巧亮点「找第一个不被 \(p\) 整除的系数 \(b_k\)」是本证明的精髓。这一技巧在数论和代数中反复出现，值得深刻领会。

4应用实例 ⏱ 17:00

例 1 · \(x^n+2\)（\(n\ge 1\)）对任意正整数 \(n\)，多项式 \(f(x)=x^n+2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。

f(x) = x^n + 2 = 1\cdot x^n + 0\cdot x^{n-1} + \cdots + 0\cdot x + 2

取 \(p=2\)：

\(2 \nmid 1\)（首项系数）— 满足条件 (i)；
\(2 \mid 0\)（所有中间系数）— 满足条件 (ii)；
\(2 \mid 2\)（常数项），但 \(4 \nmid 2\)（平方不整除）— 满足条件 (iii)。

故由 Eisenstein 判别法，\(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。⏱ 18:30

重要结论由此得到：\(\mathbb{Q}\) 上存在任意次数的不可约多项式，且有无穷多个（取 \(n=1,2,3,\dots\) 即得 \(x+2, x^2+2, x^3+2, \dots\) 两两不同次，均不可约）。⏱ 20:00

例 2 · \(2x^3 - 6x + 3\) 取 \(p=3\)：\(3\nmid 2\)（首项），\(3\mid 0\)（\(x^2\) 系数），\(3\mid (-6)\)（\(x\) 系数），\(3\mid 3\)（常数项），但 \(9\nmid 3\)（\(3^2=9\) 不整除 3）。全部满足，故在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。⏱ 21:30

例 3 · \(x^4 + 4x + 2\) 取 \(p=2\)：\(2\nmid 1\)（首项），\(2\mid 0\)（\(x^3,x^2\) 系数），\(2\mid 4\)（\(x\) 系数），\(2\mid 2\)（常数项），但 \(4\nmid 2\)。全部满足，故在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约。⏱ 22:30

5局限性及扩展技巧 ⏱ 24:00

局限性 Eisenstein 判别法只是不可约的充分条件，不是充要条件。有些多项式在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，但找不到满足条件的素数 \(p\)。⏱ 24:30

反例：判别法失效的多项式

\(f(x) = x^2+1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约（无有理根），但对任意素数 \(p\)：

若 \(p\neq 2\)：\(p\nmid 1\)（首项系数），但条件 (ii) 要求 \(p\mid 0\)（成立）和 \(p\mid 1\)（不成立）——矛盾，故条件 (ii) 无法满足；
若 \(p=2\)：\(2\nmid 1\)（首项），\(2\mid 0\)（中间系数），但 \(2\mid 1\)（常数项）不成立——条件 (ii) 不满足。

因此 \(x^2+1\) 无法直接用 Eisenstein 判别法判定，但它确实不可约（可用 P81 的有理根定理判定）。⏱ 25:30

扩展技巧：变量替换 \(f(x+1)\) 和 \(f(x-1)\)

当 \(f(x)\) 常数项为 \(\pm 1\) 导致 Eisenstein 直接失效时，可考虑对 \(f(x)\) 做变量替换，考察 \(f(x+1)\) 或 \(f(x-1)\)。⏱ 26:00

原理（由 P81 的推论推广）：若 \(f(x+1)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，则 \(f(x)\) 也不可约。同理，若 \(f(x-1)\) 不可约，则 \(f(x)\) 也不可约。

理由：若 \(f(x) = g(x)h(x)\) 是可约分解，则 \(f(x+1) = g(x+1)h(x+1)\) 也是可约分解（反之亦然）。因此 \(f(x)\) 可约 \(\Leftrightarrow\) \(f(x+1)\) 可约，取逆否命题即得结论。⏱ 27:30

实例：\(f(x)=x^4+1\) 直接检验：对任意素数 \(p\)，均无法满足 Eisenstein 条件（首项系数 1 和常数项 1 均不被任何素数整除）。但考虑 \(f(x+1)=(x+1)^4+1\)：

\[ (x+1)^4+1 = x^4+4x^3+6x^2+4x+2 \]

取 \(p=2\)：\(2\nmid 1\)（首项），\(2\mid 4,2\mid 6,2\mid 4,2\mid 2\)（其余系数），\(4\nmid 2\)（常数项）。满足 Eisenstein 条件！故 \((x+1)^4+1\) 不可约，从而 \(x^4+1\) 也不可约。⏱ 29:00

丘老师提示「这个道理跟我们上次讲的命题 43-4 有关，同学们回去看作业题。」这一替换技巧是处理「Eisenstein 不适用」情形的标准方法，务必熟练掌握。⏱ 30:00

★重点回顾

1

Eisenstein 判别法（核心定理）：存在素数 \(p\) 满足 \(p\nmid a_n\)，\(p\mid a_i\ (i

2

证明方法：反证法 + 「找第一个不被 \(p\) 整除的系数」技巧。这是本集最重要的证明技术，也是后续代数数论中类似证明的原型。

3

典型应用：\(x^n+2\)（\(p=2\)）说明对任意 \(n\) 均存在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约多项式，且有无穷多个。

4

局限性：Eisenstein 只是充分条件，非充要条件。有些不可约多项式（如 \(x^2+1\)、\(x^4+1\)）不能直接用该判别法。

5

扩展技巧：通过变量替换 \(f(x+1)\) 或 \(f(x-1)\) 将问题转化，是扩大 Eisenstein 适用范围的标准手段。其依据是「\(f(x)\) 可约 \(\Leftrightarrow\) \(f(x+c)\) 可约」。

⚠易错点提醒

常见错误

混淆充分与必要：Eisenstein 判别法是充分条件，不是充要条件。用此判别法判定的「不满足条件」不等于「可约」。
忽略条件 (iii)：必须同时验证 \(p^2 \nmid a_0\)。仅满足 (i)(ii) 不足以判定不可约（如 \(x^2+4x+4\)，取 \(p=2\) 满足 (i)(ii) 但可约）。
对常数项为 ±1 的多项式盲目套用：此时没有任何素数能整除常数项，条件 (ii) 无法满足。应改用 \(f(x+1)\) 或 \(f(x-1)\) 替换技巧。
误以为 Eisenstein 可以判定所有不可约多项式：如 \(x^2+1\) 不可约但 Eisenstein 不适用；\(x^4+x^3+x^2+x+1\)（分圆多项式）也不可约但 Eisenstein 不直接适用。
变量替换后忘记回推：用 \(f(x+1)\) 的 Eisenstein 判定推出不可约后，需明确说明「由 \(f(x)\) 可约 \(\Leftrightarrow\) \(f(x+1)\) 可约」，才能得到原多项式的结论。
忽视系数为 0 的情况：条件 (ii) 要求 \(p\mid a_i\) 对所有 \(i

✎自测与作业

用 Eisenstein 判别法证明下列多项式在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约：(a) \(x^3-3x+3\)；(b) \(x^5+5x+5\)；(c) \(2x^4+10x^3+15x^2+10x+5\)；(d) \(x^4+8x+12\)。
证明：\(x^4+4x^3+6x^2+4x+2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约（提示：这是 \((x+1)^4+1\) 的展开，取 \(p=2\)）。
（思考）\(x^2+x+1\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上是否可约？用有理根定理和 Eisenstein 判别法分别判断，并说明两者的关系。
（思考）证明：若 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上可约，则对任意 \(c\in\mathbb{Q}\)，\(f(x+c)\) 也在 \(\mathbb{Q}\) 上可约；反之亦然。这是变量替换技巧的理论依据。
（选做）寻找一个在 \(\mathbb{Q}\) 上不可约，但无论 \(f(x)\)、\(f(x+1)\) 还是 \(f(x-1)\) 都不能直接用 Eisenstein 判别法判定的多项式。（提示：考虑分圆多项式 \(\Phi_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\)，其中 \(p\) 为素数。）

下一集预告后续课程将进一步讨论多元多项式的不可约性、高次分圆多项式的不可约性证明（Gauss 原证明 vs. 简化版本），以及 UFD（唯一分解整环）的基本理论。